Loading article…
幾何学では、2 つの図形または物体は、同じ形と大きさを持つ場合、または一方が他方の鏡像と同じ形と大きさを持つ場合に合同である。 [ 1 ]
より厳密に言えば、2つの点の集合は、一方を他方に等長変換、すなわち平行移動、回転、鏡映の組み合わせによって変換できる場合に限り、合同であると言われます。これは、どちらのオブジェクトも、もう一方のオブジェクトと正確に一致するように位置を変えたり鏡映したりできる（ただし、サイズは変更できない）ことを意味します。したがって、紙の上に描かれた2つの異なる平面図形は、切り取って完全に一致させることができる場合に合同であると言えます。紙を裏返すことは許容されます。
初等幾何学では、合同という言葉はしばしば次のように使われます。[ 2 ]これらの対象物については、合同の代わりに等しいという言葉がよく使われ ます。
この意味で、「2つの平面図形は合同である」という文は、対応する辺や角だけでなく、対応する対角線、周囲長、面積など、対応する特性が合同（または等しい）であることを意味します。
類似性という関連概念は、物体が同じ形をしているが、必ずしも同じ大きさではない場合に適用される。（ほとんどの定義では合同を類似性の一形態とみなしているが、少数派は類似とみなすためには物体の大きさが異なる必要があるとしている。）
2 つの多角形が合同であるためには、辺の数が等しくなければなりません (したがって、頂点の数も同じでなければなりません)。n 辺の 2 つの多角形が合同であるのは、 n辺とn角について、辺 - 角 - 辺 - 角 - ... という数値的に同一の数列 (一方の多角形が時計回りで、もう一方の多角形が反時計回りであっても) がそれぞれ存在する場合に限ります。
多角形の合同性は、以下のように図式的に証明できます。
いずれかの段階で手順を完了できない場合、それらの多角形は合同ではありません。
2つの三角形は、対応する辺の長さが等しく、対応する角の大きさが等しい場合に合同である。
記号的に、2つの三角形△ ABCと△ A′B′C′の合同と不合同は次のように表されます。
多くの場合、対応する3つの部分の等式を確立し、以下の結果のいずれかを使用して2つの三角形の合同を導き出すだけで十分です。
ユークリッド空間における2つの三角形の合同性を示す十分な証拠は、以下の比較によって示すことができる。
ASA公準はミレトスのタレスに帰せられる。ほとんどの公理系では、SAS、SSS、ASAの3つの基準が定理として確立されている。学校数学研究グループのシステムでは、 SASは22の公準のうちの1つ（15番目）として採用されている。
2辺とそれらに挟まれていない角を指定するSSA条件（辺-辺-角、ASS、または角-辺-辺とも呼ばれる）は、それ自体では合同を証明するものではありません。合同を示すには、対応する角の大きさや、場合によっては対応する2組の辺の長さなど、追加の情報が必要です。考えられるケースはいくつかあります。
2 つの三角形が SSA 条件を満たし、かつ、角の対辺の長さが隣辺の長さ以上である場合 (SSA、つまり長辺-短辺-角)、2 つの三角形は合同です。対応する角が鋭角の場合、対辺が長くなることがありますが、対応する角が直角または鈍角の場合は常に長くなります。角が直角の場合、斜辺-脚 (HL) 公準または直角-斜辺-辺 (RHS) 条件とも呼ばれ、3 番目の辺はピタゴラスの定理を使用して計算できるため、SSS 公準を適用できます。
2つの三角形がSSA条件を満たし、対応する角が鋭角であり、角の対辺の長さがその角の正弦を掛けた隣辺の長さに等しい場合、その2つの三角形は合同である。
2つの三角形がSSA条件を満たし、対応する角が鋭角であり、角の対辺の長さが、隣接する辺の長さに角の正弦を掛けた値よりも大きい（ただし、隣接する辺の長さよりも小さい）場合、2つの三角形が合同であることを示すことはできません。これは曖昧なケースであり、与えられた情報から2つの異なる三角形を形成することができますが、それらを区別する追加情報があれば、合同の証明につながります。
ユークリッド幾何学では、AAA（角-角-角）（または単にAA。ユークリッド幾何学では三角形の角の合計は180°になるため）は2つの三角形の大きさに関する情報を提供しないため、ユークリッド空間における相似性のみを証明し、合同性は証明しません。
