質量エネルギー等価性

物理学において、質量エネルギー等価性は、系の静止系における質量とエネルギーの関係であり、2つの量は乗法定数と測定単位のみで異なります。^{[1] [2]}この原理は、物理学者アルバート・アインシュタインの式  E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} によって説明されます。^[3]系が動いている基準系では、その相対論的エネルギーと相対論的質量（静止質量ではなく）は同じ式に従います。

この式は、静止系における粒子のエネルギーE を、質量 ( m ) と光速の2 乗 ( c ² ) の積として定義します。光速は日常的な単位では大きな数値 (約300,000 km /  s または186,000 mi / s)であるため 、この式は、少量の質量が膨大な量のエネルギーに対応することを意味しています。

静止質量は不変質量とも呼ばれ、速度とは無関係な物質の基本的な物理的特性です。光子などの質量のない粒子は不変質量がゼロですが、質量のない自由粒子は運動量とエネルギーの両方を持ちます。

等価原理とは、化学反応や核反応で質量が失われると、それに相当する量のエネルギーが放出されるというものです。エネルギーは、光などの放射エネルギー、または熱エネルギーとして、環境（対象システムの外部）に放出されます。この原理は、核物理学や素粒子物理学を含む多くの物理学の分野の基礎となります。

質量とエネルギーの等価性は、フランスの博学者アンリ・ポアンカレ（1854-1912）が述べたパラドックスとして特殊相対性理論から生まれました。 ^{[4]アインシュタインは、質量とエネルギーの等価性を一般原理として、また}空間と時間の対称性の結果として初めて提案しました。この原理は、 1905年11月21日に発表された彼の驚異の年論文の一つである「物体の慣性はそのエネルギー含有量に依存するか？」で初めて登場しました。 ^{[5] [6]}エネルギーと運動量の関係で説明されるこの式と運動量との関係は、後に他の物理学者によって発展しました。

質量とエネルギーの等価性は、質量を持つすべての物体、つまり質量のある物体は、静止しているときでも、対応する固有エネルギーを持っていると述べている。物体の静止系では、定義により物体は動かず、したがって運動量がなく、質量とエネルギーは等しいか、定数である光速の2乗（c ²）だけが異なる。^{[1] [2]}ニュートン力学では、動かない物体には運動エネルギーがなく、力の場における位置から得られる位置エネルギーに加えて、化学エネルギーや熱エネルギーなど、内部に蓄えられた他の量のエネルギーがある場合とない場合がある。これらのエネルギーは、物体の質量にc ^{2を掛けたものよりもはるかに小さくなる傾向があり、1キログラムの質量に対して10 17}ジュールのオーダーである。この原理により、核反応から生じる原子の質量は、核反応に入る原子の質量よりも小さくなり、質量の差は、その差と同じエネルギーを持つ熱と光として現れます。これらの極端な事象を分析する場合、放出（除去）されるエネルギーをE、質量の変化をmとして、アインシュタインの公式を使用できます。  

相対性理論では、物体とともに移動するすべてのエネルギー（つまり、物体の静止系で測定されたエネルギー）は物体の全質量に寄与し、それが加速にどれだけ抵抗するかを測る。理想的な鏡でできた孤立した箱に光を入れることができれば、個々に質量のない光子は、そのエネルギーをc ²で割った量だけ箱の全質量に寄与することになる。^[7]静止系の観測者にとって、エネルギーを除去することは質量を除去することと同じであり、式m = E / c ^{2 は}、エネルギーが除去されたときにどれだけの質量が失われるかを示している。^[8]同様に、孤立系にエネルギーが追加されると、質量の増加は追加されたエネルギーをc ²で割った量に等しい。^[9]

物体は、観測者の動きに応じて、異なる参照系で異なる速度で運動する。これは、ニュートン力学と相対性理論の両方において、運動エネルギーが「系に依存する」ことを意味し、そのため、物体が持つと測定される相対論的エネルギーの量は、観測者に依存する。物体の相対論的質量は、相対論的エネルギーをc ²で割った値で表される。^[10]相対論的質量は相対論的エネルギーに正確に比例するため、相対論的質量と相対論的エネルギーはほぼ同義であり、それらの唯一の違いは単位である。物体の静止質量または不変質量は、物体が観測者に対して動いていない静止系で持つ質量として定義される。物理学者は通常、質量という用語を使用するが、実験では、物体の重力質量は静止質量だけでなく、その全エネルギーに依存することが示されている。^[要出典]静止質量はすべての慣性系で同じで、観測者の運動とは無関係であり、物体の相対論的質量の最小値である。システムの構成要素間の引力によって位置エネルギーが生じるため、静止質量が加算されることはほとんどなく、一般に物体の質量はその構成要素の質量の合計ではない。^[9]物体の静止質量は、運動量系の中心から観測された運動エネルギーと位置エネルギーを含む、すべての構成要素の合計エネルギーである。質量が加算されるのは、構成要素が静止しており（運動量系の中心から観測された場合）、引き付けたり反発したりしない場合にのみであり、そのため構成要素には余分な運動エネルギーや位置エネルギーはない。^{[注 1]}質量がない粒子は静止質量のない粒子であり、したがって固有エネルギーを持たず、そのエネルギーは運動量のみによる。

