五角形のキューポラ

五角形のキューポラ
タイプ	ジョンソン J 4 – J 5 – J 6
顔	三角形5 個、正方形 5 個、五角形1個、十角形1個
エッジ	25
頂点	15
頂点構成	${\displaystyle 10\times (3\times 4\times 10)}$ ${\displaystyle 5\times (3\times 4\times 5\times 4)}$
対称グループ	${\displaystyle C_{\mathrm {v} }}$
プロパティ	凸、初等
ネット

幾何学において、五角形のキューポラはジョンソン立体( J ₅ )の 1 つです。これは、菱形 2 十面体のスライスとして得られます。五角形のキューポラは、5 つの正三角形、5 つの正方形、1 つの五角形、および 1 つの十角形で構成されます。

五角形のキューポラの面は、5つの正三角形、5つの正方形、1つの正五角形、1つの正十角形です。^[1]凸状で正多角形の面の性質を持ち、これにより5番目のジョンソン立体に分類されます。^[2]このキューポラは、平面でスライスすることで2つ以上の正多面体を生成します。これは、基本的な多面体の例です。^[3]

すべての面が辺の長さに対して正則である場合、円周半径、高さ、表面積、体積に関する次の公式を適用できる：^[4] ${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}a&\approx 0.526a,\\R&={\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}a&\approx 2.233a,\\A&={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}a^{2}&\approx 16.580a^{2},\\V&={\frac {5+4{\sqrt {5}}}{6}}a^{3}&\approx 2.324a^{3}.\end{aligned}}}$$

ピラミッドは、上面と底面の中心を通る対称軸を持ち、その軸を中心に1、2、3、4/5の角度で回転することで対称になります。また、六角形の底面の二等分線を通る任意の垂直面に対して鏡面対称です。したがって、ピラミッド対称性、つまり10次の巡回群を持ちます。 ^[3]${\displaystyle C_{5\mathrm {v} }}$

五角形のキューポラは多面体の構築に応用できます。その底面を別の多面体に取り付ける構築は拡大と呼ばれ、プリズムまたは反プリズムに取り付ける構築は伸長またはジャイロ伸長と呼ばれます。^{[5] [6]}このような構造を持つジョンソン立体には、細長い五角形キューポラ 、回転細長い五角形キューポラ、五角形正二キューポラ、五角形ジャイロビキューポラ、五角形正キューポラロタンダ、五角形ジャイロキューポラロタンダ、細長い五角形正二キューポラ、細長い五角形ジャイロビキューポラ、細長い五角形正キューポラロタンダ、ジャイロ細長い五角形二キューポラ、ジャイロ細長い五角形キューポラロタンダ、拡大切頂十二面体、パラビ拡大切頂十二面体、メタビ拡大切頂十二面体、三拡大切頂十二面体、回転菱形十二面体、パラ二回旋菱形十二面体、メタ二回旋菱形十二面体、三回旋菱形十二面体。関連して、1つ以上の五角形のキューポラを削除して多面体を構築することは減少として知られており、減少菱形十二面体、パラ二回旋減少菱形十二面体、メタ二回旋減少菱形十二面体、二回旋減少菱形十二面体、パラ二回旋減少菱形十二面体、メタ二回旋減少菱形十二面体、二回旋減少菱形十二面体、三回旋減少菱形十二面体。^[1]${\displaystyle J_{20}}$ ${\displaystyle J_{24}}$ ${\displaystyle J_{30}}$ ${\displaystyle J_{31}}$ ${\displaystyle J_{32}}$ ${\displaystyle J_{33}}$ ${\displaystyle J_{38}}$ ${\displaystyle J_{39}}$ ${\displaystyle J_{40}}$ ${\displaystyle J_{46}}$ ${\displaystyle J_{47}}$ ${\displaystyle J_{68}}$ ${\displaystyle J_{69}}$ ${\displaystyle J_{70}}$ ${\displaystyle J_{71}}$ ${\displaystyle J_{72}}$ ${\displaystyle J_{73}}$ ${\displaystyle J_{74}}$ ${\displaystyle J_{75}}$ ${\displaystyle J_{76}}$ ${\displaystyle J_{77}}$ ${\displaystyle J_{78}}$ ${\displaystyle J_{79}}$ ${\displaystyle J_{80}}$ ${\displaystyle J_{81}}$ ${\displaystyle J_{82}}$ ${\displaystyle J_{83}}$

• Weisstein, Eric W.、「五角形のキューポラ」（「ジョンソン立体」） 、 MathWorldにて。