規則的な気質

正規音律とは、各周波数比が有限数の生成元、つまり生成周波数比の累乗として得られるような、調律された音楽調律システムです。たとえば、西洋世界で最も一般的に使用されている音楽システムである12-TETでは、生成元は調律された 5 度 (700 セント) であり、これが5 度圏の基礎となっています。

必要なジェネレータが 2 つだけの場合 (そのうちの 1 つがオクターブ)、これを「線形音律」と呼ぶことがあります。線形音律の最もよく知られた例は、ミーントーン音律です。この音律では、生成音程は通常、わずかにフラットな 5 度とオクターブで表されます。その他の線形音律には、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツの分離音律や奇跡音律があります。

生成元が、与えられた素数pまでのすべての素数である場合、 p極限純正律と呼ばれるものが得られます。 場合によっては、これらの素数のいずれかに近い無理数が、他の素数を優先するために代用されることがあります (調律の例)。たとえば、十二音平均律では、2 を優先するために 3 が 2 ^{19 ⁄ 12}に調律され、四分音階平均律では、2 と 5 を優先するために 3 が 2 ⁴ √ 5に調律されます。

数学用語では、これらの生成子の積は自由アーベル群を定義します。独立した生成子の数は、アーベル群 の階数です。階数 1 の調律システムは平均律であり、これらはすべて単一の生成子だけで網羅できますが、整数ベースの平均律である必要はありません。アルファ スケールなどのウェンディ カルロスの非オクターブ スケールは、オクターブまで積み重ねられない 1 つの生成子を使用します。階数 2 の音律には 2 つの生成子があるため、ミーントーンは階数 2 の音律です。1 /4 コンマ ミーントーンの場合、これらはおよびとして選択できます。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 5^{1/4}}$

正規音律を研究する場合、音律がp極限純正律（ある素数pについて）から調律された音程の集合への写像を持つとみなすと便利です。音律の次元を適切に分類するには、与えられた生成子のうちいくつが独立しているかを判断する必要があります。これは、音律の記述に冗長性が含まれる可能性があるためです。この問題を考える別の方法は、音律のランクがこの写像の下のそのイメージのランクであるべきだということです。

たとえば、ハープシコード調律師は、1/4コンマ・ミーントーン調律を、オクターブ、純正な長3度（5:4）、および1/4コンマ平均律5度の3つのジェネレーターで構成すると考えるかもしれませんが、連続する4つの平均律5度は純正な長3度を生成するため、長3度は不要となり、ランク2の音律になってしまいます。

線形代数や多重線形代数の他の手法をマップに適用することもできます。たとえば、マップのカーネル(別名「ヌル空間」)は、コンマと呼ばれるp限界の間隔で構成されており、これは音律を記述する際に役立つ特性です。

• Xenharmonic Wikiの「Regular Temperament」。
• A. ミルン、WA セサレス、J. プラモンドン、「同型コントローラと動的チューニング - チューニング連続体上の不変運指」、コンピュータ ミュージック ジャーナル、2007 年冬
• ホームズ、リッチ、微分音階: ランク 2 2 ステップ (MOS) スケール
• スミス、ジーン・ワード、レギュラー・テンペラメンツ
• バルビエリ、パトリツィオ。調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年。 (2008) ラティーナ、イル レヴァンテ リブレリア エディトリス