拡張三角柱

幾何学において、拡張三角柱は、正四角錐を三角柱の正方形の面の一つに取り付けて作られる多面体である。そのため、ジョンソン立体の一例となる。化学においては、キャップ付き三角柱分子構造として現れる。

拡張三角柱は、三角柱の正方形の面の一つに正四角錐を取り付けることによって作ることができる多面体であり、この過程は拡張と呼ばれます。この正四角錐は三角柱の正方形の面を覆うため、結果として得られる多面体は、6つの正三角形と2つの正方形を面として持ちます。^{[ 1 ]}面がすべて正多角形であるが一様ではない凸多面体は、ジョンソン立体と呼ばれ、アメリカの数学者ノーマン・W・ジョンソンがそのような多面体を92個リストアップしたことにちなんで名付けられました。拡張三角柱は、ジョンソン立体の49番目のものとして数えられています。${\displaystyle J_{49}}$[ ^{2 ]​}

前述の構成に関連して、拡張三角柱は複合多面体である。多面体は、平面で切断したときに、正多角形の面を持つ2つ以上の凸多面体になる場合、複合多面体と呼ばれる。拡張三角柱は、1つの正四角錐と1つの三角柱に切断できる。これらは非複合多面体または基本多面体である。^{[ 3 ]}

拡大三角柱の表面積は、6つの正三角形と2つの正方形の面積を足し合わせることで求められます。${\displaystyle A=6T+2S}$正三角形と正方形の面積は${\textstyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}}$そして${\textstyle S=a^{2}}$それぞれ、${\displaystyle a}$は辺の長さです。拡張三角柱のすべての辺の長さは等しくなります。拡張三角柱の表面積は次のようになります。^{[ 1 ]}$${\displaystyle A=6\left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)+2a^{2}={\frac {3{\sqrt {3}}+4}{2}}a^{2}\approx 4.598a^{2}.}$$音量​${\displaystyle V}$拡大三角柱の体積は、それを三角柱と正四角錐に分割し、それぞれの体積を足し合わせることによって得られます。三角柱と正四角錐の体積は$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}}$そして$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$それぞれ。したがって、拡大三角柱の体積は次のようになります。^{[ 1 ]}$$${\displaystyle V={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{3}+{\frac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}={\frac {3{\sqrt {3}}+2{\sqrt {2}}}{12}}a^{3}\approx 0.669a^{3}$$$

拡張三角柱は三次元対称群を持つ${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$4次の変換です。つまり、形状をそれ自身に写像する4つの剛体変換があります。これらは次のとおりです。 ^{[ 4 ]}

• 何もしないことによる変革。
• ピラミッドの頂点と反対側の辺の中点を通る線を中心に180度回転する。
• その線を含む平面（プリズムの三角形の面に平行な平面）による反射。
• 回転と反射の合成。

拡張三角柱の二面角（つまり、2 つの多角形の面の間の角度）は、三角柱とピラミッドを別々に調べ、必要に応じて加算することで計算できます。^{[ 4 ]}

• ピラミッド内の隣接する2つの三角形間の二面角は${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$。
• 隣接する2つの正方形の二面角は、三角柱の内角である。${\displaystyle \pi /3=60^{\circ }}$。
• プリズムから生じる正方形と三角形の間の二面角は${\textstyle \pi /2=90^{\circ }}$。
• 正方形とピラミッドの三角形の間の二面角は、プリズム内の2つの正方形面の間の二面角と、ピラミッドの正方形面とその三角形面の間の二面角の合計です。後者の角度は$\arctan(√2) 約 54.7°$拡張三角柱の角度は$\displaystyle \pi /3+\arctan({\sqrt {2}})\approx 114.735^{\circ }}$。
• 角柱の三角形と角錐の三角形の間の二面角は、角柱の三角形と正方形の間の二面角と、角錐の三角形と正方形の間の二面角の合計です。これは$\displaystyle \pi /2+\arctan({\sqrt {2}})\approx 144.735^{\circ }}$。

化学化合物の幾何学では、多面体は一般的に中心原子を取り囲む原子クラスターとして視覚化される。キャップ付き三角柱分子構造は、この多面体が拡張三角柱となるクラスターを記述する。^{[ 5 ]}このような化合物の例として、ヘプタフルオロタンタル酸カリウムが挙げられる。^{[ 6 ]}

• ワイススタイン、エリック W. 「ジョンソン固体」 . MathWorld .
  • ワイススタイン、エリック W. 「拡張三角柱」 . MathWorld .