大統一理論

大統一理論（GUT）とは、素粒子物理学において、電磁力、弱い力、強い力（標準模型の3つのゲージ相互作用）を高エネルギー領域で単一の力に統合するモデルのことである。この統一された力は直接観測されたことはないが、多くのGUTモデルはその存在を理論的に説明している。これら3つの相互作用の統一が可能であれば、宇宙のごく初期に、これら3つの基本的な相互作用がまだ区別されていなかった大統一の時代があった可能性が浮上する。

実験により、高エネルギーでは電磁相互作用と弱い相互作用が単一の結合電弱相互作用に統一されることが確認されている。^{[ 1 ]} GUTモデルは、さらに高エネルギーでは強い相互作用と電弱相互作用が1つの電子核相互作用に統一されると予測している。この相互作用は、1つのより大きなゲージ対称性によって特徴付けられ、したがって複数の力キャリアが存在するが、結合定数は1つに統一される。重力と電子核相互作用を統一すると、大統一理論ではなく、より包括的な万物の理論（TOE）が得られる。したがって、GUTはTOEへの中間段階と見なされることが多い。

GUTモデルによって予測される新しい粒子は、極めて大きな質量を持つと予想されています。GUTスケールでは、10 ¹⁶ GeV/ c ² (プランクスケールよりわずか3桁低い)10 ¹⁹ GeV/ c ² ）—そのため、将来予定されている粒子ハドロン衝突実験では到底到達できない。したがって、GUTモデルによって予測される粒子は直接観測することはできず、代わりに、大統一理論の効果は、以下の間接的な観測によって検出される可能性がある。

パティ・サラムモデルなどの一部のGUTは、磁気単極子の存在を予測している。

GUTは標準模型の複雑さに比べて単純さを提供すると期待されるかもしれないが、現実的なモデルは、観測されたフェルミオン質量と混合角を再現するために、追加の場や相互作用、あるいは空間の次元さえも導入する必要があるため、依然として複雑である。この困難さは、従来のGUTモデルを超えたファミリー対称性の存在と関連している可能性がある。こうした理由と、これまでのところ大統一理論の効果が観測されていないことから、一般的に受け入れられているGUTモデルは存在しない。

ゲージ対称性として1つの単純な群を用いて3つの相互作用を統一するのではなく、半単純な群を用いて統一するモデルも同様の性質を示すことがあり、大統一理論と呼ばれることもある。

物理学における未解決問題

標準模型の3つの力は高エネルギー領域で統一されているのか？この統一はどのような対称性によって支配されているのか？大統一理論はフェルミオンの世代数とその質量を説明できるのか？

物理学における未解決問題がさらに増えた

歴史

歴史的に、最初の真のGUTは、単純なリー群 $SU(5)$ に基づいており、1974年にハワード・ジョージとシェルドン・グラショウによって提案されました。 ^{[ 3 ]}ジョージ・グラショウモデルに先立って、同じく1974年にアブドゥス・サラムとジョゲシュ・パティによる半単純リー代数パティ・サラムモデルがあり、^[⁴^]ゲージ相互作用を統一するというアイデアを先駆的に提唱しました。

GUT という頭字語は、1978 年に CERN の研究者であるJohn Ellis、Andrzej Buras、Mary K. Gaillard、およびDimitri Nanopoulosによって初めて考案されましたが、論文の最終版^{[ 5 ]}では、解剖学的意味合いの少ない GUM (Grand Unification Mass) を採用しました。Nanopoulos は同年後半に、論文でこの頭字語を初めて使用しました^{[ 6 ]}^{[ 7 ] 。}

モチベーション

電子と陽子の電荷が極めて正確に互いに打ち消し合うという事実は、我々が知る巨視的な世界の存在に不可欠であるが、素粒子のこの重要な性質は、素粒子物理学の標準模型では説明されていない。標準模型における強い相互作用と弱い相互作用の記述は、離散的な電荷のみを許容する単純対称群 $SU(3)$ と $SU(2)$ によって支配されるゲージ対称性に基づいているが、残りの成分である弱いハイパーチャージ相互作用は、原理的には任意の電荷割り当てを許容するアーベル対称性 $U(1)$ によって記述される。 ^[^注1^]観測された電荷量子化、すなわち既知のすべての素粒子が「基本」電荷の3分の1の正確な倍数である電荷を帯びているという仮定は、ハイパーチャージ相互作用、そしておそらく強い相互作用と弱い相互作用が、標準模型を含む単一のより大きな単純対称群によって記述される1つの大統一相互作用に埋め込まれている可能性があるという考えにつながった。これは、すべての素粒子の電荷の量子化された性質と値を自動的に予測するだろう。これは、我々が観測する基本的な相互作用の相対的な強さ、特に弱い混合角の予測にもつながるため、大統一理論は理想的には独立した入力パラメータの数を減らしますが、観測によっても制約されます。

