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平均律は音楽の調律法の一つです。平均律では、完全五度の大きさを小さくすることで、三度の音程の正確性を向上させます。この調律法は、長三度を二つの等しい音に分割するために用いられる幾何平均に由来しています。この調律法には、多種多様な調律方法があります。平均律は15世紀にはすでに用いられており、19世紀まで広く使われ続け、現在でも限定的に使用されています。
平均音律は、他の 2 つの音から等距離にある音程です。[ 1 ] : 422音程は、調律が変更されると平均律になります。[ 2 ] : xii平均音律は、一般的に、長 3 度を 2 つの等しい全音で分割するものとして定義されます。2 つの全音は、倍音列から導き出される長 3 度の自然な比率である 5:4 の幾何平均としてサイズが付けられます。[ 3 ] [ 4 ]
基本的なミーントーン音律は、半音階の5度と純正の3度を用いる。ピタゴラス音律の完全5度とは異なり、ミーントーン音律では音程を純正音律の3:2の比率よりもわずかに小さくする。5度を4√5 : 1の比率に縮小することで、純正音律の3度を5:4の比率で実現できる。ミーントーンの5度はすべて同じ大きさであるため、このシステムは正律音律に分類される。[ 2 ] : xf
平均律は最も広く使われている調律基準です。すべての半音を同じ大きさにし、それらを中全音にします。[ 1 ] : 422それらの比率は12√2 : 1 で、1オクターブの 12 分の1 に等しくなります。[ 2 ] : x
普遍的な調律システムの必要性は、純正律の自然な比率に由来し、それによって4つの異なる大きさの半音が生成されます。 [ 3 ]： 478ある調で調和する音程が、別の調では調和しない場合があります。鍵盤楽器のような固定音高の楽器にとって、複数の調で調律するという問題は、特に音楽がより半音階的になるにつれて、根強い問題でした。[ 5 ]： 37
ミーントーン調律は、さまざまな名称と方法ではあるものの、15 世紀後半には一般的に使用されていました。バルトロメ・ラモス・デ・パレハは、 1482 年の論文「Musica Practica」でこのシステムについて書いています。[ 6 ] [ 7 ]フランキヌス・ガフリウスは、 1496 年にミーントーン調律の説明を発表しました。 [ 8 ] : 289f、394 [ 9 ]ピエトロ・アロンは、1523 年にチェンバロ調律マニュアルを執筆し、後に 1/4 コンマミーントーンと呼ばれるものの説明が含まれている可能性があります。[ 6 ] [ 10 ] : 119彼のシステムでは、C と E の間の 3 度は正しく調律され、C と G の間の 5 度は少し低く調律されます。[ 2 ] : 26f [ 11 ]ロドヴィコ・フォリアーニは、アロンの調律を示唆する調律方法を説明しています。[ 2 ] : 11 [ 12 ]
ジョゼッフォ・ザルリーノは1571年に、四分音符とコンマ音程が一致する「新しい音律」を明確な数学的用語で記述した。[ 13 ] 6年後、フランシスコ・デ・サリナスは、1530年代からこのシステムを使用していたことを示唆した。[ 6 ] [ 14 ] 1618年、ミヒャエル・プレトリウスは鍵盤楽器に四分音符とコンマ音程を規定し、この調律はドイツで「プレトリウス音律」として知られるようになった。マリン・メルセンヌは、音楽理論に関する1636年の代表作『普遍的ハーモニー』における四分音符とコンマ音程の記述において、デ・サリナスの研究に大きく依拠した。[ 6 ] [ 15 ]メルセンヌは「完璧なクラヴィーア」を1オクターブあたり32鍵の楽器と表現した。[ 2 ] : 79
ミーントーン音律を促進するためのオクターブの原子化は、17 世紀において継続的な関心事でした。 31 音オクターブの支持者には、Lemme Rossi (1666 年)、Joseph Zaragoza (1674 年)、Christian Huygens (1691 年) が含まれます。[ 16 ]ジャン・ガレ、アイザック・ニュートン、ニコラス・メルカトルは、オクターブを 53 部分に分割することを支持しました。[ 6 ]
