等分法

幾何学において、等分割とは多角形を等面積の三角形に分割することです。等分割の研究は1960年代後半に、正方形を奇数の三角形に等分割することはできないとするモンスキーの定理から始まりました。 ^[1]実際、ほとんどの多角形は等分割できません。^[2]

文献の多くは、モンスキーの定理をより広い多角形クラスに一般化することを目的としている。一般的な質問は、「どの多角形を何個の部分に等分割できるか」である。台形、凧形、正多角形、中心対称多角形、ポリオミノ、超立方体に特に注目が集まっている。^[3]

等分割法には直接的な応用はあまりありません。^[4]等分割法が興味深いとされるのは、結果が最初は直感に反し、このような単純な定義の幾何学問題に対して、理論には驚くほど洗練された代数的ツールが必要であるためです。結果の多くは、p進評価を実数に拡張し、スペルナーの補題をより一般的な色付きグラフに拡張することに依存しています。^[5]

多角形Pの分割は、重なり合わない三角形の有限集合であり、その和集合はP全体である。n個の三角形への分割はn分割と呼ばれ、nが偶数か奇数かによって偶分割と奇分割に分類される。^[5]

等分割とは、すべての三角形の面積が同じになる分割のことです。多角形Pに対して、 Pのn 等分割が存在するすべてのnの集合はPのスペクトルと呼ばれ、 S ( P )と表記されます。一般的な理論的目標は、与えられた多角形のスペクトルを計算することです。^[6]

三角形が共通の辺に沿ってのみ交わる場合、その分割は単体的であると言われる。一部の著者は、特に二次文献では、扱いやすいため、単体的分割のみに注目している。例えば、スペルナーの補題の通常の記述は単体的分割にのみ適用される。三角形の頂点は多角形の頂点や辺に限定されないが、単体的分割はしばしば三角形分割と呼ばれる。そのため、単体的等分割は等面積三角形分割とも呼ばれる。^[7]

これらの用語は高次元多面体にも拡張できる。等分割とは、同じn体積を持つ単体の集合である。^[8]

三角形のn 等分割は、すべてのnに対して簡単に見つけることができます。その結果、多角形がm 等分割を持つ場合、すべてのnに対してmn 等分割も持つことになります。実際、多角形のスペクトルは、ある数mの倍数だけで構成されることがよくあります。この場合、スペクトルと多角形の両方が主多角形と呼ばれ、スペクトルは と表記されます。^[2]たとえば、三角形のスペクトルは です。主多角形ではない簡単な例としては、頂点が (0, 0)、(1, 0)、(0, 1)、(3/2, 3/2) の四角形があります。このスペクトルには 2 と 3 が含まれますが、1 は含まれません。^[9]${\displaystyle \langle m\rangle }$${\displaystyle \langle 1\rangle }$

平面のアフィン変換は、平行移動、均一および不均一な拡大縮小、反射、回転、せん断、その他の相似性や線形マップを含む等分割の研究に役立ちます。アフィン変換は直線と面積比を保存するため、等分割を等分割に変換します。これは、より扱いやすい形状になる可能性のある任意のアフィン変換を多角形に自由に適用できることを意味します。たとえば、多角形の3つの頂点が(0, 1)、(0, 0)、(1, 0)になるように座標を選択するのが一般的です。^[10]

アフィン変換が等分割を保存するという事実は、特定の結果が簡単に一般化できることも意味します。正多角形について述べたすべての結果は、アフィン正多角形にも当てはまります。特に、単位正方形に関する結果は、長方形や菱形などの他の平行四辺形にも適用されます。整数座標を持つ多角形について述べたすべての結果は、有理座標を持つ多角形、または頂点が他の格子上にある多角形にも当てはまります。^[11]

モンスキーの定理によれば、正方形には奇等分割がないので、そのスペクトルは である。^{[1]より一般的には、}中心対称多角形とポリオミノには奇等分割がないこと が知られている。 ^[12]シャーマン・K・スタインの予想では、特殊多角形には奇等分割がないと提案されている。ここで特殊多角形とは、平行辺の同値類のそれぞれがゼロベクトルになる多角形である。正方形、中心対称多角形、ポリオミノ、ポリヘキサゴンはすべて特殊多角形である。^[13]${\displaystyle \langle 2\rangle }$

n > 4の場合、正n角形のスペクトルは です。^[14] n > 1の場合、 n次元立方体のスペクトルは です。ここで、n !はnの階乗です。^{[15]また、} n次元交差多面体のスペクトルは です。後者は、^[2]の八面体の証明から変更を加えて得られたものです。${\displaystyle \langle n\rangle }$${\displaystyle \langle n!\rangle }$${\displaystyle \langle 2^{n-1}\rangle }$