大統一理論は、19世紀のマクスウェルの電磁気学における場理論による電気力と磁力の統一を彷彿とさせるが、その物理的な意味合いと数学的な構造は質的に異なる。

物質粒子の統一

SU(5)

$SU(5)は最も単純なGUTである。$ 標準模型を含む最小の単純リー群であり、最初の統一理論の基礎となったのは、

$SU(5) \supset SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ 。

このような群対称性により、光子、Wボソン、Zボソン、グルーオンなど、既知のいくつかの粒子を単一の粒子場の異なる状態として再解釈することが可能になります。しかし、拡張された「大統一」対称性に対して最も単純な選択肢を選んだとしても、素粒子の正しいリストが得られるとは必ずしも明らかではありません。現在知られているすべての物質粒子が $SU(5)$ の最小群表現の3つのコピーに完全に収まり、観測された正しい電荷を即座に持つという事実は、大統一理論が実際に自然界で実現されている可能性があると人々が信じる最初の、そして最も重要な理由の1つです。

$SU(5)$ の最小の既約表現は $5$ (定義表現) と $10$ です。(太字の数字は表現の次元を示します。) 標準的な割り当てでは、 $5$ には右巻きダウン型クォークの色三重項と左巻きレプトンアイソスピン二重項の電荷共役が含まれ、 $10$ には6 つのアップ型クォーク成分、左巻きダウン型クォークの色三重項、および右巻き電子が含まれます。このスキームは、既知の 3 世代の物質それぞれについて複製する必要があります。この物質内容では理論に異常がないことは注目に値します。

仮説上の右巻きニュートリノは $SU(5)$ のシングレットであり、これはその質量がどの対称性によっても禁止されていないことを意味します。そのため、質量が重い理由を説明する自発的な電弱対称性の破れは必要ありません（シーソー機構を参照）。

SO(10)

標準モデルを含む次の単純リー群は

{\rm {SO(10)\supset SU(5)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1).}}

ここでは、既約スピノル表現 $16が$ $SU(5)$ の $5$ と $10$ 、および右巻きニュートリノの両方を含み、したがってニュートリノ質量を持つ拡張標準模型の1世代の完全な粒子内容を含むため、物質の統一はさらに完全である。これは、既知の物質粒子（ヒッグスセクターを除く）のみを含むスキームで物質の統一を達成する最大の単純群である。

異なる標準模型のフェルミオンはより大きな表現でグループ化されるため、GUTは特にフェルミオンの質量間の関係を予測します。例えば、 $SU(5)$ と $SO(10)$ の場合、電子とダウンクォーク、ミューオンとストレンジクォーク、タウレプトンとボトムクォークの間などです。これらの質量関係の中には近似的に成り立つものもありますが、ほとんどは成り立ちません（ゲオルギ・ヤールスコッグ質量関係を参照）。

$SO(10)$ のボソン行列は、 $SU(5)$ の $10$ $+$ $5$ 表現から $15 \times 15$ 行列を取り、右巻きニュートリノ用の行と列を追加することによって得られます。ボソンは、20 個の荷電ボソン (2 個の右巻き W ボソン、6 個の質量のある荷電グルーオン、および 12 個の X/Y 型ボソン) のそれぞれにパートナーを追加し、さらに重い中性 Z ボソンを追加して、合計 5 個の中性ボソンを作成することによって得られます。ボソン行列には、各行と各列にボソンまたはその新しいパートナーが含まれます。これらのペアが組み合わさって、 $SO(10)のよく知られた 16 次元ディラック$ スピノル行列が作成されます。

E ₆

E ₈× E ₈ヘテロティック弦理論を含むいくつかの弦理論の形式では、 6 次元カラビ・ヤウ多様体上での自発的コンパクト化後の結果として得られる 4 次元理論は、群E ₆に基づく GUT に似ています。注目すべきは、E _6は複素表現を持つ唯一の例外的な単純リー群であり、これはカイラルフェルミオン (すなわち、すべての弱相互作用フェルミオン) を含む理論の要件です。したがって、他の 4 つの群 ( G ₂、F ₄、E ₇、およびE ₈ ) は GUT のゲージ群にはなり得ません。

