共線性

幾何学において、一組の点の共線性は、それらが単一の線上にあるという性質である。^{[1]この性質を持つ一組の点を}共線性がある（colinear ^[2]と綴られることもある）と言う。より一般的には、この用語は一列に並んだ物体、つまり「一直線上にある」または「一列に並んでいる」物体を指すために使用されている。

線上の点

どのような幾何学でも、直線上の点の集合は共線的であるといわれます。ユークリッド幾何学では、この関係は「直線」上に一列に並ぶ点として直感的に視覚化されます。しかし、ほとんどの幾何学（ユークリッド幾何学を含む）では、線は典型的にはプリミティブ（未定義）なオブジェクトタイプであるため、このような視覚化は必ずしも適切ではありません。幾何学のモデルは、点、線、およびその他のオブジェクトタイプが互いにどのように関係しているかの解釈を提供し、共線性などの概念はそのモデルのコンテキスト内で解釈されなければなりません。たとえば、球面幾何学では、標準モデルでは線は球の大円で表され、共線上の点の集合は同じ大円上にあります。このような点はユークリッドの意味での「直線」上にはなく、一列に並んでいるとは考えられません。

直線を直線に写す幾何学からそれ自身への写像は共線化と呼ばれ、共線性の性質が保持されます。ベクトル空間の線型写像（または線型関数）は、幾何学的写像として見ると、直線を直線に写します。つまり、共線上の点集合を共線上の点集合に写すので、共線化です。射影幾何学では、これらの線型写像はホモグラフィと呼ばれ、共線化の 1 つのタイプにすぎません。

ユークリッド幾何学の例

三角形

任意の三角形では、次の点の集合は同一直線上にあります。

垂心、外心、重心、エクセター点、ロンシャン点、および 9 点円の中心は同一直線上にあり、すべてオイラー線と呼ばれる直線上にあります。
ド・ロンシャン点には他の共線性もあります。
任意の頂点、対辺と外円の接線、およびナーゲル点は、三角形の分割線と呼ばれる直線上で同一直線上にあります。
任意の辺の中点、三角形の境界に沿ってどちらの方向にもその中点から等距離にある点（したがって、これらの 2 点は周囲を二等分します）、およびシュピーカー円の中心は、三角形の切断線と呼ばれる線上で一直線上にあります。（シュピーカー円は中点三角形の内接円であり、その中心は三角形の周囲の質量の中心です。）
任意の頂点、内接円の反対側の辺の接線、およびジェルゴンヌ点は同一直線上にあります。
三角形の外接円上の任意の点から、三角形の 3 つの延長辺のそれぞれ上の最も近い点は、外接円上の点のシムソン線と一直線上にあります。
高度の足を結ぶ線は、反対側の辺と共線的に交差する。^[3]^{: p.199}
三角形の内心、高さの中点、および対応する辺とその辺に対する外円との接点は同一直線上にある。^[4]^{: p.120、#78}
メネラウスの定理は、三角形の反対側の頂点にある3つの辺（延長線上にあるものもある）が同一直線上にあるためには、次の線分の長さの積が等しい必要があることを述べている：^[3]^{: p. 147} $P_{1}、P_{2}、P_{3}$ $A_{1},A_{2},A_{3}$

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

内心、重心、およびスピーカー円の中心は同一直線上にあります。
三角形の外心、ブロカール中点、ルモワーヌ点は同一直線上にある。 ^[5]
三角形の垂心で交わる2本の垂直線は、それぞれ三角形の延長された辺と交差します。これらの交点の3辺の中点は、ドロス・ファルニー線上で同一線上にあります。