T ( a ) を台形とし、a は平行辺の長さの比とする。aが有理数であれば、T ( a ) は主多角形となる。実際、r / s が最小の分数であれば、 となる。^[16]より一般的には、有理座標を持つ凸多角形はすべて等分割することができるが^[17]、すべてが主多角形となるわけではない。上記の (3/2, 3/2) に頂点を持つ凧の例を参照のこと。 ${\displaystyle S(T(r/s))=\langle r+s\rangle }$

反対に、a が超越数の場合、T ( a ) は等分割を持たない。より一般的には、頂点座標が代数的に独立である多角形は等分割を持たない。^{[18]これは、4辺以上の多角形は}ほとんどすべて等分割できないことを意味する。ほとんどの多角形は等面積三角形に分割できないが、すべての多角形は等面積四辺形に分割できる。^[19]

aが代数的 無理数の場合、T ( a ) はより扱いにくいケースになります。aが2次または 3 次 ( 2 次または 3 次)の代数数であり、その共役がすべて正の実部を持つ場合、S ( T ( a ))には、 n / (1 + a ) が代数的整数になるような十分に大きいn がすべて含まれます。^[20]安定多項式を含む同様の条件により、すべての次数の代数数aに対してスペクトルが空かどうかが決まるのではないかと推測されています。^[21]

等分割の考え方は、かなり古いはずの初歩的な幾何学概念のように思えます。アイグナーとツィーグラー（2010）はモンスキーの定理について、「その答えは（ギリシャ人には知られていなかったとしても）かなり昔から知られていたはずだと推測できただろう」と述べています。^{[22]しかし、等分割の研究は、フレッド・リッチマンが}ニューメキシコ州立大学で修士号の試験を準備していた1965年まで始まりませんでした。

リッチマンは試験に幾何学の問題を入れたいと考え、正方形の奇数等分割（現在ではこう呼ばれている）を見つけるのが難しいことに気づいた。リッチマンは、3 または 5 では不可能であること、n等分割が存在するということは( n + 2)等分割が存在することを意味すること、そして正方形に任意に近い特定の四辺形には奇数等分割があることを自ら証明した。^[23]しかし、彼は正方形の奇数等分割の一般的な問題を解かず、試験から除外した。リッチマンの友人ジョン・トーマスはこの問題に興味を持ち、次のように回想している。

「この問題を尋ねられた人は皆（私も含めて）、それは私の専門ではないが、その問題は確かに検討されたに違いなく、答えはおそらくよく知られているだろう、といったことを言った。中には、見たことがあると思っていたが、どこで見たか思い出せなかった人もいた。私は、奇数偶数証明が巧妙な位相幾何学のスペルナーの補題を思い出したので、興味を持った。」 ^[24]

トーマスは、頂点の座標が分母が奇数の有理数である場合、奇等分割は不可能であることを証明しました。彼はこの証明をMathematics Magazineに提出しましたが、保留されました。

「審判の反応は予想通りだった。審判は、この問題は（解けなかったものの）かなり簡単かもしれないし、（参考文献は見つからなかったものの）よく知られているかもしれないと考えた。」^[25]

この問題は、代わりにアメリカ数学月刊誌（リッチマン＆トーマス 1967）の上級問題として出題された。誰も解答を提出しなかったため、証明は執筆から3年後に数学雑誌（トーマス 1968）に掲載された。その後、モンスキー（1970）はトーマスの議論を基に、合理性の仮定なしに、正方形の奇等分割は存在しないことを証明した。^[25]

モンスキーの証明は、2つの柱に依拠している。1つは、スペルナーの補題を一般化する組み合わせ論的結果、もう1つは、実数に対する2進値の存在という代数的結果である。平面の巧みな色付けは、正方形のすべての分割において、少なくとも1つの三角形の面積が偶数の分母に相当することを意味し、したがってすべての等分割は偶数でなければならない。議論の本質はトーマス（1968）にすでに見出されているが、モンスキー（1970）は、任意の座標での分割をカバーするために2進値を使用した最初の人物である。^[26]

モンスキーの定理の最初の一般化はミード (1979) によるもので、 n次元立方体のスペクトルが であることを証明しました。この証明はベッカーとネツベタエフ (1998) によって再検討されました。 ${\displaystyle \langle n!\rangle }$