しかし、球面幾何学および双曲幾何学（三角形の内角の和が大きさによって変化する）では、AAAは曲面の曲率に応じて合同となるのに十分である。[ 4 ]
この頭字語は「合同な三角形の対応する部分は合同である」の略で、合同な三角形の定義を簡略化したものです。[ 5 ] [ 6 ]
より詳しく説明すると、三角形ABCと三角形 DEF が合同である場合、つまり、
頂点AとD、BとE、CとFに対応する角度のペア、および対応する辺のペアABとDE、BCとEF、CAとFDが存在する場合、次の記述は真である。
この命題は、2つの三角形の合同が証明された後に、2つの三角形の各部分の合同を結論付ける必要がある場合、初等幾何学の証明において正当化の根拠としてよく用いられます。例えば、2つの三角形がSSS合同条件によって合同であることが示され、証明において対応する角が合同であるという命題が必要な場合、CPCTCはこの命題の正当化の根拠として用いられることがあります。
関連する定理としてCPCFCがあり、これは「三角形」を「図形」に置き換えることで、合同な多角形または多面体の任意のペアに適用できる定理である。
ユークリッド幾何学において、合同は基本概念であり、数における等号に相当するものです。解析幾何学では、合同は直感的に次のように定義できます。図形をデカルト座標系に写像する2つの写像は、最初の写像における任意の2点間のユークリッド距離が、 2番目の写像における対応する点間のユークリッド距離と等しい場合に限り、合同であると言えます。
より正式な定義では、ユークリッド空間R nの2 つの部分集合AとBは、 f ( A ) = Bとなる等長写像f : R n → R n (ユークリッド群E ( n )の要素)が存在する場合に合同であると言われます。合同は同値関係です。
2 つの円錐曲線は、それらの離心率と、それらを特徴付けるもう 1 つの異なるパラメータが等しい場合に合同です。それらの離心率は形状を決定し、その等しさは相似を確立するのに十分であり、2 番目のパラメータはサイズを決定します。2 つの円、放物線、または直角双曲線は常に同じ離心率 (具体的には、円の場合は 0、放物線の場合は 1、直角双曲線の場合、2 つの円、放物線、または直角双曲線が合同であるためには、それらの大きさを決定するもう 1 つの共通のパラメータ値だけを持つ必要があります。
同じ組み合わせタイプ（つまり、同じ数の辺E、同じ数の面、対応する面の同じ辺の数）を持つ 2 つの多面体に対して、多面体が合同であるかどうかを判定できるEの測定値のセットが存在します。 [ 7 ] [ 8 ]この数はタイトであり、多面体がその組み合わせタイプの中で一般的な場合、 E 未満の測定値では不十分であることを意味します。しかし、特殊なケースでは、より少ない測定値で機能する場合があります。たとえば、立方体には 12 の辺がありますが、その組み合わせタイプの多面体が特定の正立方体と合同であるかどうかを判断するには、9 つの測定値で十分です。
平面三角形と同様に、球面上では、角度-辺-角度（ASA）の順序が同じである2つの三角形は必ず合同です（つまり、3つの辺と3つの角がすべて同じです）。[ 9 ]これは次のように考えることができます。与えられた角度を持つ頂点の1つを南極に配置し、与えられた長さの辺を本初子午線に沿って走らせることができます。固定長の線分の両端の2つの角度がわかっているので、他の2つの辺は一意に決定された軌道で伸び、一意に決定された点で互いに交わります。したがって、ASAは有効です。
辺角辺（SAS）および辺辺辺（SSS）の合同定理は球面上でも成り立ちます。さらに、2つの球面三角形が同一の角角角（AAA）の配列を持つ場合、それらは合同です（平面三角形とは異なります）。[ 9 ]
平面三角形の合同定理である角-角-辺（AAS）は球面三角形には当てはまりません。[ 10 ]平面幾何学と同様に、辺-辺-角（SSA）は合同を意味しません。
合同を表すのに一般的に用いられる記号は、等号の上にチルダ（ ~）が付いた記号≅ で、これはUnicode文字の「ほぼ等しい」（U+2245）に相当します。イギリスでは、3本の横棒で構成された等号≡（U+2261）が用いられることもあります。
{{cite web}}: CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク)