ピタゴラス音律

ピタゴラス音律は、比率 の「純粋」または完全5 度のシーケンス ^[2]を選択することですべての音程の周波数比を決定する音楽調律システムです。これが選択されるのは、振動弦の次の倍音であり、オクターブ (比率) の次に来るため、次に最も協和的な「純粋」音程であり、耳で調律するのが最も簡単だからです。ノヴァーリスが述べたように、「音楽の比率は、私には特に正しい自然比率のように思われます。」^[3]あるいは、生成器が比率3:2 (つまり、調律されていない完全 5 度)であるシントニック音律^[1]の調律として説明でき、その幅は ≈ 702セントです。 ${\displaystyle 3:2}$${\displaystyle 2:1}$

このシステムは古代メソポタミアにまで遡る。^[4] (メソポタミアの音楽 § 音楽理論 を参照) このシステムは、現代の音楽理論の著者によって、古代ギリシャ人、特にピタゴラス(紀元前 6 世紀) のものと広く誤解されてきた。プトレマイオス、そして後にボエティウスは、テトラコルドをラテン語で「セミトニウム」と「トヌス」と呼ばれる 2 つの音程 (256:243 × 9:8 × 9:8) のみで分割することをエラトステネスに帰した。いわゆる「ピタゴラス音律」は、16 世紀初頭まで音楽家によって使用されていた。「ピタゴラス音律は 5 度の純粋さから理想的と思われるが、他の音程、特に長 3 度はひどく調子が狂っているため、長和音は不協和音とみなされる」^[2]。

ピタゴラス音階は、純粋な完全五度 (3:2) とオクターブ (2:1) のみから構成できる音階です。 ^[5]ギリシャ音楽では、 1オクターブにまたがる音階に構成されたテトラコルドを調律するために使用されました。 ^[6]拡張ピタゴラス音律と12音ピタゴラス音律は区別できます。拡張ピタゴラス音律は西洋音楽の記譜法と1対1で対応し、五度の数に制限はありません。ただし、12音ピタゴラス音律ではオクターブあたり12音に制限され、異名同音記譜法に対応するピタゴラスシステムに従ってほとんどの音楽を演奏することはできません。代わりに、たとえば減六度が「ウルフ五度」になることがわかります。

12 音ピタゴラス音律は、それぞれ 2:1 (オクターブ) の次に単純な比率である 3:2 の比率で調律された、一連の完全五度に基づいています。たとえば、D ( D ベースの調律) から始めて、他の 6 つの音は 3:2 の比率を 6 回上へ移動することで生成され、残りの音は同じ比率を下へ移動することで生成されます。

E♭–B♭–F–C–G– D –A–E–B–F♯–C♯–G♯

この 11 個の 3:2 音程の連続は、広範囲の周波数にわたっています(ピアノの鍵盤では、77 個のキーが含まれます)。周波数が 2 倍異なる音は類似していると認識され、同じ名前が付けられるため (オクターブ等価)、これらの音の周波数を 2 で割るか 2 の累乗で乗算するのが通例です。この調整の目的は、12 個の音をより狭い周波数範囲内、つまり基本音のD とその上の D (周波数が 2 倍の音) の間の音程内に移動することです。この音程は通常、基本オクターブと呼ばれます(ピアノの鍵盤では、オクターブには 12 個のキーしかありません)。これは古代にまで遡ります。古代メソポタミアでは、5度を積み重ねるのではなく、上昇する5度と下降する4度を交互に並べる調律（上昇する5度に下降するオクターブが続く）が採用され、その結果、ペンタトニック音階またはヘプタトニック音階の音が1オクターブ内に収まりました。

式では、比率 3:2 または 2:3 は上昇または下降する完全五度 (つまり、完全五度による周波数の増加または減少) を表し、2:1 または 1:2 は上昇または下降するオクターブを表します。式は、第 3 倍音と第 2倍音の累乗で表すこともできます。

この調律から得られるCをベースとしたメジャースケールは次の通りである: ^[7]

平均律では、 A ♭とG♯のような異名同音のペアはまったく同じ音であると考えられていますが、上の表が示すように、ピタゴラス音律ではDに対する比率が異なり、つまり周波数が異なります。この約23.46セント、つまり半音のほぼ4分の1の差は、ピタゴラスコンマとして知られています。