五度を自然な比率から減らすことは、必ずしも平均律の欠点と見なされていたわけではありません。[ 17 ]： 69fヴォルフガング・プリンツは、平均律の五度の音響的なうなりを魅力的だと感じていました。作曲家たちは、作品の中でビブラートをシミュレートするためにこの効果を利用した可能性があります。 [ 18 ]
平均律が標準となった後も、特にオルガンでは、ミーントーンが広く使われていた。[ 19 ]古楽の演奏家は現在でもミーントーンを好むことが多い。[ 3 ]ジョン・アダムズ（『アブソリュート・ジェスト』 、2012年）やジェルジ・リゲティ（『パッサカリア・ウンゲレーゼ』 、1978年）のような作曲家もこのシステムで作曲している。[ 20 ] [ 21 ]
調律師は、これまで「耳で」調律師が用いてきた方法と同じ方法を適用できます。つまり、5度ずつ上げてオクターブずつ下げるか、5度ずつ下げてオクターブずつ上げ、5度を平均律にして、純正の 3:2の比率よりわずかに小さくします。調律師が「四分音符」を耳で確実に識別する方法は、もう少し微妙です。これは周波数の約0.3%に相当し、中央C（約264Hz）付近では約1ヘルツなので、完全5度を基準として、このレートでうなりが発生するように平均律の音を調整することで可能です。ただし、うなりの周波数は、音の周波数に比例してわずかに調整する必要があります。あるいは、うなりをなくすことで、全音階の長3度を純正の長3度（5:4の比率）に調整することもできます。
12音平均律では、5度は完全なサイクルを形成し、最後にギャップがあってはならないため（「5度圏」）、1/4コンマよりもかなり小さい値で平均律する必要があります（1/11シントニックコンマ、または1/12ピタゴラスコンマに非常に近い値）。1/4コンマ平均律では、12音のみでオクターブを埋めた後に人為的に停止すると、シャープとその異名同音フラットの間に、ピタゴラス平均律よりもわずかに小さい、逆方向のギャップが残ります。1/ 4コンマ平均律とピタゴラス平均律はどちらも円ではなく、無限に続く5度の螺旋を持っています。 2 つのシステムのわずかに平均律化されたバージョンは、より大きな 5 度圏に収束し、平均律の場合は31 tet、ピタゴラス音律の場合は53 tetとなります。
1/4コンマで12の完全5度を 平均 化するクォーターコンマ平均律は、最もよく知られている平均律のタイプであり、平均律という用語はしばしばこれを特に指すために使用されます。1/4コンマで平均化された4つの上昇5度（CGDAEとして ） （そして2オクターブ下げられた）は、純正長3度（CE）（比率5：4）を生成します。これは、 4つの完全5度から生じるピタゴラス3度よりも1つの純正コンマ（または約22セント）狭いものです。
16世紀初頭から18世紀 初頭まで広く使われていました が、その後、12平均律が普及しました。教会オルガンやその他の鍵盤楽器では19 世紀まで使われ続け、今日でも古楽演奏で復活することがあります。1/4コンマ平均律は、オクターブを31 等分することでよく近似できます。
ピタゴラス音律と同じように進行します。つまり、基本音（例えばC ）を取り、6つの連続する5度ずつ上昇し（常に 2 のべき乗で割って基本音の1オクターブ上に留まるように調整します）、同様に6つの連続する5度ずつ下降します（ 2のべき乗を掛けてオクターブに戻すように調整します）。ただし、完全5度を与える3/2の比率を使用する代わりに、これを81/80 の 4乗根で割る 必要 があります。これはシントニック・コンマ、つまりピタゴラスの3度 81/64 と純正長3度 5/4の 比率 です。同様に、 3 / 2の代わりに4√5を使用しても、わずかに減少した同じ5度が得 られ ます 。この結果、音程CEは純正長三度 5 / 4 となり、中間の二度 ( CD、DE ) はCE を均等に分割するため、DCとED は等しい比率となり、その二乗は 5 / 4 となります。長二度のシーケンスFGAとGABについても同様です。
