同調コンマ

音楽理論において、シントニック・コンマはクロマチック・ディエシス、ディディミアン・コンマ、トレマイオス・コンマ、あるいは全音階^コンマ[2]とも呼ばれ、 2つの音符の間にある小さなコンマ型の音程で、周波数比は81:80（= 1.0125）（約21.51セント）に等しい。この音程だけ異なる2つの音符は、訓練されていない耳でも異なって聞こえるが^[3]、十分近いため、異なる音符としてではなく、同じ音符の調子外れのバージョンとして解釈される可能性が高い。このコンマは、ディディムスがピタゴラスの長3度（81:64、約407.82セント）^[4]を正確な長3度（5:4、約386.31セント）に修正した量であるため、ディディミアン・コンマとも呼ばれる。

「コンマ」という単語は、ラテン語を経由してギリシャ語の κόμμα から来ており、その前身は *κοπ-μα = 「切り取られたもの」でした。

シントニック コンマとして知られる 81/80 の正確な音程の素因数は、分離して再構成することができ、81/1 × 1/80 や (完全に展開され素数でソートされた) 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 3/1 × 3/1 × 3/1 × 3/1 × 1/5 など、コンマに到達する 2 つ以上の音程のさまざまなシーケンスにすることができます。すべてのシーケンスは数学的に有効ですが、コンマの構成、発生、および使用法を覚えて説明するために人々が使用する、より音楽的なシーケンスのいくつかを以下に示します。

• ピタゴラスの二全音（周波数比81:64、約 407.82セント）と純正な長三度（5:4、約 386.31 セント）の大きさの差。つまり、81:64 ÷ 5:4 = 81:80 です。
• 4 つの完全五度と、2オクターブに1 つの長三度を加えたものの違い。完全五度の大きさは 3:2 (約 701.96 セント) で、4 つ合わせると 81:16 (約 2807.82 セント) になります。長三度の大きさは5:4 (約 386.31 セント) で、1 つに 2 オクターブ (4:1 またはちょうど 2400 セント) 加えると 5:1 (約 2786.31 セント) になります。これらの違いはシントニック コンマです。つまり、81:16 ÷ 5:1 = 81:80 です。
• 1オクターブプラス正しく調律された短3度（12:5、約1515.64セント）と、正しく調律された3つの完全4度（64:27、約1494.13セント）の差。つまり、12:5 ÷ 64:27 = 81:80。
• 5限界調律で生じる2種類の長二度音の差：長音（9:8、約203.91セント）と短音（10:9、約182.40セント）。つまり、9:8 ÷ 10:9 = 81:80。^[4]
• ピタゴラスの 長六度（27:16、約905.87セント）と正しく調律された、つまり「純粋な」長六度（5:3、約884.36セント）の差。つまり、27:16 ÷ 5:3 = 81:80。^[4]

ピアノの鍵盤（通常は12 平均律で調律されている）では、4 つの 5 度音程の積み重ね（700 × 4 = 2800 セント）は、2 オクターブ（1200 × 2 = 2400 セント）と長 3 度音程（400 セント）と正確に等しくなります。言い換えると、C から始まる場合、両方の音程の組み合わせは E で終わります。ただし、正しく調律されたオクターブ（2:1）、5 度音程（3:2）、および 3 度音程（5:4）を使用すると、わずかに異なる 2 つの音が生成されます。上で説明したように、それらの周波数の比率はシントニック コンマ（81:80）です。ピタゴラス音律でも正しく調律された 5 度音程（3:2）が使用されますが、長 3 度音程では 81:64 という比較的複雑な比率が使用されます。クォーターコンマ・ミーントーンは、正確に調律された長三度（5:4）を使用しますが、各五度を、その正確なサイズ（3:2）に対してシントニックコンマの四分の一だけ平坦化します。他のシステムでは、異なる妥協点を使用します。これが、現在、ほとんどの楽器の調律に12音平均律が好まれている理由の1つです^{[説明が必要]}。