この問題を回避するために、ピタゴラス音律では、上記のように 12 音のみを構成し、その間に 11 の五度を置きます。たとえば、 E ♭からG ♯までの 12 音のみを使用できます。これは、上で示したように、半音階全体を構成するのに 11 の正確な五度のみが使用されることを意味します。残りの音程 ( G ♯からE ♭までの減六度) はひどく調子が狂ったままになり、この 2 つの音を組み合わせた音楽は、この調律では演奏できません。このような非常に調子が狂った音程は、ウルフ音程として知られています。ピタゴラス音律の場合、ウルフ五度だけは 678.49 セントしか幅がなく、ほぼ4分の 1 半音低く 、それ以外のすべての五度は 701.96 セント幅で、比率は正確に 3:2 です。

G ♯と E ♭ の音を同時に鳴らす必要がある場合は、ウルフ 5 度の位置を変更できます。たとえば、C ベースのピタゴラス調律では、D ♭からF ♯までの 5 度のスタックが生成され、 F ♯ -D ♭ がウルフ インターバルになります。ただし、ピタゴラス調律では常に 1 つのウルフ 5 度が存在するため、すべてのキーで音程を合わせて演奏することは不可能です。

上記の表は、ベース音に対する各音の周波数比のみを示しています。ただし、音程はどの音からでも開始できるため、各音程タイプに対して 12 個の音程を定義できます(12 個のユニゾン、12 個の半音、12 個の 2 半音間隔など)。

上で説明したように、12の5度音のうちの1つ（ウルフ5度音）は、他の11の音とは大きさが異なります。同様の理由で、ユニゾンとオクターブを除く各音程タイプには2つの異なるサイズがあります。右の表は、それらの周波数比を示しており、ピタゴラスコンマの偏差は色分けされています。^[8]偏差は、音が2つの異なる半音を決定するために発生します。

• 短二度（m2）は、全音階半音とも呼ばれ、大きさは（例えばDとE ♭の間）$${\displaystyle S_{1}={256 \over 243}\approx 90.225{\text{ cents}}}$$
• 拡大ユニゾン（A1）は半音階半音とも呼ばれ、大きさはE ♭とEの間など$${\displaystyle S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\approx 113.685{\text{ cents}}}$$

対照的に、平均律の半音階では、すべての半音は

${\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ cents}}}$

あらゆるタイプの音程は同じ大きさですが、ユニゾンとオクターブを除いて正しく調律されているものはありません。

定義により、ピタゴラス音律では、11 の完全五度 (表のP5 ) の大きさは約 701.955 セント (700+ε セント、 ε  ≈ 1.955 セント) です。12 の五度の平均の大きさは正確に 700 セント (平均律の場合) に等しくなければならないため、もう 1 つの大きさは 700 − 11 εセント、つまり約 678.495 セント (ウルフ五度) にならなければなりません。表に示されているように、後者の音程は異名同音的には五度に等しいものの、より正確には減六度( d6 ) と呼ばれます。同様に、

• 9つの短3度（m3）は≈ 294.135セント（300 − 3 ε）、3つの増2度（A2）は≈ 317.595セント（300 + 9 ε）であり、平均は300セントです。
• 8 つの長 3 度( M3 ) は約 407.820 セント (400 + 4 ε )、4 つの短 4 度( d4 ) は約 384.360 セント (400 − 8 ε ) で、平均は 400 セントです。
• 7つの全音階半音（m2）は約90.225セント（100−5ε ）、5つの半音階半音（A1 ）は約113.685セント（100+7ε）で、平均は100セントです。

つまり、ユニゾンとオクターブを除くすべての音程タイプで同様の幅の違いが見られ、それらはすべて ピタゴラス五度と平均五度の差である εの倍数です。

明らかな結果として、各増音程または減音程は、その異名同音の音程よりも正確に 12 ε (≈ 23.460) セント狭いか広いです。たとえば、d6 (またはウルフ5度) は各 P5 よりも 12 εセント狭く、各 A2 は各 m3 よりも12 εセント広いです。この 12 εのサイズの音程はピタゴラスコンマと呼ばれ、減2度(≈ -23.460 セント)の反対に正確に等しくなります。これは、 ε がピタゴラスコンマの 12 分の 1 として定義できること を意味します。

ピタゴラス音律では、上記の音程のうち 4 つに固有の名前が付けられます。次の表では、これらの固有の名前と、他の音程で一般的に使用される別名を示します。ピタゴラスのコンマは、そのサイズ (524288:531441) がピタゴラスの減二度 (531441:524288) の逆数であるため、減二度とは一致しません。また、全音と三全音はすべての調律システムに一般的に使用されますが、二度音と半二度音はピタゴラス音律に固有のものです。その名前にもかかわらず、半二度音 (3 半音、約 300 セント) を二度音 (4 半音、約 400 セント) の半分と見なすことはほとんどできません。接頭辞sesqui- を持つすべての音程は正しく調律されており、表に示されているその周波数比は超小数(またはエピモリック比) です。オクターブについても同様です。