拡張された大統一理論

標準模型の非カイラル拡張では、高次のSU(N) GUTに自然に現れるベクトルライクなスプリットマルチプレット粒子スペクトルによって砂漠の物理が大幅に修正され、超対称性を使用しなくても従来の3つのクォーク・レプトン族の現実的な(弦スケールの)大統一が実現する(下記参照)。一方、超対称性SU(8) GUTに新たに現れる欠落VEV機構により、ゲージ階層(二重項-三重項分裂)問題とフレーバー統一問題の同時解決が議論される。^{[ 8 ]}

4つのファミリー/世代を持つGUT、SU(8)：フェルミオンの世代を3ではなく4と仮定すると、合計 $64$ 種類の粒子になります。これらは、 $SU(8)の$ $64 = 8 + 56の$ 表現に配置できます。これは、 SU(5 $)$ 理論と、世代数に作用するいくつかの重いボソンとを組み合わせた $SU(5) \times SU(3)$ $F$ $\times U(1)$ に分割できます。

4つのファミリー/世代を持つGUT、O(16)：再び4世代のフェルミオンを仮定すると、128個の粒子と反粒子は $O(16)$ の単一のスピノル表現に収めることができます。

シンプレクティック群と四元数表現

シンプレクティックゲージ群も考慮に入れることができます。例えば、 $Sp(8)$ （シンプレクティック群の記事では $Sp(4)と呼ばれています）は$ $、4\times4$ の四元数ユニタリ行列による表現を持ち、 $16$ 次元の実数表現を持つため、ゲージ群の候補として考えられます。Sp $(8)$ は32個の荷電ボソンと4個の中性ボソンを持ちます。その部分群には $SU(4)が含まれるため、少なくとも$ $SU(3)\timesU(1)$ のグルーオンと光子を含むことができます。ただし、この表現ではカイラルフェルミオンに弱いボソンが作用することは恐らく不可能でしょう。フェルミオンの四元数表現は次のようになります。

{\begin{bmatrix}e+i\ {\overline {e}}+j\ v+k\ {\overline {v}}\\u_{r}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {r}} }+j\ d_{\mathrm {r} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {r}} }\\u_{g}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {g}} }+j\ d_{\mathrm {g} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {g}} }\\u_{b}+i\ {\overline {u}}_{\mathrm {\overline {b}} }+j\ d_{\mathrm {b} }+k\ {\overline {d}}_{\mathrm {\overline {b}} }\\\end{bmatrix}}_{\mathrm {L} }

フェルミオンの四元数表現におけるもう一つの複雑な点は、左乗算と右乗算という2種類の乗算を考慮する必要があることです。左巻きと右巻きの $4\times4$ 四元数行列を含めることは、単位四元数による単一の右乗算を含めることと同等であることがわかります。これにより、SU(2)が1つ追加され、中性ボソンが1つと荷電ボソンが2つ増えます。したがって、左巻きと右巻きの $4\times4$ 四元数行列のグループは $Sp(8)\timesSU(2)$ となり、標準模型のボソンが含まれます。

\mathrm {SU(4,\mathbb {H} )_{L}\times \mathbb {H} _{R}=Sp(8)\times SU(2)\supset SU(4)\times SU(2)\supset SU(3)\times SU(2)\times U(1)}

もし $\psi$ は四元数値スピノルであり、 $A_{\mu }^{ab}$ $Sp(8)$ から来る四元数エルミート $4\times4$ 行列は $\displaystyle B_{\mu }}$ が純粋なベクトル四元数（どちらも4ベクトルボソン）である場合、相互作用項は次のようになります。

\ {\overline {\psi ^{a}}}\gamma _{\mu }\left(A_{\mu }^{ab}\psi ^{b}+\psi ^{a}B_{\mu }\right)\

八元数表現

16個のフェルミオンからなる世代は、各要素が8次元ベクトルである八元数の形にすることができることに注意されたい。次に、3つの世代を対角要素に特定の追加を加え_た3x3エルミート行列に配置すると、これらの行列は例外的な（グラスマン）ジョルダン代数を形成し_、その対称群は詳細に応じて例外的なリー群（ $F4、E6、E7$ 、 $または$ E8 $）$ の_いずれか $と$ _なる。

\psi ={\begin{bmatrix}a&e&\mu \\{\overline {e}}&b&\tau \\{\overline {\mu }}&{\overline {\tau }}&c\end{bmatrix}}

\ [\psi _{A},\psi _{B}]\subset \mathrm {J} _{3}(\mathbb {O} )\

フェルミオンであるため、ジョルダン代数の反交換子は交換子になります。E ₆は部分群 $O(10)$ を持つことが知られており、標準模型を含めるのに十分な大きさです。たとえば、E 8 ゲージ群には、8 個の中性ボソン、120 個の荷電ボソン、および 120 個の荷電反ボソンが含まれます $。E$ ₈ $の$ 最低多重項の 248 個のフェルミオンを説明するには_、これら $に$ は反粒子が含まれる (したがってバリオン生成を持つ)、新しい未発見の粒子がある、または粒子のスピン方向の要素に影響を与える重力のような (スピン接続) ボソンがある必要があります。これらのそれぞれに理論的な問題があります。