数学的には、ストルマーの定理によれば、81:80 は分子と分母が通常の数である最も近い超特別比です。超特別比とは、分子が分母より 1 大きい比 (5:4 など) であり、通常の数とは素因数が 2、3、5 に制限されている数です。したがって、5 制限チューニング内でより小さな音程を記述することはできますが、超特別比として記述することはできません。

シントニック・コンマは音楽の歴史において重要な役割を果たしている。これは、ピタゴラス音律で生成された音の一部をフラットまたはシャープにして、短3度と長3度だけを生成する量である。ピタゴラス音律では、高度に協和的な音程は完全5度とその反転である完全4度だけであった。ピタゴラスの長3度（81:64）と短3度（32:27）は不協和であり、これによりミュージシャンは三和音やコードを使用できず、何世紀にもわたって比較的単純なテクスチャの音楽を書かざるを得なかった。

共音調律は音楽家ディデュモスに遡る。彼はテトラコルドの全音階の調律で、 9:8 の音程を 10:9 の音程 (より低い音) に置き換え、長三度 (5:4) と半音 (16:15) を正確に得た。これは後にプトレマイオスによって (2 つの音を入れ替えて) 共音全音階 (συντονόν διατονικός, syntonón diatonikós、συντονός + διάτονος から)に改訂された。 syntonónという用語は、アリストクセノスに​​基づいており、「緊張した」（慣例的に「激しい」）と翻訳され、引き締まった弦（したがって、より鋭い）を指す。これとは対照的に、μαλακόν（malakón、μαλακός から）は、「リラックスした」（慣例的に「柔らかい」）と翻訳され、より緩い弦（したがって、より平らまたは「柔らかい」）を指す。

これは中世後期に再発見され、音楽家たちは、いくつかの音のピッチをわずかに和らげることで、ピタゴラスの3度音程を協和音にできることに気付きました。たとえば、Eの周波数をシントニックコンマ（81:80）で下げると、CE（長3度）とEG（短3度）が一致します。つまり、CEは、正しく調律された比率 の

${\displaystyle {81 \over 64}\cdot {80 \over 81}={{1\cdot 5} \over {4\cdot 1}}={5 \over 4}}$

そして同時にEGは、

${\displaystyle {32 \over 27}\cdot {81 \over 80}={{2\cdot 3} \over {1\cdot 5}}={6 \over 5}}$

欠点は、E をフラット化することにより、 AE と EB の 5 度がピタゴラスのウルフ 5 度とほぼ同じように不協和になることです。しかし、E のみがフラット化されているため (CE × EG = 5/4 × 6/5 = 3/2)、5 度 CG は協和のままであり、CE と一緒に使用して C長三和音 (CEG) を作成できます。これらの実験により、最終的に1/4 コンマ ミーントーンと呼ばれる新しいチューニング システムが生まれました。このシステムでは、長 3 度の数が最大化され、ほとんどの短 3 度が 6:5 に非常に近い比率に調整されました。この結果は、各 5 度をシントニック コンマの 1/4 だけ狭めることによって得られました。この量は無視できると考えられており、ポリフォニック音楽や楽器伴奏付きのメロディーなど、複雑なテクスチャーを持つ音楽を十分に展開できるようになりました。それ以来、他の調律システムが開発され、シントニック・コンマは、それらの全ファミリー、つまり、ミーントーン音律を含むシントニック音律連続体に属するファミリー内の完全五度を調律するための基準値として使用されるようになりました。

シントニックコンマは、CGDAECなどのコンマポンプ（コンマドリフト）シーケンスで発生します。これは、1つの音符から次の音符への各音程が、純正律調律で特定の音程で演奏されるときです。完全5度（CGとDA）に3/2 、下降完全4度（GDとAE）に3/4、下降長3度（EC）に4/5の周波数比を使用すると、そのシーケンス内の1つの音符から次の音符への音程のシーケンスは、3/2、3/4、3/2、3/4、4/5になります。これらを掛け合わせると、

