拡張六角柱

拡張六角柱
タイプ	ジョンソン J 53 – J 54 – J 55
顔	4つの三角形 5つの正方形 2つの六角形
エッジ	22
頂点	13
頂点構成	2x4(4 2 .6) 1(3 4 ) 4(3 2 .4.6)
対称グループ	C 2v
二重多面体	六角錐台
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学において、増補六角柱はジョンソン立体( J ₅₄ )の 1 つです。名前が示すように、増補六角柱は、四角錐( J ₁ ) を六角柱の赤道面の 1 つに接続して増補することで構築できます。このような角錐を 2 つまたは 3 つ接続すると、パラバイ増補六角柱( J ₅₅ )、メタバイ増補六角柱( J ₅₆ )、または三増補六角柱( J ₅₇ )になります。

拡大六角柱は、正四角錐1 つを六角柱の正方形の面に取り付けることによって構築されます。このプロセスは拡大と呼ばれます。^[1]この構築では、柱の正方形の面を削除して四角錐に置き換えるため、正三角形4 つ、正方形5 つ、正六角形2 つの合計 11 の面が存在します。^[2]すべての面が正多面体である凸多面体はジョンソン立体であり、拡大六角柱もその 1 つであり、 と列挙されます。^[3]同様に、2 つまたは 3 つの正四角錐を柱のより多くの正方形の面に取り付けると、より異なるジョンソン立体が得られます。これらは、パラビ拡大六角柱、メタビ拡大六角柱、および三拡大六角柱です。^[1]${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$

辺の長さが1の拡大六角柱の表面積^[2]は 、2つの六角形、4つの正三角形、5つの正方形の面積の合計です。その体積^[2]は 、1つの正四角錐と1つの六角柱に分割し、それらの体積を合計することで得られます。^[2]${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \left(5+4{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 11.928a^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+9{\sqrt {3}}}{2}}a^{3}\approx 2.834a^{3},}$$

対称軸は、四角錐の頂点と、半回転角と全回転角で回転した角柱の四角面の重心を通る。その二面角は、四角錐と六角柱の角度を次のように計算することで得られる。^[4]

• 隣接する2つの三角形の間の拡大六角柱の二面角は、正四角錐の二面角である。${\displaystyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• 隣接する2つの正方形の間の拡大六角柱の二面角は正六角形の内部であり、${\displaystyle 2\pi /3=120^{\circ }}$
• 正方形から六角形までの拡大六角柱の二面角は、六角柱の底面と側面の間の二面角である。${\displaystyle \pi /2}$
• 四角錐の三角形（側面）と正方形（底面）の間の二面角は です。したがって、四角錐と六角柱が接する辺における、正方形と三角形の間および三角形と六角形の間の増六角柱の二面角は です。${\displaystyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.75^{\circ }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\approx 174.75^{\circ },\\\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.75^{\circ }.\end{aligned}}}$$

• Weisstein, Eric W.、「拡張六角柱」（「ジョンソン立体」）（MathWorld）