しかし、四分音符コンマの平均音律では、上側の6つの5度音程の最後の音と下側の6つの5度音程の最後の音の間に、例えば開始点をCとした場合のF♯とG ♭の間に、残余のギャップが存在します。このギャップは、オクターブ調整すると、 125 / 128 、つまり-41.06セントの比率になります。これはピタゴラス音律のコンマとは逆の意味で（つまり、上側の音程が下側の音程よりも平坦である）、ほぼ2倍の大きさです。
3分の1コンマ平均律では、5度は同調コンマの 1/3 で平均律されます。したがって、 3つの下降5度（ADGCなど）は、6/5 の比率の純正短3度（AC）を生成します 。 これは、3つの完全5度のピタゴラス調律によって得られる短3度よりも同調コンマ1つ分広くなります。3分の 1 コンマ平均律は、オクターブを19等分することで非常によく近似できます。
「平均律」という名称は、このようなすべての音律において、全音階内の全音の大きさが、純正律の長音と短音（それぞれ9:8と10:9）の間にあるという事実から来ています。純正律と短音は、同音コンマによって互いに異なります。どの規則的なシステム[ 2 ]でも、全音（CDとして）は2つの5度（ CGDとして）（1オクターブ下げ）の後に到達し、長3度は4つの5度（CGDAE）（2オクターブ下げ）の後に到達します。したがって、 1 / 4コンマ平均律では 、全音は純正長3度（セント単位）のちょうど半分、または同等に、5 / 4の周波数比の平方根になります。
音程が平均値であると言える一つの意味は、周波数比として、長音と短音の 幾何平均であるということである。193.157セント に相当：四分の一コンマ全音サイズ。ただし、中間の音はすべて、中間であるという意味で「平均」として認められ、したがって、何らかの平均音階システムにおいて有効な選択肢となります。
四分音律の場合、長三度が同音コンマによって狭められるため、全音は純正律の長音（9:8）より半コンマ狭く、または短音（10:9）より半コンマ広くなります。四分音律がしばしば「模範的な」四分音律とみなされるのは、全音が可能な両極端の中間（セント単位）にあるからです。 [ 2 ]
ミーントーン音律は、ピタゴラス完全五度に対する補正係数（通常はシントニックコンマの特定の分数として与えられる）が、全音間隔が長音と短音の幾何平均にできるだけ近くなるように選択されるという点で区別される、規則的な音律である。歴史的に、以下で説明する一般的に使用されているミーントーン音律は、この調律連続体の狭い部分を占めており、五度はおよそ695セントから 699 セントの範囲である。
平均律は、さまざまな方法で指定できます。例えば、5度がシントニック・コンマの何分の何倍に平坦化されているか（上記参照）、平均律完全5度の幅（セント単位）、または全音（セント単位）と全音階半音の比などです。この最後の比は、アメリカの作曲家、ピアニスト、理論家であるイーズリー・ブラックウッドによって「R」と名付けられました。Rが有理数である場合、それからは、オクターブを等間隔に分割した範囲内で、対応する平均律の5度に最も近い近似値です。等しい部分。オクターブを12より大きい数の小さな部分に分割することは、マイクロトーンと呼ばれることがあり、最小の音程はマイクロトーンと呼ばれます。
こうした観点から、歴史的に注目すべきミーントーン調律を以下に列挙し、最も近い等平均微分調律と比較する。最初の列は、ミーントーンシステムにおいて完全五度が平均化されるシントニックコンマの割合を示す。2番目の列は、この調律内で発生する5つの 限界有理音程を示す。3番目の列は、対応する等平均微分音程システムにおいて、ミーントーンの五度に最もよく近似するオクターブの割合を示す。4番目の列は、両者の差をセント単位で示す。5番目の列は、対応する割合の値である。そして5番目はオクターブ内の等平均律 ( ET ) 微分音。
