加算関数

数論では、加法関数とは、正の整数変数nの算術関数f ( n ) であり、aとbが互いに素である場合、積abに適用される関数は、 aとbに適用される関数の値の合計になります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$ したがって、任意の加法関数に対して、${\displaystyle f(1)=0}$。

加法関数f ( n ) は、以下の条件を満たす場合に完全加法であると言われます。${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$この関係は、互いに素でない場合でも、 すべての正の整数aとbに対して成り立ちます。完全加法という用語も、完全乗法関数との類推から、この意味で用いられます。

完全に加法的な関数はすべて加法的な関数であるが、その逆は必ずしも成り立たない。

完全に加法的な算術関数の例は次のとおりです。

• 対数関数の制限${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• nにおける素因数pの重複度、すなわちp ^{m が}nを割り切る最大の指数m。
• a ₀ ( n ) – n を割り切る素数の和（重複度を考慮したもの）。sopfr( n )、 nの冪乗、またはnの整数対数とも呼ばれる（OEISのシーケンスA001414）。例:

a ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a ₀ (20) = a ₀ (2 ² · 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a ₀ (144) = a ₀ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (3 ² ) = 8 + 6 = 14

a ₀ (2000) = a ₀ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₀ (2 ⁴ ) + a ₀ (5 ³ ) = 8 + 15 = 23

a ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54,032,858,972,279) = 1240658

a ₀ (54,032,858,972,302) = 1780417

a ₀ (20,802,650,704,327,415) = 1240681

• 関数 Ω( n ) は、 nの素因数の総数として定義され、複数の因数を複数回数えることで、「ビッグ オメガ関数」と呼ばれることもあります( OEISのシーケンスA001222 )。例えば、

Ω(1) = 0、なぜなら1には素因数がないためである。

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7。

加法性は持つが完全な加法性を持たない算術関数の例としては、以下のようなものがある。

• ω( n )は、 nの異なる素因数の総数として定義されます（OEISのシーケンスA001221）。例：

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a ₁ ( n ) – nを割り切る異なる素数の和。sopf( n )と呼ばれることもある（OEISのシーケンスA008472）。例:

a ₁ (1) = 0

a ₁ (4) = 2

a ₁ (20) = 2 + 5 = 7

a ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

a ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

a ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54,032,858,972,279) = 1238665

a ₁ (54,032,858,972,302) = 1780410

a ₁ (20,802,650,704,327,415) = 1238677

任意の加算関数から${\displaystyle f(n)}$関連する乗法関数を作成することが可能です${\displaystyle g(n),}$これは、常に${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$互いに素である場合： $${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$ そのような例の一つは${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$同様に、${\displaystyle f(n)}$完全に加算的である場合、${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$は完全に乗法的です。より一般的には、関数を考えることができます。${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$、 どこ${\displaystyle c}$はゼロでない実定数です。

加法関数が与えられた場合${\displaystyle f}$その総和関数を次のように定義する。${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$平均${\displaystyle f}$正確には次のように与えられます $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

総和関数${\displaystyle f}$展開すると${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

関数の平均${\displaystyle f^{2}}$これらの関数では次のように表現されます。 $$\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

絶対定数は常に存在する${\displaystyle C_{f}>0}$すべての自然数に対して${\displaystyle x\geq 1}$、 $${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

させて $${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

仮に${\displaystyle f}$は加法関数であり、${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ そのため、${\displaystyle x\rightarrow \infty }$、 $${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

それから${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$どこ${\displaystyle G(z)}$はガウス分布関数です$${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

素数オメガ関数とシフト素数の素因数の数に関連するこの結果の例は、固定の場合、次のようになります。${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$関係が成り立つ場合${\displaystyle x\gg 1}$: $${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$$${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

• シグマ加法性
• プライムオメガ関数
• 乗法関数
• 算術関数