相対論的質量は物体の運動に依存するため、相対運動をしている観測者によって質量の見方は異なります。運動している物体の相対論的質量は静止している物体の相対論的質量よりも大きくなります。これは、運動している物体が運動エネルギーを持っているためです。物体がゆっくり動いている場合、相対論的質量は静止質量とほぼ等しく、両方とも古典的な慣性質量（ニュートンの運動の法則に現れる）とほぼ等しくなります。物体が速く動いている場合、相対論的質量は静止質量よりも、物体の運動エネルギーに関連する質量に等しい量だけ大きくなります。質量のない粒子にも、運動エネルギーから導かれる相対論的質量があり、相対論的エネルギーをc ²で割った値、つまりm _rel = E / c ²に等しくなります。^{[11] [12]}光速は、長さと時間が自然単位で測定されるシステムにおける速度であり、相対論的質量とエネルギーは値と次元が等しくなります。相対論的質量はエネルギーの別名に過ぎないため、この用語の使用は冗長であり、物理学者は通常、相対論的質量ではなく静止質量または不変質量を指すために質量を使用します。 ^{[13] [14]}この用語の結果、特殊相対論では質量は保存されませんが、運動量保存とエネルギー保存はどちらも基本法則です。^[13]

エネルギー保存は物理学の普遍原理であり、運動量保存とともにあらゆる相互作用に当てはまります。^[13]対照的に、古典的な質量保存は、特定の相対論的設定では破られます。^{[14] [13]この概念は、核反応や}素粒子間のその他の相互作用における質量の運動エネルギーへの変換など、さまざまな方法で実験的に証明されています。^[14]現代物理学では「質量保存」という表現は廃止されていますが、古い用語では、相対論的質量は運動システムのエネルギーと同等であると定義することもでき、相対論的質量の保存が可能です。^{[13]質量保存は、粒子の質量に関連するエネルギーが運動エネルギー、熱エネルギー、}放射エネルギーなどの他の形態のエネルギーに変換されるときに破綻します。^[13]

質量がない粒子の静止質量はゼロです。光子のエネルギーに関するプランク-アインシュタインの関係は、式E = hfで与えられます。ここで、hはプランク定数、f は光子周波数です。この周波数、したがって相対論的エネルギーはフレームに依存します。観測者が光子が光源から移動する方向に光子から逃げ、光子が観測者に追いついた場合、観測者は光子が光源にいた時よりもエネルギーが低いと見ます。光子が追いついたときに観測者が光源に対してより速く移動しているほど、光子のエネルギーは少なく見えるでしょう。観測者が光源に対して光速に近づくと、相対論的ドップラー効果に従って、光子の赤方偏移が増加します。光子のエネルギーは減少し、波長が任意に大きくなると、光子のエネルギーはゼロに近づきます。これは、光子が質量を持たないという性質により、いかなる固有エネルギーも許されないためです。

原子核、惑星、恒星など、多くの部分から構成される閉鎖系の場合、相対論的エネルギーは各部分の相対論的エネルギーの合計で表されます。これは、これらの系ではエネルギーが加算されるためです。系が引力によって束縛されている場合、行われた仕事を超えて得られたエネルギーが系から除去されると、この除去されたエネルギーとともに質量が失われます。原子核の質量は、それを構成する陽子と中性子の合計質量よりも小さくなります。 ^[15]この質量の減少は、原子核を個々の陽子と中性子に分解するために必要なエネルギーにも相当します。この効果は、個々の成分の位置エネルギーを見ると理解できます。個々の粒子には互いに引き合う力があり、それらを引き離すと、地球上で物体を持ち上げた場合と同じように、粒子の位置エネルギーが増加します。このエネルギーは、粒子を分割するために必要な仕事に等しいです。太陽系の質量は、個々の質量の合計よりもわずかに小さくなります。

異なる方向に運動する孤立した粒子系の場合、系の不変質量は静止質量に類似しており、相対的に運動している観測者も含めてすべての観測者にとって同じです。これは、運動量中心フレームの全エネルギー（ c ²で割ったもの）として定義されます。運動量中心フレームは、系の全運動量がゼロになるように定義されます。質量中心フレームという用語も時々使用され、質量中心フレームは、質量中心が原点に置かれている運動量中心フレームの特殊なケースです。可動部分があり全運動量がゼロの物体の簡単な例としては、ガスの容器があります。この場合、容器の質量は全エネルギー（ガス分子の運動エネルギーを含む）によって与えられます。これは、運動量がゼロであるどの基準フレームでも系の全エネルギーと不変質量は同じであり、そのような基準フレームは物体の重量を測定できる唯一のフレームでもあるためです。同様に、特殊相対性理論では、固体を含むすべての物体の熱エネルギーは、物体内の原子の運動エネルギーと位置エネルギーとして存在し、物体を構成する原子の静止質量には（気体と同様に）見られないにもかかわらず、物体全体の質量に寄与すると仮定しています。^[9]同様に、光子であっても、隔離された容器に閉じ込められた場合、そのエネルギーは容器の質量に寄与します。理論上、このような余分な質量は、個々の光子には静止質量がなくても、他の種類の静止質量と同じように計量できます。閉じ込められたエネルギーがどのような形であれ、正味の運動量を持たないシステムに計量可能な質量を追加するという特性は、相対性理論の結果の 1 つです。エネルギーが計量可能な質量を示すことがない古典的なニュートン物理学には、これに相当するものはありません。^[9]

物理学には、重力質量と慣性質量という 2 つの質量の概念があります。重力質量は、物体によって生成される重力場の強さ、および他の物体によって生成された重力場に物体が浸漬されたときに物体に作用する重力を決定する量です。一方、慣性質量は、特定の力が物体に適用された場合に物体がどれだけ加速するかを定量化します。特殊相対性理論における質量とエネルギーの等価性は、慣性質量を指します。ただし、ニュートンの重力のコンテキストではすでに、弱い等価原理が仮定されています。つまり、すべての物体の重力質量と慣性質量は同じです。したがって、質量とエネルギーの等価性と弱い等価原理を組み合わせると、すべての形態のエネルギーが物体によって生成される重力場に寄与するという予測が得られます。この観察は、一般相対性理論の柱の 1 つです。