ビヨンド・ライ・グループ

リー3代数やリー超代数など、他の構造も提案されている。しかし、これらはいずれもヤン・ミルズ理論とは適合しない。特にリー超代数では、統計的に誤ったボソンが導入されることになる。一方、超対称性はヤン・ミルズ理論に適合する。

力の統一と超対称性の役割

力の統一は、量子場理論における力結合パラメータのエネルギー尺度依存性である繰り込み群「ランニング」によって可能になる。これにより、通常のエネルギーでは大きく異なる値を持つパラメータが、はるかに高いエネルギー尺度では単一の値に収束する。^[²^]

標準模型における3つのゲージ結合定数の繰り込み群のランニングは、超電荷を $SU(5)$ または $SO(10)$ GUTと整合するように正規化すると、ほぼ一致するが、完全に一致するわけではないことがわかっています。SU(5)またはSO(10) GUTは、単純なフェルミオン統一をもたらすGUT群です。他のリー群では異なる正規化が生じるため、これは重要な結果です。しかし、標準模型の代わりに超対称拡張MSSMを使用すると、一致ははるかに正確になります。この場合、強い相互作用と電弱相互作用の結合定数は、GUTスケールとしても知られる大統一エネルギーで一致します。

\displaystyle \Lambda _{\text{GUT}}\approx 10^{16}\,{\text{GeV}}.}

この一致は偶然とは考えにくいと一般的に考えられており、超対称性パートナー粒子が実験的に観測されていないにもかかわらず、超対称性理論をさらに研究する主な動機の1つとしてよく引用される。また、ほとんどのモデル構築者は、超対称性が階層問題を解決するため、つまり放射補正に対して電弱ヒッグス質量を安定させるため、単純に超対称性を仮定している。^[⁹^]

ニュートリノ質量

右巻きニュートリノのマヨラナ質量は $SO(10)$ 対称性によって禁じられているため、 $SO(10)$ GUTは、右巻きニュートリノのマヨラナ質量が、これらのモデルで対称性が自発的に破れる GUTスケールに近いと予測します。超対称GUTでは、このスケールは、シーソー機構を介して、主に左巻きの軽いニュートリノの現実的な質量を得るために望ましい値よりも大きくなる傾向があります（ニュートリノ振動を参照）。これらの予測は、一部のGUTが他のフェルミオン質量比を予測するゲオルギ・ヤールスコッグ質量関係とは独立しています。

提唱された理論

いくつかの理論が提唱されているが、現在、普遍的に受け入れられているものはない。重力を含むすべての基本力を含む、さらに野心的な理論は「万物の理論」と呼ばれている。一般的な主流のGUTモデルには以下のようなものがある。

Pati-Salam モデル– $SU(4) \times SU(2) \times SU(2)$
Georgi-Glashow モデル– $SU(5)$ ;反転した $SU(5)$ – $SU(5) \times U(1)$
$SO(10)$ モデル、および反転 $SO(10)$ – $SO(10) \times U(1)$
$E 6$ モデル; および三位一体化– $SU(3) \times SU(3) \times SU(3)$
最小左右モデル– $SU(3) C \times SU(2) L \times SU(2) R \times U(1) B-L$
331モデル– $SU(3) C \times SU(3) L \times U(1) X$
キラルカラー

注：これらのモデルはリー代数を参照しており、リー群を参照していません。リー群は $[\mathrm {SU} (4)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)]/\mathbb {Z} _{2},$ あくまでも一例として挙げるだけですが。

最も有望な候補は $SO(10)$ です。^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} (最小) $SO(10)には$ エキゾチックフェルミオン(標準模型のフェルミオンと右巻きニュートリノ以外の追加のフェルミオン) は含まれておらず、各世代を単一の既約表現に統一しています。他の多くの GUT モデルは $SO(10)$ の部分群に基づいています。それらは最小左右模型、 $SU(5)$ 、反転 $SU(5)$ 、および Pati–Salam モデルです。GUT グループ $E 6$ $にはSO(10)$ が含まれていますが、それに基づくモデルはかなり複雑です。E $6$ $モデルを研究する主な理由は、E$ $8$ $\times$ $E$ $8$ ヘテロティック弦理論に由来します。

