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| 細長い四角形のジャイロビキューポラ | |
|---|---|
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| タイプ | カノニカル、 ジョンソン J 36 – J 37 – J 38 |
| 顔 | 8つの三角形 18つの正方形 |
| エッジ | 48 |
| 頂点 | 24 |
| 頂点構成 | |
| 対称グループ | |
| プロパティ | 凸、 特異頂点図形 |
| ネット | |
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幾何学において、細長い正方形ジャイロビキューポラは、八角柱の底面に2つの正方形キューポラを取り付け、そのうちの1つを回転させることで構築される多面体です。かつては多くの数学者によって誤って菱形立方八面体であると考えられていました。13のアルキメデスの立体とは異なり、すべての頂点を他のすべての頂点にマッピングする一連のグローバル対称性がないため、アルキメデスの立体とは見なされていません。また、標準的な多面体でもあります。このため、擬菱形立方八面体、ミラー立体、[1]、またはミラー–アスキヌーゼ立体としても知られています。[2]
工事
細長い正方形ジャイロビキューポラは、菱立方八面体と同様に、正正方形のキューポラ2 つを八角柱の底面に取り付ける(伸長 )ことによって構築できます。このプロセスは伸長と呼ばれます。これら 2 つの多面体の違いは、細長い正方形ジャイロビキューポラの 2 つの正方形キューポラのうち 1 つが 45 度ねじれ ( 回転)ており、三角形の面が垂直方向にずらされていることです。[3] [1]結果として得られる多面体には、8 つの正三角形と 18 の正方形があります。[3]すべての面が正多角形である凸多面体はジョンソン立体であり、細長い正方形ジャイロビキューポラはその中に含まれ、37 番目のジョンソン立体として列挙されています。[4]
細長い四角形のジャイロキューポラの建設過程
細長い四角形のジャイロビキューポラは、ヨハネス・ケプラーがアルキメデスの立体を列挙する際に発見された可能性があるが、印刷物で最初に明確に登場したのは1905年のダンカン・サマービルの著作であると思われる。 [5] JCPミラーは1930年に菱形八面体のモデルを構築しようとしたときに誤って独立して再発見した。この立体は1957年にVGアシュキヌーゼによって再発見された。[1] [6] [7]
プロパティ
辺の長さが1.5mの細長い正方形のジャイロキューポラの表面積は、 8つの正三角形と10の正方形の面積を足して次のようになります。[ 3 ] 体積は、2つの正方形のキューポラと1つの八角柱に分割することで計算できます。[3]
細長い正方形のジャイロビキューポラは、 16 次三次元対称群 を持つ。局所的に頂点正則であり、任意の頂点に接する 4 つの面の配置はすべての頂点で同じである。これはジョンソン立体の中ではユニークである。しかし、それが「ねじれる」方法により、明確な「赤道」と 2 つの明確な「極」が与えられ、それによって頂点は 8 つの「極」頂点 (極ごとに 4 つ) と 16 の「赤道」頂点に分割される。したがって、頂点推移的ではなく、結果として通常は 14 番目のアルキメデス立体とは見なされない。[1] [7] [8]
細長い正方形のジャイロビキューポラの二面角は、菱形八面体と同様に、正方形のキューポラと八角柱の二面角を加えることで求めることができる。[2]
- 菱形立方八面体の上部と下部の両方で隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正方形のキューポラの二面角 135° です。 八角柱の隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正八角形の内角135° です。 正方形のキューポラが八角柱に取り付けられている辺上の隣接する 2 つの正方形の間の二面角は、正方形のキューポラの正方形から八角形までの二面角と、八角柱の正方形から八角形までの二面角 45° + 90° = 135° の合計です。 したがって、菱形立方八面体の隣接する 2 つの正方形ごとの二面角は 135° です。
- 菱形立方八面体と正方形と三角形の二面角は、それらの間にある正方形のキューポラの二面角で、144.7°です。正方形のキューポラが八角柱に取り付けられている辺における正方形と三角形の間の二面角は、正方形のキューポラの三角形と八角形の二面角と八角柱の正方形と八角形の二面角の合計で、54.7° + 90° = 144.7°です。したがって、正方形と三角形のすべての菱形立方八面体の二面角は 144.7° です。
関連する多面体とハニカム
細長い正方形ジャイロビキューポラは、正四面体、立方体、および立方八面体と空間充填ハニカムを形成できます。また、四面体、四角錐、および立方体、細長い四角錐、および細長い四角両錐のさまざまな組み合わせと別のハニカムを形成することもできます。[9]
擬似大菱形立方八面体は擬似菱形立方八面体の非凸類似体であり、非凸大菱形立方八面体から同様の方法で構成される。
化学では
ポリバナデートイオン[ V 18 O 42 ] 12−は擬菱形立方八面体構造を持ち、各四角形の面がVO 5ピラミッドの底辺として機能します。[10]
参考文献
- ^ abcd クロムウェル、ピーター・R. (1997)、多面体、ケンブリッジ大学出版局、p. 91、ISBN 978-0-521-55432-9。
- ^ ab ジョンソン、ノーマン W. (1966)、「正則面を持つ凸多面体」、カナダ数学ジャーナル、18 : 169–200、doi : 10.4153/cjm-1966-021-8、MR 0185507、S2CID 122006114、Zbl 0132.14603。
- ^ abcd バーマン、マーティン (1971)、「正面凸多面体」、フランクリン研究所ジャーナル、291 (5): 329–352、doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8、MR 0290245。
- ^ フランシス、ダリル（2013年8月）、「ジョンソンソリッドとその頭字語」、Word Ways、46（3）：177。
- ^ サマービル、DMY (1905)、「絶対幾何学における平面の半正則ネットワーク」、エディンバラ王立協会紀要、41 : 725–747、doi :10.1017/s0080456800035560Grünbaum (2009) より引用。
- ^ ボール、ラウズ（1939）、コクセター、HSM（編）、数学レクリエーションとエッセイ（第11版）、p.137。
- ^ ab Grünbaum、Branko (2009)、「永続的なエラー」(PDF)、Elemente der Mathematik、64 (3): 89–101、doi : 10.4171/EM/120、MR 2520469Pitici, Mircea編 (2011)に再録。The Best Writing on Mathematics 2010。プリンストン大学出版局。pp. 18–31。。
- ^ Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004)、Graphs on Surfaces and Their Applications、Springer、p. 114、doi :10.1007/978-3-540-38361-1、ISBN 978-3-540-38361-1。
- ^ 「J37 ハニカム」、木製多面体ギャラリー、2016 年 3 月 21 日閲覧
- ^ グリーンウッド、ノーマン N. ; アーンショウ、アラン (1997)。元素の化学(第 2 版)。バターワース-ハイネマン。p. 986。ISBN 978-0-08-037941-8。
さらに読む
- アンソニー・ピュー（1976）『多面体：視覚的アプローチ』カリフォルニア：カリフォルニア大学出版局バークレー、ISBN 0-520-03056-7第2章: アルキメデスの多面体、プリズマとアンチプリズム、p. 25 擬菱形八面体
外部リンク
- Weisstein, Eric W.、「細長い正方形のジャイロキューポラ」（「ジョンソン立体」）（MathWorld）
- ジョージ・ハート: 擬菱形八面体