最大の小さな多角形

幾何学では、数nに対する最大の小多角形は、直径が 1である(つまり、その 2 つの点がすべて互いに単位距離内にある) n辺の多角形であり、直径が 1 であるすべてのn角形の中で面積が最大になります。n = 4の場合の 1 つの非一意の解は正方形であり、 nが奇数の場合は解は正多角形ですが、それ以外の場合は解は不規則になります。

四辺形

n = 4の場合、任意の四辺形の面積は、式S = pq sin( θ )/2 で与えられます。ここで、pとqは四辺形の 2 つの対角線、θはそれらの対角線が互いに形成する角度のいずれかです。直径が最大で 1 になるためには、pとq の両方が最大で 1 でなければなりません。したがって、面積の式の 3 つの因数が個別に最大化され、 p = q = 1 および sin( θ ) = 1になったときに、四辺形の面積は最大になります。p = qという条件は、四辺形が正対角四辺形(対角線の長さが等しい) であることを意味し、sin( θ ) = 1という条件は、四辺形が直交対角四辺形(対角線が直角に交差する)であることを意味します。このタイプの四辺形には、面積が 1/2 である単位長さの対角線を持つ正方形が含まれます。しかし、直径が1で正方形と同じ面積を持つ他の直角対角四辺形や正対角四辺形は無数に存在するため、この場合、解は一意ではない。^[1]

奇数辺

nの値が奇数の場合、正多角形は直径が1の多角形の中で最大の面積を持つことが1922年にカール・ラインハルトによって示されました。 ^[2]

偶数辺

n = 6の場合、唯一の最適多角形は正多角形ではない。この場合の解は、 1956 年にHanfried Lenzが提起した疑問に答える形で、 1975 年にRonald Grahamによって発表された。^[3]これは、不規則な正対角五角形の 1 つの辺に鈍角二等辺三角形が接続された形をとり、三角形の頂点から反対側の五角形の頂点までの距離は五角形の対角線に等しい。^[4]その面積は 0.674981.... ( OEISのシーケンスA111969 ) であり、方程式を満たす数である (ただし、ガロア群S ₁₀を持つため、根号で表すことはできない)。

4096 x ¹⁰ +8192 x ⁹ − 3008 x ⁸ − 30848x ⁷ + 21056 x ⁶ + 146496 x ⁵ − 221360 x ⁴ + 1232 x ³ + 144464 x ² − 78488 x + 11993 = 0.

グラハムは、 nが偶数値である一般的な場合の最適解は、同様に、正対角 ( n − 1) 角形の 1 つの辺に二等辺三角形が接続され、その頂点が反対側の ( n − 1) 角形の頂点から単位距離にあるものと推測しました。n = 8 の場合、これは Audet らによるコンピュータ計算によって検証されました。^{[5]グラハムによる六角形が最適であるという証明と、}n = 8 の場合のコンピュータによる証明は、どちらも直線の辺を持つすべての可能なn頂点のトラクルのケース分析を伴いました。

nがすべての偶数値の場合の最大小多角形問題の解を特徴付けるグラハムの完全な予想は、2007年にフォスターとサボによって証明されました。^[6]

参照

ハンセンの小さな八角形
ラインハルト多角形、直径に対して周囲が最大になる多角形、直径に対して幅が最大になる多角形、周囲に対して幅が最大になる多角形

参考文献

^ JJ Schäffer (1958)、「Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12」、Elemente der Math。、13：85～86グラハム（1975）より引用。
^ Reinhardt, K. (1922)、「Extremale Polygone gegebenen Durchmessers」、Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung、31 : 251–270。
^ Lenz, H. (1956)、「Ungelöste Prob. 12」、EIemente der Math。、11 :86グラハム（1975）より引用。
^ Graham, RL (1975)、「最大の小さな六角形」(PDF)、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、18 (2): 165–170、doi : 10.1016/0097-3165(75)90004-7。
^ チャールズ・オーデ;ハンセン、ピエール。メッシン、フレデリック。 Xiong, Junjie (2002)、「最大の小さな八角形」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、98 (1): 46–59、doi : 10.1006/jcta.2001.3225、MR 1897923。
^ フォスター、ジム、サボ、タマス (2007)、「多角形の直径グラフとグラハム予想の証明」、組合せ理論ジャーナル、シリーズ A、114 (8): 1515–1525、doi : 10.1016/j.jcta.2007.02.006、MR 2360684。

外部リンク

ワイスシュタイン、エリック W.、「最大の小さな多角形」、MathWorld
グラハムの最大の小さな六角形、六角形のホールより

[1] JJ Schäffer (1958)、「Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12」、Elemente der Math。、13：85～86グラハム（1975）より引用。

[2] Reinhardt, K. (1922)、「Extremale Polygone gegebenen Durchmessers」、Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung、31 : 251–270。

[3] Lenz, H. (1956)、「Ungelöste Prob. 12」、EIemente der Math。、11 :86グラハム（1975）より引用。

[Graham-4] Graham, RL (1975)、「最大の小さな六角形」(PDF)、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、18 (2): 165–170、doi : 10.1016/0097-3165(75)90004-7。

[5] チャールズ・オーデ;ハンセン、ピエール。メッシン、フレデリック。 Xiong, Junjie (2002)、「最大の小さな八角形」、Journal of Combinatorial Theory、シリーズ A、98 (1): 46–59、doi : 10.1006/jcta.2001.3225、MR 1897923。

[6] フォスター、ジム、サボ、タマス (2007)、「多角形の直径グラフとグラハム予想の証明」、組合せ理論ジャーナル、シリーズ A、114 (8): 1515–1525、doi : 10.1016/j.jcta.2007.02.006、MR 2360684。