四辺形

対辺が $E$ と $Fで交わる凸$ 四辺形 $ABCD$ において、 $AC$ $、$ $BD$ $、$ $EF$ の中点は同一直線上にあり、これらの中点を通る線はニュートン線と呼ばれます。四辺形が接線四辺形である場合、その内心もこの線上にあります。^[6]
凸四辺形においては、準直交心 $H$ 、面積重心 $G$ 、準外心 $O が$ この順序で同一直線上にあり、 $HG = 2 GO$ である。^{[7] （}四辺形#凸四辺形の注目すべき点と線を参照。）

接線四辺形のその他の共線性については、接線四辺形#共線点で説明します。
円周四辺形においては、外心、頂点の重心（2つの二中線の交点）、および反心は同一直線上にある。^[8]
円周四辺形においては、面積の重心、頂点の重心、対角線の交点は同一直線上にある。^[9]
接線台形の場合、内接円と 2 つの底辺の接線は内心と同一直線上にあります。
接線台形では、脚の中点は内心と同一直線上にあります。

六角形

パスカルの定理（別名、六角形の神秘の定理）は、円錐曲線（楕円、放物線、双曲線）上の任意の 6 点を選び、線分で任意の順序で結んで六角形を形成する場合、六角形の 3 組の向かい合う辺（必要なら延長する）は 3 点で交わり、その 3 点は六角形のパスカル直線と呼ばれる直線上に存在すると述べています。逆もまた真です。つまり、ブレイケンリッジ・マクローリンの定理は、六角形の向かい合う辺を通る 3 組の線の 3 つの交点が直線上に存在する場合、六角形の 6 つの頂点は円錐曲線上に存在すると述べています。円錐曲線は、パップスの六角形定理のように退化している場合もあります。

円錐曲線

モンジュの定理によれば、平面上の任意の 3 つの円のうち、いずれも他の円の内側に完全に含まれていない場合、それぞれが 2 つの円に外接する 3 組の直線の 3 つの交点は同一直線上にあります。
楕円では、中心、2 つの焦点、および曲率半径が最小の2 つの頂点が同一直線上にあり、中心と曲率半径が最大となる 2 つの頂点も同一直線上にあります。
双曲線では、中心、2 つの焦点、および 2 つの頂点が同一直線上にあります。

コーン

均一な密度の円錐体の重心は、底辺の中心から頂点までの 4 分の 1 の距離、つまり 2 つを結ぶ直線上にあります。

四面体

四面体の重心は、モンジュ点と外心の間の中点です。これらの点は、三角形のオイラー線に類似した四面体のオイラー線を定義します。四面体の 12 点球の中心もオイラー線上にあります。

代数

座標が与えられた点の共線性

座標幾何学では、 $n$ 次元空間において、3つ以上の異なる点の集合が共線的であるためには、これらのベクトルの座標行列の階数が1以下である必要があります。例えば、3つの点が与えられた場合、

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

マトリックス

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

ランクが1 以下の場合、点は同一直線上にあります。

$同様に、 X、Y、Z$ の各部分集合に対して、行列

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

の階数が 2 以下の場合、点は同一直線上にあります。特に、平面 ( $n = 2$ ) の 3 点の場合、上記の行列は正方行列であり、その行列式が 0 の場合にのみ、点は同一直線上にあります。3 × 3 の行列式は、その 3 点を頂点とする三角形の面積のプラスまたはマイナス 2 倍であるため、これは、その 3 点を頂点とする三角形の面積が 0 の場合にのみ、3 点が同一直線上にあるというステートメントと同等です。

対距離が与えられた点の共線性

少なくとも 3 つの異なる点の集合は直線と呼ばれます。直線とは、すべての点が同一直線上にあることを意味し、その場合、すべての 3 つの点 $A、B、C$ について、次のケイリー・メンガー行列式の行列式が 0 になります ( $d (AB)は$ $A$ と $B$ 間の距離を意味します)。

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d (AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

この行列式は、ヘロンの公式によれば、辺の長さが $d (AB)、 d (BC)、 d (AC)$ である三角形の面積の二乗の -16 倍に等しくなります。したがって、この行列式がゼロに等しいかどうかを確認することは、頂点 $A、B、C を$ 持つ三角形の面積がゼロであるかどうか (つまり、頂点が同一直線上にあるかどうか) を確認することと同じです。