正多角形への一般化は、1985年にカリフォルニア大学デービス校でGDチャケリアンが主催した幾何学セミナーで実現した。大学院生のエレイン・カシマティスは、「セミナーに滑り込める代数の話題を探していた」 ^[6] 。シャーマン・スタインは、正方形と立方体の分解を提案した。「チャケリアンは渋々ながら幾何学的な話題だと認めた。」^[6]講演後、スタインは正五角形について質問した。カシマティスは、カシマティス (1989) で答え、n > 5 の場合、正n角形のスペクトルは であることを証明した。彼女の証明はモンスキーの証明に基づいており、p進評価をnの各素因数に対する複素数に拡張し、円分体理論のいくつかの基本的結果を適用している。これはまた、アフィン変換を明示的に使用して便利な座標系を設定する最初の証明でもある。^{[27]カシマティスとスタイン（1990）は、}スペクトルと主多角形という用語を導入して、一般多角形のスペクトルを見つける問題を定式化した。^[6]彼らは、ほとんどすべての多角形には等分割がなく、すべての多角形が主多角形ではないことを証明した。^[2]${\displaystyle \langle n\rangle }$

カシマティスとスタイン（1990）は、正方形の2つの特定の一般化、台形と凧形のスペクトルの研究を開始しました。台形はジェプセン（1996）、モンスキー（1996）、ジェプセンとモンスキー（2008）によってさらに研究されました。凧形はジェプセン、セドベリー、ホイヤー（2009）によってさらに研究されました。一般的な四辺形は蘇と丁（2003）で研究されました。河北師範大学では、主に丁仁教授と彼の学生である杜亜涛と蘇占軍によっていくつかの論文が執筆されました。^[28]

スタイン (1989) は、偶数のnに対する正n角形についての結果を一般化しようとして、中心対称多角形には奇数の等分割がないと予想し、 n = 6 およびn = 8 の場合を証明した。完全な予想はモンスキー (1990) によって証明された。10 年後、スタインは「驚くべき躍進」と表現されるものを行い、奇数の等分割がないポリオミノがあると予想した。スタインは、奇数の正方形を持つポリオミノの結果をスタイン (1999) で証明した。完全な予想は、プラトン (2002) が偶数の場合を扱ったときに証明された。

等分割のトピックは、The Mathematical Intelligencer (Stein 2004)、Carus Mathematical Monographs (Stein & Szabó 2008) の一巻、およびProofs from THE BOOK (Aigner & Ziegler 2010)の第 4 版で扱われることにより、最近普及しました。

Sakai、Nara、Urrutia (2005) は、問題のバリエーションを検討しています。凸多角形Kが与えられたとき、 Kの内部にあるn 個の重なり合わない等面積の三角形でその面積のどれだけを覆うことができるでしょうか。 Kの面積に対する、可能な限り最もよく覆われる面積の比はt _n ( K )で表されます。Kがn 等分割される場合、t _n ( K ) = 1 です。それ以外の場合は 1 未満です。著者らは、四辺形Kの場合、t _n ( K ) ≥ 4 n /(4 n + 1) であり、t ₂ ( K ) = 8/9 となるのは、 K が台形T (2/3)にアフィン合同である場合に限ります。五角形の場合、t ₂ ( K ) ≥ 2/3、t ₃ ( K ) ≥ 3/4、n ≥ 5のときはt _n ( K ) ≥ 2 n /(2 n + 1)です。

Günter M. Ziegler は2003 年に逆問題を提起した。多角形全体をn 個の三角形に分割した場合、三角形の面積はどの程度等しくなるか。特に、最小の三角形と最大の三角形の面積の差は、どの程度まで小さくなるか。最小の差を正方形の場合はM ( n )、台形T ( a ) の場合はM ( a , n ) とする。すると、M ( n ) はnが偶数の場合は 0 、奇数の場合は 0 より大きくなる。Mansow (2003) は漸近的な上限M ( n ) = O(1/ n ² ) を与えた ( Big O 表記法を参照)。^[29] Schulze (2011) は、より優れた分割により上限をM ( n ) = O(1/ n ³ ) に改善し、M ( a , n )が任意に急速に減少するaの値が存在することを証明している。 Labbé、Rote、Ziegler (2018)は、 Thue-Morse列を使用する明示的な構成から導出された超多項式の上限を取得します。

二次資料

一次資料

ウィキメディア・コモンズには、 Equidissectionsに関連するメディアがあります。

• スペルナーの補題、ブラウワーの不動点定理、正方形の三角形への分割 - Akhil Mathew によるノート
• Über die Zerlegung eines Quadrats in Dreiecke gleicher Fläche - モーリッツ W. シュミットによるメモ (ドイツ語)
• 等面積三角形による多角形のタイリング - AlexGhitza によるメモ