あらゆる形態のエネルギーが重力で相互作用するという予測は、実験によって検証されてきた。この予測を検証した最初の観測の一つは、エディントン実験と呼ばれ、1919年5月29日の日食の際に行われた。^{[16] [17]}日食の間、イギリスの天文学者で物理学者のアーサー・エディントンは、太陽の近くを通過する星からの光が曲がることを観測した。この効果は、太陽による光の重力によるものである。この観測により、光によって運ばれるエネルギーは確かに重力質量と同等であることが確認された。もう一つの独創的な実験であるパウンド・レプカ実験は、1960年に実施された。^[18]このテストでは、光線が塔の頂上から放射され、下で検出された。検出された光の周波数は、放射された光よりも高かった。この結果により、光子のエネルギーは地球の重力場に落ちると増加することが確認された。プランクの法則で述べられているように、光子のエネルギー、つまり重力質量は、その周波数に比例します。

いくつかの反応では、物質粒子が破壊され、それに関連するエネルギーが光や熱などの他の形態のエネルギーとして環境に放出される。^[1]このような変換の一例は、静止エネルギーが運動エネルギーに変換される素粒子相互作用で起こる。^[1]このようなエネルギーの種類間の変換は核兵器で発生し、原子核内の陽子と中性子は元の質量のわずかな部分を失うが、失われた質量はより小さな構成要素の破壊によるものではない。核分裂により、質量に関連するエネルギーのごく一部を放射線などの使用可能なエネルギーに変換することができる。たとえば、ウランの崩壊では、元の原子の質量の約0.1％が失われる。^[19]理論上は、物質を破壊し、物質に関連する静止エネルギーをすべて熱と光に変換することは可能であるはずだが、理論的に知られている方法はどれも実用的ではない。質量に関連するエネルギーをすべて利用する1つの方法は、反物質で物質を消滅させることである。しかし、反物質は宇宙では稀であり、既知の生成メカニズムでは、反物質が消滅する際に放出されるエネルギーよりも多くの利用可能なエネルギーが必要である。CERNは2011年に、反物質を生成して保存するには、反物質が消滅する際に放出されるエネルギーの10億倍以上のエネルギーが必要であると推定した。^[20]

通常の物体を構成する質量のほとんどは陽子と中性子であるため、通常の物質のエネルギーをすべてより有用な形に変換するには、陽子と中性子をより軽い粒子、または質量をまったく持たない粒子に変換する必要があります。素粒子物理学の標準モデルでは、陽子と中性子の数はほぼ正確に保存されます。 それにもかかわらず、ジェラルド・トホーフトは、陽子と中性子を反電子とニュートリノに変換するプロセスがあることを示しました。^[21]これは、物理学者のアレクサンダー・ベラヴィン、アレクサンダー・マルコビッチ・ポリャコフ、アルバート・シュワルツ、およびユー・S・チュプキンによって提唱された弱いSU(2) インスタントンです。^[22]このプロセスは、原理的には物質を破壊し、物質のエネルギーすべてをニュートリノと使用可能なエネルギーに変換できますが、通常は非常に遅いです。その後、このプロセスはビッグバン直後にしか到達できなかった極めて高い温度で急速に起こることが示されました。^[23]

標準モデルの拡張の多くには磁気単極子が含まれており、大統一理論の一部のモデルでは、これらの単極子が陽子崩壊を触媒し、カラン・ルバコフ効果として知られるプロセスを引き起こす。^[24]このプロセスは常温では効率的な質量エネルギー変換となるが、単極子と反単極子の生成が必要であり、その生成は非効率的であると予想される。物質を完全に消滅させる別の方法は、ブラックホールの重力場を利用するものである。英国の理論物理学者 スティーブン・ホーキングは、ブラックホールに物質を投げ込み、放出される熱を利用して発電することが可能であると理論化した^{[25] 。しかし、}ホーキング放射の理論によれば、大きなブラックホールは小さなブラックホールよりも放射が少ないため、使用可能な電力は小さなブラックホールによってのみ生成できる。

慣性系におけるシステムのエネルギーとは異なり、システムの相対論的エネルギー（ ）は静止質量（）とシステムの全運動量の両方に依存する。これらのシステムへのアインシュタインの方程式の拡張は次のように与えられる：^{[26] [27] [注 2]}${\displaystyle E_{\rm {rel}}}$${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}&=m_{0}^{2}c^{4}\\E_{\rm {rel}}^{2}-(pc)^{2}&=(m_{0}c^{2})^{2}\end{aligned}}}$

または

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\rm {rel}}={\sqrt {(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}}\,\!\end{aligned}}}$

ここで、項はシステム内のさまざまな運動量ベクトルのユークリッドノルム（ベクトル全体の長さ）の二乗を表し、単一の粒子だけを考えると、単純な運動量の大きさの二乗に簡約されます。この式はエネルギー運動量関係と呼ばれ、運動量項がゼロのときに に簡約されます。 の光子の場合、式は に簡約されます。 ${\displaystyle (pc)^{2}}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=mc^{2}}$${\displaystyle m_{0}=0}$${\displaystyle E_{\rm {rel}}=pc}$

ローレンツ因子γを用いると、エネルギー運動量はE = γmc ²と書き直され、べき級数として展開される。

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}$

光速よりはるかに小さい速度の場合、この式の高次の項はどんどん小さくなります。なぜなら、ヴ/c⁠ は小さいです。低速の場合、最初の 2 つの項以外はすべて無視できます。

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}.}$

古典力学では、m ₀ c ²項と高速補正は両方とも無視されます。エネルギーの初期値は任意です。エネルギーの変化のみが測定できるため、古典物理学ではm ₀ c ²項は無視されます。高次の項は高速で重要になりますが、ニュートン方程式は低速では非常に正確な近似値です。3 番目の項を追加すると、次の式が得られます。

${\displaystyle E\approx m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}\left(1+{\frac {3v^{2}}{4c^{2}}}\right)}$。