同様に、少なくとも 3 つの異なる点の集合が同一直線上にあるのは、 $d$ $($ $AC$ $)が$ $d$ $($ $AB$ $)$ と $d$ $($ $BC$ $)$ のそれぞれ以上である3 つの点 $A、B、C$ ごとに、三角不等式 $d$ $($ $AC$ $) \leq$ $d$ $($ $AB$ $) +$ $d$ $($ $BC$ $)$ が等式とともに成立する場合のみです。

数論

2 つの数 $m$ と $n が$ 互いに素でない、つまり 1 以外の共通因数を共有しているのは、頂点が $(0, 0)、($ $m$ $、 0)、($ $m$ $、$ $n$ $)、(0,$ $n$ $)である$ 正方格子上にプロットされた長方形について、少なくとも 1 つの内部点が $(0, 0)$ および $($ $m, n$ $)$ と同一線上にある場合のみです。

並行性（平面デュアル）

さまざまな平面幾何学において、「点」と「線」の役割を、それらの関係を維持しながら入れ替える概念は、平面双対性と呼ばれます。一組の共線上の点が与えられた場合、平面双対性により、すべてが共通点で交わる一組の線が得られます。この一組の線が持つ特性 (共通点で交わる) は並行性と呼ばれ、これらの線は並行線であると言われます。したがって、並行性は共線性の平面双対概念です。

共線性グラフ

部分幾何学 $P$ が与えられ、 2 つの点が最大で 1 本の線を決定する場合、 $P$ の共線性グラフは、頂点が $P$ の点であるグラフであり、 2 つの頂点が隣接しているのは、それらが $P$ 内の線を決定する場合のみです。

統計学と計量経済学での使用

統計学では、共線性とは2つの説明変数間の線形関係を指します。2つの変数が完全に共線的であるとは、2つの変数の間に正確な線形関係があり、それらの相関が1または-1に等しい場合です。つまり、 $X 1$ と $X 2$ $が完全に共線的であるとは、すべての観測値i$ に対して、次が成り立つパラメータとが存在する場合です。 $\lambda_{0}$ $\lambda_{1}$

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

これは、さまざまな観測値 $(X 1 i 、 X 2 i)が$ $(X 1 、 X 2)$ 平面にプロットされた場合、これらの点はこの記事の前半で定義した意味で共線的であることを意味します。

完全多重共線性とは、多重回帰モデルにおける $k （ k \geq 2）個$ の説明変数が、

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

$全ての観測値i$ に対して。実際には、データセットで完全な多重共線性に直面することはめったにありません。より一般的には、多重共線性の問題は、2つ以上の独立変数の間に「強い線形関係」がある場合に発生します。つまり、

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

ここで、の分散は比較的小さい。 $\varepsilon _{i}$

横方向の共線性の概念はこの伝統的な見方を拡張したもので、説明変数と基準変数（すなわち、説明される変数）の間の共線性を指します。^[10]

他の地域での使用

アンテナアレイ

電気通信において、共線型（または共線型）アンテナアレイは、各アンテナの対応する要素が平行かつ一列に並ぶように、つまり共通の線または軸に沿って配置されるように設置されたダイポールアンテナのアレイです。

写真

共線性方程式は、写真測量法やコンピュータステレオビジョンで使用される2つの方程式のセットであり、画像（センサー）平面（2次元）の座標を物体座標（3次元）に関連付けます。写真撮影の設定では、方程式は、カメラの光学中心を通る物体の点の中心投影を画像（センサー）平面の画像に考慮して導出されます。物体点、像点、光学中心の3つの点は常に共線です。別の言い方をすると、物体点と像点を結ぶ線分はすべて光学中心で一致します。^[11]

参照

注記

^ この概念はどんな幾何学にも当てはまるが、Dembowski (1968, pg. 26)、特定の幾何学の議論の中でのみ定義されることが多い。Coxeter (1969, pg. 178)、Brannan、Esplen & Gray (1998, pg.106)
^ Colinear（メリアム・ウェブスター辞書）
^ ab ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著1929年）。
^ アルトシラー・コート、ネイサン。『大学幾何学』第2版。バーンズ・アンド・ノーブル、1952年[第1版1925年]。
^ Scott, JA「三角形の幾何学における面積座標の使用例」、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472-477。
^ ドゥシャン・ジュキッチ、ウラジミール・ヤンコビッチ、イワン・マティッチ、ニコラ・ペトロヴィッチ、『IMO Compendium』、Springer、2006、p. 15.
^ ミャキシェフ、アレクセイ (2006)、「四辺形に関連する 2 つの注目すべき線について」(PDF)、フォーラム幾何学、6 : 289–295。
^ ホンスバーガー、ロス(1995)、「4.2 巡回四辺形」、19世紀および20世紀ユークリッド幾何学のエピソード、新数学図書館、第37巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 35–39、ISBN 978-0-88385-639-0
^ ブラッドリー、クリストファー (2011)、循環四辺形によって作成される 3 つの重心(PDF)
^ Kock, N.; Lynn, GS (2012). 「分散ベースの SEM における横方向の共線性と誤解を招く結果: 図解と推奨事項」(PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546–580. doi :10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.
^これらの方程式を 同時実行方程式と呼ぶ方が数学的には自然ですが、写真測量の文献ではその用語は使用されていません。

参考文献

ブランナン、デイビッド A.; エスプラン、マシュー F.;グレイ、ジェレミー J. (1998)、『幾何学』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-59787-0
コクセター、HSM（1969）、幾何学入門、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 0-471-50458-0
Dembowski、Peter (1968)、有限幾何学、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 44、ベルリン: Springer、ISBN 3-540-61786-8、MR 0233275

[1] この概念はどんな幾何学にも当てはまるが、Dembowski (1968, pg. 26)、特定の幾何学の議論の中でのみ定義されることが多い。Coxeter (1969, pg. 178)、Brannan、Esplen & Gray (1998, pg.106)

[2] Colinear（メリアム・ウェブスター辞書）

[Johnson-3] ジョンソン、ロジャー A.、「上級ユークリッド幾何学」、ドーバー出版、2007年（原著1929年）。

[AC-4] アルトシラー・コート、ネイサン。『大学幾何学』第2版。バーンズ・アンド・ノーブル、1952年[第1版1925年]。

[5] Scott, JA「三角形の幾何学における面積座標の使用例」、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472-477。

[6] ドゥシャン・ジュキッチ、ウラジミール・ヤンコビッチ、イワン・マティッチ、ニコラ・ペトロヴィッチ、『IMO Compendium』、Springer、2006、p. 15.

[Myakishev-7] ミャキシェフ、アレクセイ (2006)、「四辺形に関連する 2 つの注目すべき線について」(PDF)、フォーラム幾何学、6 : 289–295。

[Honsberger-8] ホンスバーガー、ロス(1995)、「4.2 巡回四辺形」、19世紀および20世紀ユークリッド幾何学のエピソード、新数学図書館、第37巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 35–39、ISBN 978-0-88385-639-0

[9] ブラッドリー、クリストファー (2011)、循環四辺形によって作成される 3 つの重心(PDF)

[10] Kock, N.; Lynn, GS (2012). 「分散ベースの SEM における横方向の共線性と誤解を招く結果: 図解と推奨事項」(PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546–580. doi :10.17705/1jais.00302. S2CID 3677154.

[11] ^これらの方程式を 同時実行方程式と呼ぶ方が数学的には自然ですが、写真測量の文献ではその用語は使用されていません。