すべてのミーントーン調律はシントニック音律の有効な調律範囲に収まるため、すべてのミーントーン調律はシントニック調律です。ミーントーンやさまざまな純正律を含むすべてのシントニック調律は、各オクターブに無限の音を持つ可能性があります。つまり、7つのナチュラル音、7つのシャープ音（F♯からB♯）、7つのフラット音（B ♭からF ♭ ） （これはオーケストラハープの限界であり、1オクターブあたり21の異なるピッチを許容します）、そしてダブルシャープ音（FからB）、ダブルフラット音（FからB）、トリプルシャープとトリプルフラットなどです。実際には、ダブルシャープとダブルフラットは一般的ではありませんが、それでも必要ですが、トリプルシャープとトリプルフラットはほとんど見られないため、省略または妥協される可能性があります。オクターブを少数の等しい幅の最小音程に分割するシントニック調律（12、19、または31平均律など）では、この拡張された音のセットは依然として存在しますが、一部の音が同等であるため、無限ではありません。たとえば、19平均律では、E♯とF ♭は同じピッチです。31平均律では、C♯とEは同じであり、 EとGも同じです。また、Cメジャーの純正律では、C♯とDは8.1セント以内であるため、平均律で同じにすることができ、妥協音はそれぞれ許容範囲内の4セントのずれになります。 
人間の声、トロンボーン、バイオリン属の弦楽器やフレットレスギターなどのフレットのない弦楽器、可動フレットを備えたリュートなど、多くの楽器は非常に細かい音程の区別が可能です。これらの楽器は、ミーントーン調律に適しています。
一方、従来のピアノの鍵盤は1オクターブあたり12個の音を出す鍵しかなく、12平均律やウェル・テンペラメント以外の調律には適していません。平均律の歴史的な問題のほとんどは、平均律の1オクターブあたりの無限の音数を有限のピアノの鍵盤にマッピングできなかったことに起因しています。これは、例えば、前述の「ウルフ・フィフス」の原因です。ピアノの黒鍵にマッピングする音を選択する際には、少数の密接に関連する鍵盤に共通する音を選択するのが便利ですが、これはオクターブの端までしか機能しません。隣接するオクターブに上下する場合、いくつかの音程は「ウルフ・フィフス」、つまり前述のように他の音程よりもわずかに低い音程にならなければなりません。
「ウルフ五度」の存在は、平均律が導入される以前は、器楽曲が一般的に「ウルフ五度」（一般的にG♯とE ♭の間に置かれていた）を含まない「安全な」調性にとどまっていた理由の一つである。
ルネサンス期から啓蒙時代にかけて、ニコラ・ヴィチェンティーノ、フランシスコ・デ・サリナス、ファビオ・コロンナ、マラン・メルセンヌ、クリスティアーン・ホイヘンス、アイザック・ニュートンといった多様な理論家たちが、鍵盤の12音を超える平均律の使用を提唱した。[ 2 ] [ 22 ] [ 23 ]そのため、これらは現在「拡張」平均律と呼ばれている。こうした試みには、1オクターブあたり12音を超える音を出す手段を提供する鍵盤楽器の拡張が必要であった。例としては、ヴィンチェントのアルキチェンバロ、メルセンヌの19平均律チェンバロ、コロンナの31平均律サンブカ・ロータ、ホイヘンスの31平均律 チェンバロなどがある。[ 24 ]
他の楽器では、鍵盤が数音分だけ拡張されているものもある。当時のチェンバロやオルガンの中には、 D♯ / E ♭キーが分割されているものがあり、Eメジャー/ C♯マイナー（シャープ4つ）とE ♭メジャー/ Cマイナー（フラット3つ）の両方をウルフ5度なしで演奏できる。これらの楽器の多くはG♯/A♭キーも分割されており、中には5つの臨時記号キーすべてが分割されているものもある。
これらの代替手段はすべて「複雑」で「扱いにくい」（Isacoff 2009）ものでした。
これにより、同型キーボードに必要な音符制御ボタンの数を大幅に削減できます（Plamondon 2009 harvnb error: no target: CITEREFPlamondon2009 ( help )） 。これらの批判はどちらも、電子同型キーボード楽器（オープンソースのハードウェアであるジャマーキーボードなど）によって解決できる可能性があります。これらの楽器は、既存のキーボード楽器よりもシンプルで扱いやすく、表現力に富む可能性があります。[ 25 ]