2つの近似値の差は で表され、これは日常的な物体としては非常に小さな数値です。2018年にNASAはパーカー太陽探査機が時速153,454マイル（68,600 m/s）で史上最速であると発表しました。^[28] 2018年のパーカー太陽探査機の近似値の差は で、これは4億分の1のエネルギー補正を考慮しています。対照的に、重力定数の標準的な相対不確かさは約です。^[29]${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {3v^{2}}{4c^{2}}}\approx 3.9\times 10^{-8}}$${\displaystyle 2.2\times 10^{-5}}$

核結合エネルギーは、原子核を構成要素に分解するために必要な最小エネルギーです。^[30]原子の質量は、強い核力の引力により、その構成要素の質量の合計よりも小さくなります。^[31] 2つの質量の差は質量欠損と呼ばれ、アインシュタインの公式を通じて結合エネルギーに関連付けられています。^{[31] [32] [33]}この原理は核分裂反応のモデル化に使用され、核兵器と原子力の両方で使用される核分裂連鎖反応によって大量のエネルギーが放出される可能性があることを意味しています。

水分子の重さは、自由水素原子 2 個と酸素原子 1 個よりわずかに軽い。このわずかな質量差は、分子を 3 つの原子に分割するために必要なエネルギー ( c ²で割った値) であり、分子が形成されるときに熱として放出された (この熱には質量があった)。同様に、ダイナマイトの棒は理論上は爆発後の破片よりわずかに重い。この場合、質量差はダイナマイトが爆発したときに放出されるエネルギーと熱である。このような質量の変化は、システムが開いていて、エネルギーと質量が逃げる場合にのみ発生する可能性がある。したがって、ダイナマイトが密閉されたチャンバー内で爆発した場合、チャンバーと破片、熱、音、光の質量は、チャンバーとダイナマイトの元の質量と等しい。はかりに載せた場合、重量と質量は変化しない。これは、破裂したり放射線を通したりしない、無限の強度を持つ理想的な箱に保管できる核爆弾でも、理論上は発生する。 ^[注3]したがって、21.5 キロトン（9 × 10 ¹³ ジュール) の核爆弾は、約 1 グラムの熱と電磁放射線を生成しますが、このエネルギーの質量は、秤の上に置かれた理想的な箱の中で爆発した爆弾では検出できません。代わりに、箱の内容物は、総質量と重量が変わらないまま、数百万度に加熱されます。爆発後に、そのような理想的な箱に電磁放射線のみを通す透明な窓を開け、X 線やその他の低エネルギー光線を箱から放出すると、最終的に爆発前よりも 1 グラム軽くなっていることがわかります。この重量と質量の減少は、箱がこのプロセスによって室温まで冷却されるときに発生します。ただし、X 線 (およびその他の「熱」) を吸収した周囲の質量は、結果として生じる加熱によってこの 1 グラムの質量を獲得するため、この場合、質量の「損失」は単に質量の移動を表します。

アインシュタインはセンチメートル・グラム・秒単位系（cgs）を使用しましたが、その式は単位系に依存しません。自然単位では、光の速度の数値は1に設定され、式は数値の等式を表します：E = m。SIシステム（比を表す）では、⁠え/メートル⁠ジュール/キログラム（メートル毎秒のcの値を使用）: ^[35]

⁠え/メートル⁠ = c ² = (299 792 458  m/s ) ² = 89 875 517 873 681 764  J/kg（≈ 9.0 × 10 ¹⁶ジュール/キログラム）。

つまり、1キログラムの質量に相当するエネルギーは

• 89.9 ペタジュール
• 250 億 キロワット時（≈25,000GW  ·h）
• 21.5 兆 キロカロリー（≒21Pcal）^[注4]
• 85.2兆BTU ^[注4]
• 0.0852クワドまたは以下の燃焼によって放出されるエネルギー:
• 21,500 キロトンのTNT火薬相当のエネルギー（≈21Mt）^[注4]
• 2 630 000 000 リットルまたは自動車用ガソリン6億9,500万米ガロン

エネルギーが放出されるときはいつでも、その過程はE = mc ^{2 の}観点から評価できます。たとえば、トリニティ実験と長崎への原爆投下で使用された「ガジェット」型爆弾の爆発力は、TNT 火薬 21 kt に相当します。^[36]これらの爆弾のそれぞれに含まれる約 6.15 kg のプルトニウムのうち約 1 kg が、冷却後にほぼ 1 グラム少ない軽い元素に分裂しました。この爆発で放出された電磁放射と運動エネルギー (熱エネルギーと爆風エネルギー) が、失われた 1 グラムの質量を運びました。

システムにエネルギーが追加されるたびに、方程式を変形するとわかるように、システムの質量が増加します。

• バネの質量は、圧縮または張力がかかると必ず増加します。質量の増加は、バネ内の原子を結び付ける伸張した化学 (電子) 結合に結び付けられた、バネ内に蓄えられた位置エネルギーの増加によって生じます。
• 物体の温度を上げると（熱エネルギーが増加すると）、質量が増加します。たとえば、プラチナとイリジウムでできたキログラムの質量の基準を考えてみましょう。温度が1℃変化すると、質量は1.5ピコグラム（1ピコグラム =1 × 10 ⁻¹²  g）。^{[注 5]}
• 回転するボールは、回転していないときよりも質量が大きくなります。その質量の増加は、回転エネルギーの質量とまったく同じで、回転エネルギー自体はボールのすべての可動部分の運動エネルギーの合計です。たとえば、地球自体は、回転しているため、回転していない場合よりも質量が大きくなっています。地球の回転エネルギーは10 ²⁴ジュール以上、つまり10 ⁷ kgを超えています。^[37]

アインシュタインは質量とエネルギーの等価性の公式を正しく導き出した最初の人物であったが、エネルギーと質量を関連づけた最初の人物ではなかった。ただし、それ以前の著者のほぼ全員が、質量に寄与するエネルギーは電磁場からのみ来ると考えていた。^{[38] [39] [40]}アインシュタインの公式は発見されると、当初はさまざまな表記法で書かれ、その解釈と正当性はいくつかの段階を経てさらに発展した。^{[41] [42]}

