四角いキューポラ

四角いキューポラ
タイプ	ジョンソン J 3 – J 4 – J 5
顔	4 つの三角形、 5 つの正方形 、1 つの八角形
エッジ	20
頂点	12
頂点構成	${\displaystyle 8\times (3\times 4\times 8)+4\times (3\times 4^{3})}$
対称グループ	${\displaystyle C_{4v}}$
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学において、正方形のキューポラ（小ドームと呼ばれることもある）は、八角形の底面を持つキューポラである。すべての辺の長さが等しい場合、それはジョンソン立体、つまり規則的な面を持つ凸多面体である。これは、他の多くの多面体、特に他のジョンソン立体を構築するのに使用できる。

正方形のキューポラは、4 つの三角形、5 つの正方形、1 つの八角形の面を持ち、八角形が底辺、正方形の 1 つが頂点となる。辺の長さが等しい場合、三角形と八角形は正多角形となり、八角形の辺の長さは三角形と正方形の辺の長さに等しくなる。^{[1] [2]正方形と三角形の間の二}面角はおよそ、三角形と八角形の間の二面角は、正方形と八角形の間の二面角は正確に、隣接する 2 つの正方形の間の二面角は である。[3] すべての面が正多面体である凸多面体^はジョンソン立体であり、正方形のキューポラは4 番目のジョンソン立体として列挙される。^[2]${\displaystyle 144.7^{\circ}}$${\displaystyle 54.7^{\circ}}$${\displaystyle 45^{\circ}}$${\displaystyle 135^{\circ}}$${\displaystyle J_{4}}$

辺の長さが であることを考えると、正方形のキューポラの表面積は、すべての面の面積を足すことで計算できます。^[1] 高さ、円周半径、体積はそれぞれ次のようになります。^{[1] [4]}${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\left(7+2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.560a^{2}.}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle C}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {2}}{2}}a\approx 0.707a,\\C&=\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {2}}}}\right)a\approx 1.399a,\\V&=\left(1+{\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\right)a^{3}\approx 1.943a^{3}.\end{aligned}}}$$

ピラミッドは、その上面と底面の中心を通る対称軸を持ち、その軸を中心に1回転、2回転、3回転の角度で回転することで対称となる。また、底面の二等分線を通る任意の垂直面に対して鏡映対称である。したがって、ピラミッドは8次の巡回群であるピラミッド対称性を持つ。 ^[3] ${\displaystyle C_{4v}}$

正方形のキューポラは、多くの多面体構造に見られます。一例として、8 つのキューポラが重なり合った菱形八面体があります。底面を別の多面体に取り付ける構造は拡大と呼ばれ、角柱や反角柱に取り付ける構造は伸長またはジャイロ伸長と呼ばれます。^{[5] [6]}その他のジョンソン立体には、細長い正方形キューポラ 、ジャイロ伸長正方形キューポラ、正方形正二キューポラ、正方形ジャイロビキューポラ、細長い正方形ジャイロビキューポラ、ジャイロ伸長正方形二キューポラなどがあります。^[7]${\displaystyle J_{19}}$ ${\displaystyle J_{23}}$ ${\displaystyle J_{28}}$ ${\displaystyle J_{29}}$ ${\displaystyle J_{37}}$ ${\displaystyle J_{45}}$

交差正方形キューポラは、凸型正方形キューポラと位相的に同一な、非凸型ジョンソン立体同型の一つである。これは、凸型正方形キューポラが菱形立方八面体のスライスとして得られるのと同様に、非凸型大菱形立方八面体または準菱形立方八面体のスライスとして得られる。すべてのキューポラと同様に、底辺と頂点の数は上面の2倍である。この場合、底辺の多角形は八角形である。これは、逆行正方形底を持つキューポラとみなすことができ、正方形と三角形は、正方形キューポラとは逆の方法で底辺を介して接続され、したがって互いに交差する。

正方形のキューポラは、いくつかの不均一な空間充填格子の構成要素です。

• 四面体を持つ;
• 立方体と立方八面体で、そして
• 四面体、四角錐、立方体のさまざまな組み合わせ、細長い四角錐、細長い四角錐両錐などがある。^[8]

• Weisstein, Eric W.、「正方形キューポラ」（「ジョンソン立体」） 、 MathWorldにて。