サークルパッキング

幾何学において、円充填とは、与えられた表面上での（等しいまたは様々なサイズの）円の配置を研究するものであり、重なりが起こらず、重なりを生じさせずに円を拡大することはできない。配置の関連する充填密度ηは、円で覆われた表面の割合である。より高次元に一般化することができ、これは球充填と呼ばれ、通常は同一の球のみを扱います。

一般に「円充填」として知られる数学の分野は、任意の大きさの円の充填の幾何学と組み合わせに関係しており、これにより等角写像やリーマン面など の離散類似物が生じます。

2次元ユークリッド平面において、ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは1773年に、円の最も高密度な格子充填は六角充填配列であることを証明した。 ^[1]六角充填配列では、円の中心が六角形の格子（蜂の巣のような千鳥状の列）に配置され、各円は6つの他の円に囲まれている。直径Dの円と辺の長さDの六角形の場合、六角形の面積と円の面積はそれぞれ次のようになる。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\mathrm {H} }&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}\\[4pt]A_{\mathrm {C} }&={\frac {\pi }{4}}D^{2}\end{aligned}}}$

各六角形内の円で覆われた面積は次のとおりです。

${\displaystyle A_{\mathrm {HC} }=3A_{\mathrm {C} }={\frac {3\pi }{4}}D^{2}}$

最終的に、パッキング密度は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ={\frac {A_{\mathrm {HC} }}{A_{\mathrm {H} }}}&={\frac {{\frac {3\pi }{4}}D^{2}}{{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}D^{2}}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0.9069\end{aligned}}}$

1890年、アクセル・トゥーは、この同じ密度が格子充填だけでなくすべての充填において最適であるという証明を発表しましたが、彼の証明は不完全であると一部の人から考えられました。最初の厳密な証明は、1942年にラースロー・フェイェシュ・トートによるものとされています。 ^{[1] [2]}

円の最大充填密度は比較的低いが、中心対称の 凸形状の中でも最低というわけではない。平滑化された八角形の充填密度は約0.902414で、中心対称の凸形状では最小であり、可能な限り最小であると推測されている。^{[3] （}星型多角形などの凹形状の充填密度は任意に小さくなることがある。）

一方、ボレツキーは、固く詰まった円の任意の低密度配置が存在することを実証した。^{[4] [5]}

平面の11の均一なタイリングに基づく11の円パッキングがあります。 ^[6]これらのパッキングでは、すべての円を反射と回転によって他のすべての円にマッピングできます。六角形のギャップは1つの円で埋めることができ、12角形のギャップは7つの円で埋めることができ、3均一パッキングを作成します。両方のタイプのギャップを持つ切り詰められた3六角形のタイリングは、 4均一パッキングとして埋めることができます。スナブ六角形のタイリングには2つの鏡像形式があります。

関連する問題として、特定の表面内にあるように制約された、相互作用が同一の点の最低エネルギー配置を決定するというものがあります。トムソン問題は、球面上の同一の電荷の最低エネルギー分布を扱います。タムズ問題はこれを一般化したもので、球面上の円間の最小距離を最大化することを扱います。これは、球面上の非点電荷の分布に似ています。

単純な境界のある図形に円を詰め込む問題は、レクリエーション数学でよく見られる問題です。容器の壁の影響は重要であり、円の数が少ない場合には六角形の詰め込みは一般に最適ではありません。研究されているこの種の問題には、次のようなものがあります。

• 円内の円詰め
• 正方形内の円の詰め込み
• 長方形内の円の詰め込み
• 正三角形の円の詰め込み
• 直角二等辺三角形の円の詰め込み

詳細についてはリンク先の記事をご覧ください。

円の大きさが均一でなくてもよい問題もいくつかある。そのような拡張の 1 つは、2 つの特定の大きさの円を持つシステム (バイナリシステム) の最大密度を見つけることである。9 つの特定の半径比だけが、接触しているすべての円のペアが他の 2 つの円と相互に接触している (接触している円の中心から円の中心に線分を引くと、表面が三角形になる) コンパクト パッキングを可能にする。^[7]これらすべての半径比について、その半径比のディスクの混合物に対して最大可能パッキング率 (均一サイズのディスクのパッキング率を超える) を達成するコンパクト パッキングが知られている。^[9] 9 つすべてにおいて、均一な六角形パッキングよりも密度が高い比率固有のパッキングがあり、コンパクト パッキングのない一部の半径比も同様である。^[10]

また、半径比が0.742を超える場合、2成分混合物は均一なサイズのディスクよりもうまく詰めることができないことも知られています。 ^[8] このような2成分充填でより小さな比率で得られる密度の上限も得られています。^[11]

直交振幅変調は、位相振幅空間内で円を円に詰め込むことに基づいています。モデムは、 2 次元の位相振幅平面内の一連の点としてデータを送信します。点間の間隔によって送信のノイズ許容度が決まり、外接円の直径によって必要な送信電力が決まります。コード ポイントの集合が効率的な円詰めの中心にあるときに、パフォーマンスが最大化されます。実際には、デコードを簡素化するために、最適ではない長方形詰めがよく使用されます。

折り紙の各付属物には円形の紙が必要となるため、サークルパッキングは折り紙のデザインに欠かせないツールとなっている。 ^[12] ロバート・J・ラングは、サークルパッキングの数学を利用して、複雑な折り紙のデザインを支援するコンピュータプログラムを開発している。

• アポロニアンガスケット
• 長方形内の円の詰め込み
• 正方形内の円の詰め込み
• 円内の円詰め
• 逆距離
• ケプラー予想
• マルファッティサークル
• 梱包の問題

• ウェルズ D (1991)。ペンギン辞典『不思議で興味深い幾何学』。ニューヨーク: ペンギンブックス。pp. 30–31, 167。ISBN 0-14-011813-6。
• スティーブンソン、ケネス (2003 年 12 月)。「サークルパッキング: 数学の物語」(PDF)。アメリカ数学会報。50 (11) 。