18世紀の質量とエネルギーの相関関係に関する理論には、1717年にイギリスの科学者アイザック・ニュートンが考案したものが含まれる。ニュートンは『光学』の「疑問30」で、光粒子と物質粒子は相互に変換可能であると推測し、「粗大物体と光は相互に変換可能ではないのか。物体は、その構成物に加わる光の粒子から、その活動の多くを受け取るのではないだろうか」と問いかけている。 ^[43]スウェーデンの科学者で神学者のエマヌエル・スウェーデンボルグは、 1734年の著書『プリンキピア』で、すべての物質は究極的には「純粋で完全な運動」の無次元点から構成されると理論づけた。彼は、この運動は力、方向、速度を持たないが、その内部のどこにでも力、方向、速度の可能性を持っていると説明した。^{[44] [45]}

19世紀には、様々なエーテル理論において質量とエネルギーが比例することを示す推測的な試みがいくつかあった。^[46] 1873年にロシアの物理学者で数学者のニコライ・ウモフは、エーテルの質量とエネルギーの関係をЕ = kmc ²（0.5 ≤ k ≤ 1）の形で指摘した。^{[47]イギリスの技術者}サミュエル・トルバー・プレストンの著作^[48]とイタリアの実業家で地質学者の オリント・デ・プレットの1903年の論文^{[49] [50]}は、質量とエネルギーの関係を提示した。イタリアの数学者で数学史家のウンベルト・バルトッチは、デ・プレットとアインシュタインを結びつける隔たりはわずか3度しかないと観察し、アインシュタインはおそらくデ・プレットの研究を知っていたと結論付けた。^{[51] [52]物理学者}ジョルジュ＝ルイ・ル・サージュに倣って、プレストンとデ・プレットは、宇宙は常に速度cで運動する微粒子のエーテルで満たされていると想像した。これらの粒子はそれぞれ、小さな数値係数までmc ²の運動エネルギーを持つ。非相対論的な運動エネルギーの式には、従来の係数⁠が常に含まれていたわけではない。1/2⁠、ドイツの博学者ゴットフリート・ライプニッツが運動エネルギーをそれなしで導入し、⁠1/2⁠ は、相対論以前の物理学ではほぼ慣例となっている。^[53]すべての粒子の質量はエーテル粒子の質量の合計であると仮定することで、著者らは、すべての物質には慣例に応じてE = mc ²または2 E = mc ²で与えられる量の運動エネルギーが含まれていると結論付けた。当時、エーテル粒子は通常、受け入れがたいほど推測的な科学であると考えられていた。^[54]また、これらの著者は相対性理論を定式化していないため、彼らの推論は、相対性理論を使用してフレームを変更したアインシュタインの推論とはまったく異なる。

1905年、アインシュタインとは独立して、フランスの博学者ギュスターヴ・ル・ボンは、物理学の包括的な質的哲学に基づいて、原子が大量の潜在エネルギーを放出できるのではないかと推測した。^{[55] [56]}

19世紀から20世紀初頭にかけて、イギリスの物理学者JJトムソン（1881年）、オリバー・ヘヴィサイド（1889年）、ジョージ・フレデリック・チャールズ・サール（1897年）、ドイツの物理学者ヴィルヘルム・ウィーン（1900年）、マックス・エイブラハム（1902年）、オランダの物理学者ヘンドリック・アントーン・ローレンツ（1904年）など、帯電物体の質量が静電場にどのように依存するかを理解しようとする試みが数多く行われた。^{[57]この概念は}電磁質量と呼ばれ、速度と方向にも依存すると考えられていた。ローレンツは1904年に縦方向と横方向の電磁質量について次の式を示した。

${\displaystyle m_{L}={\frac {m_{0}}{\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{3}}},\quad m_{T}={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$、

どこ

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

電磁質量の一種を導くもう一つの方法は、放射圧の概念に基づいていた。1900年、フランスの博学者アンリ・ポアンカレは、電磁放射エネルギーを運動量と質量を持つ「架空の流体」と関連付けた^[4]

${\displaystyle m_{em}={\frac {E_{em}}{c^{2}}}\,.}$

これによってポアンカレはローレンツの理論における質量中心定理を守ろうとしたが、その扱いは放射パラドックスを招いた。^[40]

オーストリアの物理学者フリードリヒ・ハーゼンエールは1904年に、電磁空洞放射が「見かけの質量」に寄与すること を示した。

${\displaystyle m_{0}={\frac {4}{3}}{\frac {E_{em}}{c^{2}}}}$

空洞の質量に依存する。彼は、これは質量が温度にも依存することを示唆していると主張した。^[58]

アインシュタインは1905年の奇跡の年論文「物体の慣性はエネルギー含有量に依存するか？」^[5]の中で正確な式E = mc ²を書いていない。むしろ、その論文では物体が光を発してエネルギーLを放出すると、その質量は⁠ら/2 ^...⁠ 。この定式化は、絶対的な関係を必要とせずに、質量の変化Δ mとエネルギーの変化Lのみを関連付けます。この関係により、質量とエネルギーは、同じ基礎となる保存された物理量の 2 つの名前として見ることができるとアインシュタインは確信しました。 ^[59]彼は、エネルギー保存の法則と質量保存の法則は「1 つで同じ」であると述べています。 ^[60]アインシュタインは 1946 年のエッセイで、「質量保存の原理は…特殊相対性理論の前では不十分であることが判明しました。したがって、約 60 年前に機械的エネルギー保存の原理が熱 [熱エネルギー] 保存の原理と統合されたのと同じように、エネルギー保存の原理と統合されました。エネルギー保存の原理は、以前に熱保存の原理を飲み込み、今度は質量保存の原理を飲み込み、この分野を独占していると言えるでしょう。」と述べています。 ^[61]