GUTモデルは一般的に、モノポール、宇宙ひも、ドメインウォールなどのトポロジカル欠陥の存在を予測する。しかし、それらは観測されていない。それらの不在は、宇宙論におけるモノポール問題として知られている。多くのGUTモデルは陽子崩壊も予測するが、Pati–Salamモデルはそうではない。現在までに、陽子崩壊は実験的に観測されたことがない。陽子の寿命に対する最小限の実験的限界は、最小限の $SU(5)$ をほぼ排除し、他のモデルを厳しく制約する。今日までに超対称性が検出されていないことも、多くのモデルを制約する。

陽子崩壊。これらの図は、 X

ボソンとヒッグスボソンのファミリーに関するものです。

$X$ ボソンによって媒介される次元6 陽子崩壊 $\ (3,2)_{-{\tfrac {5}{6}}}\$ $SU(5)$ GUTにおいて
$X$ ボソンによって媒介される次元6 陽子崩壊 $\ (3,2)_{\tfrac {1}{6}}\$ $反転したSU(5)$ GUTにおいて
次元6の陽子崩壊は、トリプレットヒッグス粒子によって媒介される。 $\ T(3,1)_{-{\tfrac {1}{3}}}$ そして反三重項ヒッグス $\displaystyle \ {\bar {T}}({\bar {3}},1)_{\tfrac {1}{3}}}$ $SU(5)$ GUTにおいて

$SU(5)$ や $SO(10)$ のようなGUT理論の中には、二重項・三重項問題と呼ばれるものが存在する。これらの理論は、電弱ヒッグス二重項ごとに、非常に小さな質量（GUTスケールよりも何桁も小さい）を持つ対応するカラーヒッグス三重項場が存在すると予測している。理論的には、クォークとレプトンを統一すると、ヒッグス二重項はヒッグス三重項とも統一されることになる。しかし、そのような三重項は観測されていない。また、それらは極めて速い陽子崩壊（現在の実験限界をはるかに下回る）を引き起こし、ゲージ結合定数が繰り込み群で一緒に走るのを妨げることになる。

ほとんどのGUTモデルは、物質場の3重複製を必要とする。そのため、フェルミオンが3世代存在する理由を説明できない。また、ほとんどのGUTモデルは、異なる世代のフェルミオン質量間のわずかな階層構造も説明できない。

材料

GUTモデルは、コンパクトリー群であるゲージ群、そのリー群の接続形式、その接続に対するヤン・ミルズ作用（各因子の結合定数によって指定される、そのリー代数上の不変対称双線形形式によって与えられる）、リー群の実数表現または複素数表現内で値をとる多数のスカラー場と、リー群の複素数表現内で値をとるカイラルワイルフェルミオンからなるヒッグスセクターで構成される。リー群は標準模型群を含み、ヒッグス場は真空期待値（VEV）を獲得し、標準模型に対する自発的対称性の破れをもたらす。ワイルフェルミオンは物質を表す。

現在の証拠

ニュートリノ振動の発見は、標準模型が不完全であることを示しているが、自然界が何らかの大統一理論によって記述されるという明確な証拠は今のところない。ニュートリノ振動は、 $SO(10)$ などの特定の大統一理論への関心を再び高めている。

特定のGUTの実験的検証方法としては、陽子崩壊やフェルミオン質量などが挙げられる。超対称GUTについては、さらにいくつかの特別な検証方法がある。しかし、研究から得られた陽子の最小寿命（ 10以上）は³⁴～ 10³⁵ 年の範囲）は、より単純な GUT とほとんどの非 SUSY モデルを排除しました。陽子寿命の最大上限 (不安定な場合) は、次のように計算されます。 SUSYモデルでは6 × 10 ^39年、最小非SUSY GUTsの場合、1.4 × 10 ^36年。^{[ 12 ]}

QCD、弱い相互作用、ハイパーチャージのゲージ結合強度は、 GUTスケールと呼ばれる共通の長さスケールで交わり、およそ10に等しいようです。¹⁶ GeV (プランクエネルギー10よりわずかに小さい)¹⁹ GeV）は、やや示唆に富む。この興味深い数値的観測はゲージ結合統一 と呼ばれ、標準模型粒子の超対称性パートナーの存在を仮定すると特にうまくいく。しかし、例えば、通常の（超対称性を持たない） $SO(10)$ 模型が、Pati–Salam群のような中間ゲージスケールで破れると仮定することによって、同じ結果を得ることも可能である。

注記

↑ただし、理論的な整合性、特に異常相殺の観点から、粒子電荷の選択には一定の制約があります。

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さらに読む

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外部リンク

大統一理論の代数学

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