${\displaystyle {3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 4}\cdot {4 \over 5}={81 \over 80}}$

これはシントニックコンマです（このように積み重ねられた音楽の音程は、互いに掛け合わされます）。この「ドリフト」は、純正律におけるピタゴラス音程と 5 限界音程の組み合わせによって作成され、ピタゴラス調律では、ピタゴラスの長 3 度（64/81）のみを使用するため発生しません。これにより、シーケンスの最後のステップが元のピッチに戻ります。

したがって、このシーケンスでは、2 番目の C は最初の C よりもシントニック コンマ 1 つ分だけ高くなっています (再生^ⓘ)。このシーケンス、またはその任意の転置は、コンマ ポンプとして知られています。音楽のラインがこのシーケンスに従っており、隣接する音符間の各間隔が適切に調整されている場合、シーケンスに従うたびに、曲のピッチはシントニック コンマ (半音の約 5 分の 1) だけ上昇します。

コンマポンプの研究は、イタリアの科学者ジョヴァンニ・バッティスタ・ベネデッティがシントニックコンマドリフトを説明するために音楽を作曲した16世紀まで遡ります。 ^[5]

下降する完全4度 (3/4) は、下降するオクターブ(1/2) に続いて上昇する完全5度 (3/2) と同じであることに注意してください。つまり、(3/4) = (1/2) × (3/2) です。同様に、下降する長3度 (4/5) は、下降するオクターブ (1/2) に続いて上昇する短6度(8/5) と同じです。つまり、(4/5) = (1/2) × (8/5) です。したがって、上記のシーケンスは次のようになります。

${\displaystyle {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {8 \over 5}={81 \over 80}}$

または、同様の間隔をグループ化することで、

${\displaystyle {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {8 \over 5}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}\cdot {1 \over 2}={81 \over 80}}$

つまり、すべての音程が正しく調整されていれば、4 つの完全 5 度と 1 つの短 6 度、それに続く 3 つの下降オクターブ (つまり、4 つのP5と 1 つのm6から 3 つのP8 を引いたもの) を積み重ねることで、シントニック コンマを取得できます。

モーリッツ・ハウプトマンは、ヘルマン・フォン・ヘルムホルツが使用した記譜法を考案しました。ピタゴラス音律に基づいて、下付き数字を追加して、音を下げる共音コンマの数を示します。したがって、ピタゴラス音階は CDEFGAB で、純正音階は CDE ₁ FGA ₁ B ₁です。カール・アイツは、J・マレー・バーバーが使用した同様のシステムを開発しました。上付き正負の数字を追加して、ピタゴラス音律から上げるまたは下げる共音コンマの数を示します。したがって、ピタゴラス音階は CDEFGAB で、5 制限のプトレマイオス音階は CDE ⁻¹ FGA ⁻¹ B ⁻¹です。

ヘルムホルツ・エリス記譜法では、シントニック・コンマは従来の臨時記号に上下の矢印を加えて表される。したがって、ピタゴラス音階はCDEFGAB、5限界プトレマイオス音階はCDEである。ＦＧＡB。

作曲家のベン・ジョンストンは、シントニック・コンマによって音が下がることを示すために「−」を臨時記号として使用し、シントニック・コンマによって音が上がることを示すために「+」を使用しています。^[1]したがって、ピタゴラス音階はCD E+ FG A+ B+であり、5限界プトレマイオス音階はCDEFGA Bです。

• F+（ピッチ）
• ホルドリアンコンマ
• コンマ（音楽）
• ピタゴラスカンマ

• インディアナ大学音楽学部: ピアノ修理工場: チェンバロの調律、修理、音律: 「シントニック・コンマとは何ですか?」
• Tonalsoft: 「シントニック・コンマ」
• コンマドリフトの説明