特殊相対性理論を発展させる中で、アインシュタインは運動する物体の 運動エネルギーは

${\displaystyle E_{k}=m_{0}c^{2}(\gamma -1)=m_{0}c^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right),}$

ここで、v は速度、m 0_は静止質量、γ はローレンツ因子です。

彼は、小さな速度ではエネルギーが古典力学と同じになり、対応原理を満たすようにするために、右側の2番目の項を含めました。

${\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots }$

この 2 番目の項がなければ、粒子が動いていないときにエネルギーに追加の寄与が生じます。

アインシュタインは、ローレンツとエイブラハムに倣い、1905年の電気力学論文と1906年の別の論文で、速度と方向に依存する質量の概念を使用した。^{[62] [63]アインシュタインの1905年の最初の論文}E = mc ²では、 mを現在で言う静止質量として扱い、^[5]晩年には「相対論的質量」という考え方を好まなかったことが指摘されている。^[64]

古い物理学用語では、相対論的エネルギーは相対論的質量の代わりに使用され、「質量」という用語は静止質量のために留保されています。^[13]歴史的に、「相対論的質量」の概念の使用と、相対論における「質量」とニュートン力学における「質量」の関係については、かなりの議論がありました。1つの見解は、静止質量のみが実行可能な概念であり、粒子の特性であるのに対し、相対論的質量は粒子の特性と時空の特性の集合体であるというものです。ノルウェーの物理学者ケル・ヴォイエンリによる別の見解は、ニュートンの粒子特性としての質量の概念と相対論的質量の概念は、それぞれの理論に埋め込まれており、正確なつながりがないと見なす必要があるというものです。^{[65] [66]}

アインシュタインは相対性理論の論文「運動物体の電気力学について」の中で、粒子の運動エネルギーの正しい表現をすでに導出しています。

${\displaystyle E_{k}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$。

さて、静止している物体にどの定式化が適用されるかについては未解決の問題が残っていた。これは、アインシュタインが「物体の慣性はエネルギー含有量に依存するか？」という論文（奇跡の年論文の1つ）で取り組んだ。ここでアインシュタインは、真空中の光速をVで表し、物体が放射の形で失うエネルギーをLで表した。 ^[5]その結果、方程式E = mc ²は、もともと数式として書かれたのではなく、「物体が放射の形でエネルギーLを放出すると、その質量は⁠ら/V2 ^2010年⁠ ." 上の注釈によると、この式は級数展開の「4次以上の大きさ」を無視することで近似されている。 ^{[注 6]}アインシュタインは、静止系で見ると放射前のエネルギーがE _{0で放射後のエネルギーが}E ₁である、反対方向に2つの光パルスを放射する物体を使用した。動いている系から見ると、 E _{0 は}H ₀に、 E _1はH ₁になる。アインシュタインは、現代の記法で次の式を得た。

${\displaystyle \left(H_{0}-E_{0}\right)-\left(H_{1}-E_{1}\right)=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$。

彼は次に、H − E は運動エネルギーKと加算定数 だけ異なると主張し、

${\displaystyle K_{0}-K_{1}=E\left({\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}-1\right)}$。

3次以上の効果を無視すると、ヴ/c⁠この右辺を テイラー展開すると次のようになります

${\displaystyle K_{0}-K_{1}={\frac {E}{c^{2}}}{\frac {v^{2}}{2}}.}$

アインシュタインは、放射によって物体の質量が減少すると結論付けた。え/2 ^...⁠、そして物体の質量はそのエネルギー含有量の尺度である。

1905年にアインシュタインが導出したE = mc ²の正しさは、 1907年にドイツの理論物理学者マックス・プランクによって批判され、プランクはそれが第一近似にしか当てはまらないと主張した。別の批判は1952年にアメリカの物理学者ハーバート・アイブスによって、1961年にイスラエルの物理学者マックス・ジャマーによってなされ、アインシュタインの導出は論点先取に基づいていると主張した。 ^{[41] [67]アメリカとチリの}哲学者 ジョン・スタッヘルやロベルト・トレッティなどの他の学者は、アイブスの批判は間違っており、アインシュタインの導出が正しいと主張している。^[68]アメリカの物理学者ハンス・オハニアンは2008年にスタッヘル/トレッティのアイブスに対する批判に同意したが、アインシュタインの導出は他の理由で間違っていると主張した。^[69]

ポアンカレと同様に、アインシュタインは1906年に、電磁エネルギーの慣性が質量中心定理が成り立つための必要条件であると結論付けた。このとき、アインシュタインはポアンカレの1900年の論文に言及し、「証明に必要な形式的な考察は、すでにH.ポアンカレの著作²にほとんど含まれているが、明確さのためにその著作には頼らない」と書いた。^[70]アインシュタインの形式的または数学的観点ではなく、より物理的な観点では、架空の質量は必要なかった。質量とエネルギーの等価性に基づいて、放射の放出と吸収に伴う慣性の輸送が問題を解決することを示すことができたため、永久運動の問題を回避することができた。ポアンカレによる作用反作用の原理の否定は、アインシュタインのE = mc ²によって回避できます。なぜなら、質量保存則はエネルギー保存則の特別な場合として現れるからです。

