正対角四辺形

ユークリッド幾何学において、正対角四辺形は2つの対角線の長さが等しい凸 四辺形である。正対角四辺形は古代インドの数学において重要であり、四辺形はまず正対角であるかどうかによって分類され、その後、より専門的な種類に分類された。^[1]

正対角四辺形の例としては、二等辺台形、長方形、正方形などがあります。

すべての四辺形の中で、周囲と直径の比が最も大きい形状は、角度π/3、5π/12、5π/6、5π/12の等対角凧です。 ^[2]

凸四辺形が正対角線であるためには、その四辺形の各辺の中点によって形成される平行四辺形であるヴァリニョン平行四辺形が菱形となる必要がある。同等の条件は、四辺形の二中線（ヴァリニョン平行四辺形の対角線）が垂直になることである。^[3]

対角線の長さが で、両中線の長さがである凸四辺形が等対角となるのは、 ^[4]の場合のみである^{: 命題 1}${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

等対角四辺形の面積Kは、 二中線mとnの長さがわかれば簡単に計算できる。四辺形が等対角となるのは、 ^{[5] : p.19、   [4] : Cor.4}のときのみである。

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

これは、凸四辺形の面積がヴァリニョン平行四辺形の面積の2倍であること、およびこの平行四辺形の対角線が四辺形の二中線であるという事実から直接導かれる結果である。二中線の長さの公式を用いると、面積は、正対角四辺形の辺a、b、c、dと対角線の中点間の距離xで次のように表すこともできる。 ^{[5] ：p.19}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

凸四辺形の面積の公式においてp = qと設定すると、他の面積の公式も得られます。

平行四辺形が正対角となるのは長方形の場合のみであり、^[6]台形が正対角となるのは二等辺台形の場合のみである。巡回正対角四辺形はまさに二等辺台形である。

等対角四辺形と直交対角四辺形の間には双対性がある。四辺形が等対角であるためには、そのヴァリニョン平行四辺形が直交対角（菱形）である必要があり、四辺形が直交対角であるためには、そのヴァリニョン平行四辺形が等対角（長方形）である必要がある。^[3]同様に、四辺形の対角線が等しいのは、その四辺形の二中線が垂直である場合に限り、また四辺形の対角線が等しいのは、その四辺形の二中線が垂直である場合に限りである。^{[7]シルベスター（2006）は、}ファン・オーベルの定理の一般化によって、等対角四辺形と直交対角四辺形のさらなる関連性を示している。^[8]

直角対角線と等対角線の両方を持ち、対角線の長さが四辺形のすべての辺の長さ以上である四辺形は、すべての四辺形の中で直径に対する面積が最大となり、n =  4 の場合の最大小多角形問題を解く。正方形はそのような四辺形の 1 つだが、他にも無数に存在する。等対角線、直角対角線四辺形は、ヴァリニョン平行四辺形(四辺形の辺の中点に頂点がある) が正方形になる唯一の四辺形であるため、中正方形四辺形 ^{[4] : p. 137}と呼ばれている。このような四辺形は、連続する辺がa、b、c、dで、面積は^{[4] : Thm.16 である。}

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}\left(a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}\right).}$

中央の正方形の平行四辺形はまさに正方形です。

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  中正方形四辺形の例
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  中央の正方形台形
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  中四角凧
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  「中正方形平行四辺形」、正方形

• インタラクティブなジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches における、正対角四辺形の Van Aubel のような特性。