このシステムは古代メソポタミアにまで遡り、^[4]上昇する五度と下降する四度が交互に繰り返される。メソポタミアの音楽 § 音楽理論を参照。古代ギリシャの音楽では、このシステムは主にピタゴラス（紀元前500年頃）に現代の音楽理論の著者によって帰せられてきた。古代ギリシャ人は、全音階、ピタゴラス音律、旋法など、音楽理論の多くをメソポタミアから借用した。中国の四勒音階はピタゴラス音階と同じ音程を使用し、紀元前600年から240年の間に発明された。^{[2] [9]}

12音ピタゴラス音律を使用する場合のウルフ音程のため、この調律は今日ではほとんど使用されていませんが、広く使用されていたと考えられています。キーが頻繁に変更されない音楽や、ハーモニーにあまり冒険的ではない音楽では、ウルフ音程が問題になることはほとんどありません。そのような曲では、すべての可能な5度が聞かれるわけではないからです。拡張ピタゴラス調律ではウルフ音程はなく、すべての完全5度は正確に3:2です。

12音ピタゴラス音律の5度音のほとんどは3:2という単純な比率であるため、非常に「滑らか」で調和のとれた音に聞こえる。対照的に、3度音のほとんどは81:64（長3度）と32:27（短3度）という比較的複雑な比率であるため、楽器によってはそれほど滑らかに聞こえない。^[10]

1510年頃から、三度音程が協和音として扱われるようになり、ミーントーン音律、特に三度音程を5:4の比較的単純な比率に調律するクォーターコンマミーントーンが、鍵盤楽器の調律に最もよく使われるシステムとなった。同時に、シントニック・ダイアトニック純正律は、最初はラモスによって、次いでザルリーノによって、歌手のための通常の調律法として 提唱された。

しかし、ミーントーンには独自のハーモニー上の課題がありました。そのウルフ音程はピタゴラス音律よりもさらに劣っていました (ピタゴラス音律の 12 個のキーに対して、1 オクターブに 19 個のキーが必要になることが多かったほどです)。その結果、ミーントーンはすべての音楽に適しているわけではありませんでした。18 世紀頃から、楽器のキーを変更し、ウルフ音程を避けたいという要望が高まるにつれて、ウェル音律、そして最終的には平均律が広く使用されるようになりました。

ピタゴラス音律は、現代のクラシック音楽の一部で、歌手やバイオリン族などの固定調律のない楽器から今でも聞くことができます。演奏者が音階に基づいた無伴奏のパッセージを演奏する場合、音階が最も調和して聞こえるピタゴラス音律を使用する傾向があり、その後、他のパッセージでは他の音律に戻ります (和音やアルペジエート音には純正律、ピアノやオーケストラの伴奏には平均律)。このような変更は明示的に記譜されることはなく、聴衆にはほとんど気づかれず、単に「調和して」聞こえるだけです。

• ブラゴッドは、ピタゴラス音律を用いたクルスと6弦のリラを使用して、中世ウェールズ音楽を歴史的に演奏するデュオです。
• ゴシック・ヴォイス-獅子心王のための音楽(ハイペリオン、CDA66336、1989)、監督：クリストファー・ペイジ(リーチ・ウィルキンソン)
• ジョン・シュナイダーとジョン・ベルガモ指揮のカル・アーツ・パーカッション・アンサンブルによるルー・ハリソンの演奏-ギターとパーカッション(Etceter Records、KTC1071、1990)：ギターとパーカッションのための組曲第 1 番と「パレスチナの歌」による平音と変奏曲

ウィキメディア・コモンズには、ピタゴラス音律と音程に関連するメディアがあります。

• 53 平均律、ピタゴラス音律に近い
• 異名同音音階
• 中全音程のリスト
• 音程一覧
• ピッチ間隔のリスト
• 規則的な気質
• シーエル
• 音楽的気質
• ティマイオス（対話）ではプラトンがピタゴラスの音律について論じている。
• 全音階

• ダンブリル、リチャード J. (1998)。『古代近東の考古音楽学』。タデマ プレス、ロンドン。この書名は第 2 版です。初版のタイトルは『古代近東の音楽学と器官学』でした。{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• ダニエル・リーチ・ウィルキンソン(1997)、「良いもの、悪いもの、退屈なもの」、中世およびルネサンス音楽の手引き。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-816540-4。 

• 「全音階のピタゴラス音律」、オーディオサンプル付き。
• 「ピタゴラス音律と中世のポリフォニー」、マーゴ・シュルター著。
• スプレッドシートでピタゴラス音律を作成する方法、オーディオ サンプル付きのビデオ。