20 世紀の最初の 10 年間には、さらにいくつかの進展がありました。1907 年 5 月、アインシュタインは、運動する質点のエネルギーεの表現は、静止状態の表現がε ₀ = μV ² ( μは質量) に選択されたときに最も単純な形になり、「質量とエネルギーの等価性の原理」と一致すると説明しました。さらに、アインシュタインは式μ = ⁠を使用しました。0 _.../V2 ^2010年⁠、 E ₀は質点系のエネルギーであり、異なる動きをする質点の速度が増加したときのその系のエネルギーと質量の増加を記述する。 ^{[71]マックス・プランクはアインシュタインの質量とエネルギー}の関係を次のように書き直した。M = ⁠₀ + pV ₀です/2 ^...⁠ 1907年6月に、 pは圧力、 V _0は体積であり、質量、その潜在エネルギー、および物体内の熱力学的エネルギーの関係を表すために使用されました。 ^{[72]その後、1907年10月に、これは}M ₀ = ⁠と書き直されました0 _.../2 ^...⁠そしてドイツの物理学者ヨハネス・シュタルクによって量子的解釈が与えられ、彼はその妥当性と正確性を仮定した。 ^{[73] 1907年12月、アインシュタインは同値性を}M = μ + ⁠の形で表現した。0 _.../2 ^...⁠そして結論として、「慣性に関して、質量μはエネルギー量μc ²と同等である。 […] すべての慣性質量をエネルギーの貯蔵庫とみなす方がはるかに自然であるように思われる。」 ^{[74] [75]}アメリカの物理化学者 ギルバート・N・ルイスとリチャード・C・トールマンは1909年にこの式の2つのバリエーションを使用した。 m = ⁠え/2 ^...⁠そしてm ₀ = ⁠0 _.../2 ^...⁠、ここでEは相対論的エネルギー（物体が動いているときのエネルギー）、 E ₀は静止エネルギー（動いていないときのエネルギー）、 mは相対論的質量（静止質量と動いているときに得られる余分な質量）、 m ₀は静止質量です。 ^[76]ローレンツは1913年と1914年に同じ関係を異なる表記法で使用しましたが、彼はエネルギーを左側に置いていました： ε = Mc ²およびε ₀ = mc ²、ここでε は運動する物質点の全エネルギー（静止エネルギーと運動エネルギー）、 ε ₀はその静止エネルギー、 M は相対論的質量、 m は不変質量です。 ^[77]

1911年、ドイツの物理学者マックス・フォン・ラウエは、M ₀ = ⁠のより包括的な証明を与えた。0 _.../2 ^...⁠応力エネルギーテンソルから派生、 ^{[78]これは後にドイツの数学者}フェリックス・クラインによって1918年に一般化されました。 ^[79]

アインシュタインは第二次世界大戦後に再びこの話題に戻り、今度は一般読者に類推で説明することを意図して論文のタイトルにE = mc ^{2と書きました[80] 。 [81]}

アインシュタインの思考実験の別のバージョンは、1990年にアメリカの理論物理学者フリッツ・ローリッヒによって提案され、彼の推論はドップラー効果に基づいていました。^{[82]アインシュタインと同様に、彼は質量}Mの静止した物体を考えました。物体を非相対論的な速度vで動いているフレームで調べると、物体はもはや静止しておらず、動いているフレームでは運動量P = Mvを持ちます。すると彼は、物体が左と右に2つの光パルスを発し、それぞれが等しい量のエネルギーを運んでいると仮定しました⁠え/2⁠。静止系では、2 つのビームの強度が等しく、反対の運動量を持つため、物体は放射後も静止したままです。ただし、同じプロセスを速度vで左に移動する系で考えると、左に移動するパルスは赤方偏移し、右に移動するパルスは青方偏移します。青色の光は赤色の光よりも多くの運動量を持っているため、移動系における光の運動量はバランスが取れていません。つまり、光は右にいくらかの正味の運動量を運んでいます。物体は放射の前後で速度を変えていません。しかし、この系では光に対していくらかの右方向の運動量を失っています。運動量を失う唯一の方法は、質量を失うことです。これにより、ポアンカレの放射パラドックスも解決されます。速度が小さいため、右に移動する光は非相対論的ドップラーシフト係数1 − ⁠に等しい量だけ青方偏移します。ヴ/c光の運動量は光のエネルギーをcで割った値であり、 ⁠倍に増加します。ヴ/c⁠ . したがって、右方向に移動する光は、次式で与えられる余分な運動量Δ P を運んでいます。

${\displaystyle \Delta P={v \over c}{E \over 2c}.}$

左に移動する光は、同じ量Δ Pだけ少し少ない運動量を持ちます。したがって、両方の光パルスの右方向の運動量の合計はΔ P の2 倍になります。これが物体が失った右方向の運動量です。

${\displaystyle 2\Delta P=v{E \over c^{2}}.}$

放出後の移動フレーム内のオブジェクトの運動量は、次の量まで減少します。

${\displaystyle P'=Mv-2\Delta P=\left(M-{E \over c^{2}}\right)v.}$

したがって、物体の質量の変化は、失われたエネルギーの合計をc ²で割った値に等しくなります。エネルギーの放出は、最初にエネルギーが光として放出され、次に光が他の形態のエネルギーに変換されるという 2 段階のプロセスで実行されるため、エネルギーの放出には質量の損失が伴います。同様に、吸収を考慮すると、エネルギーの増加には質量の増加が伴います。

1897 年に放射能が発見されると、放射能プロセスによる全エネルギーは既知の分子変化に伴うエネルギーの約 100 万倍にもなるということがすぐに指摘され、エネルギーがどこから来るのかという疑問が浮上した。ある種のレザギアン エーテル粒子の吸収と放出という考えは排除された後、ニュージーランドの物理学者アーネスト ラザフォードと英国の放射化学者フレデリック ソディは、物質内に蓄えられた膨大な量の潜在エネルギーの存在を 1903 年に提唱した。ラザフォードはまた、この内部エネルギーは通常の物質内にも蓄えられていると示唆した。彼は 1904 年に次のように推測している。「放射性元素の崩壊速度を自由に制御できるとわかれば、少量の物質から膨大な量のエネルギーを得ることができるだろう。」^{[83] [84] [85]}

アインシュタインの方程式は放射性崩壊で放出される大きなエネルギーを説明するものではないが、それを定量化するために使用できる。放射性崩壊の理論的説明は、原子をまとめる役割を担う核力によって与えられるが、これらの力は 1905 年当時はまだ知られていなかった。放射性崩壊で放出される莫大なエネルギーは、以前にラザフォードによって測定されており、その結果生じる物質の総質量の小さな変化よりもはるかに簡単に測定できた。アインシュタインの方程式は、理論的には、反応前後の質量差を測定することでこれらのエネルギーを与えることができるが、実際には、1905 年当時のこれらの質量差は、バルクで測定するにはまだ小さすぎた。これに先立ち、カロリメータで放射性崩壊エネルギーを測定することの容易さから、質量差の変化を測定でき、アインシュタインの方程式自体をチェックできる可能性があると考えられていた。アインシュタインは 1905 年の論文で、質量とエネルギーの等価性は放射性崩壊でテストできるかもしれないと述べています。放射性崩壊は、システムから消失したときに「計量」できるほどのエネルギーを放出することが当時は知られていました。しかし、放射能は独自の不変のペースで進行しているようで、陽子の衝撃による単純な核反応が可能になったときでさえ、これらの大量の使用可能なエネルギーを自由に自由に放出できるという考えは、実用的に実証するのが困難であることが判明しました。ラザフォードは 1933 年に、このエネルギーを効率的に利用できないと宣言したと報告されています。「原子の変化からエネルギー源を期待する人は、空想を語っている」^[86]

この見方は、1932年に中性子とその質量が発見され、単一の核種とその反応の質量差を直接計算し、それらを構成する粒子の質量の合計と比較できるようになったことで劇的に変化しました。1933年には、リチウム7と陽子の反応で放出されるエネルギーで2つのアルファ粒子が生成され、アインシュタインの方程式を±0.5%の誤差でテストできるようになりました。^[87]しかし、反応粒子を加速するためのエネルギーコストのため、科学者はまだそのような反応を実用的なエネルギー源とは見なしていませんでした。1945年の広島と長崎への原爆投下後、核分裂から放出される膨大なエネルギーが公に実証された後、方程式E = mc ²は、一般の人々の目には核兵器の威力と危険性と直接結び付けられるようになりました。この方程式は、1945年に米国政府が原子爆弾の開発について公式に発表したスミス報告書の2ページ目に取り上げられ、1946年までにこの方程式はアインシュタインの研究と密接に結び付けられ、タイム誌の表紙には、方程式が描かれたキノコ雲の画像の横にアインシュタインの写真が大きく掲載された。 ^{[88]アインシュタイン自身は}マンハッタン計画で小さな役割しか果たさなかった。 1939年に米国大統領に宛てた、原子爆弾は理論的には可能だと警告しながら、原子力研究への資金提供を促す書簡に署名していた。この書簡により、ルーズベルト大統領は戦時予算のかなりの部分を原子研究に充てることになった。機密許可がなかったため、アインシュタインの唯一の科学的貢献は、同位体分離法の理論的な分析であった。アインシュタインは問題に十分取り組むための十分な情報を与えられなかったため、それは取るに足らないものであった。^[89]

E = mc ^{2 は}核分裂反応で潜在的に放出されるエネルギーの量を理解するのに有用である が、核分裂プロセスがわかり、そのエネルギーが 200 MeVで測定されると (当時は定量的ガイガーカウンターを使用して直接測定可能であった)、核兵器の開発に厳密には必要ではなくなった。物理学者でマンハッタン計画の参加者であるロバート・サーバー氏は、「アインシュタインの相対性理論、特に方程式E = mc ^{2 が}核分裂理論において重要な役割を果たしているという考えが、どういうわけかずっと以前に定着した。アインシュタインは米国政府に原子爆弾製造の可能性を警告する役割を果たしたが、彼の相対性理論は核分裂を議論するのに必要ない。核分裂理論は物理学者が非相対論的理論と呼ぶものであり、相対論的効果は核分裂プロセスのダイナミクスに大きな影響を与えるには小さすぎることを意味する」と指摘した。^{[注 7]}核反応におけるこの方程式の重要性については、他の見解もある。1938 年後半、オーストリア・スウェーデン系物理学者とイギリス人物理学者リーゼ・マイトナーとオットー・ロバート・フリッシュは、冬の散歩中にハーンの実験結果の意味を解明し、後に原子核分裂と呼ばれる概念を導入した際、アインシュタインの方程式を直接使用して、原子核を結合させている「表面張力のような」力を克服し、核分裂片を電荷によってエネルギーの高い核分裂に追い込むことができる構成に分離させる反応の量的なエネルギーを理解するのに役立った。これを行うために、彼らは充填率、つまり元素の核結合エネルギー値を使用した。これらとE = mc ²の使用により、彼らはその場で基本的な核分裂プロセスがエネルギー的に可能であることを理解することができた。^[90]

カリフォルニア工科大学とエルサレム・ヘブライ大学のアインシュタイン文書プロジェクトによると、アインシュタインが書いたこの方程式のコピーは、現在4部しか残っていない。そのうちの1部は、ルドヴィク・シルバーシュタインにドイツ語で書かれた手紙で、シルバーシュタインのアーカイブに保管されていたが、オークションで120万ドルで落札されたと、マサチューセッツ州ボストンのRRオークションが2021年5月21日に発表した。^[91]

• エネルギーの慣性に関するアインシュタイン – MathPages
• 質量エネルギー等価性を説明するアインシュタインの映画
• 質量とエネルギー – 理論物理学者マット・ストラスラーとの科学についての対話
• 質量とエネルギーの等価性 –スタンフォード哲学百科事典の項目
• Merrifield, Michael; Copeland, Ed; Bowley, Roger. 「E=mc2 – 質量とエネルギーの等価性」。60個のシンボル。ノッティンガム大学のBrady Haran 氏。