双角柱

双角柱
タイプ	ジョンソン J 49 – J 50 – J 51
顔	三角形10 個、正方形 1個
エッジ	17
頂点	8
頂点構成	${\displaystyle 2\times 3^{5}+2\times 3^{4}+4\times 3^{3}\times 4}$
対称グループ	${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学において、双増三角柱は、 2 つの正四角錐を2 つの正方形の面に取り付けることで三角柱から構築された多面体です。ジョンソン立体の一例です。立体化学では、双頭三角柱分子幾何学で見られます。

双拡張三角柱は、三角柱の2つの正方形の面に2つの正四角錐を取り付けることで構築できます。このプロセスは拡張と呼ばれます。^[1]これらのピラミッドは柱の正方形の面を覆うため、結果として得られる多面体は10個の正三角形と1つの正方形の面を持ちます。^[2]すべての面が正多角形である凸多面体はジョンソン立体です。双拡張三角柱はその中に含まれており、50番目のジョンソン立体として列挙されています。^[3]${\displaystyle J_{50}}$

辺の長さを持つ双角錐の表面積は、10個の正三角形と1つの正方形の面積を足して計算されます。^[2] 体積は、正三角錐と2つの正四角錐に分割し、それらの体積を足して計算できます。^[2]${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\frac {2+5{\sqrt {3}}}{2}}a^{2}\approx 5.3301a^{2}.}$$ $${\displaystyle {\sqrt {{\frac {59}{144}}+{\frac {1}{\sqrt {6}}}}}a^{3}\approx 0.904a^{3}.}$$

これは、4次の巡回群の3次元対称群を持つ。その二面角は、次のように正四角錐と正三角柱の角度を加えることで計算できる。^[4]${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$

• 2つの隣接する三角形の間の二角錐の二面角は、2つの隣接する三角形の面の間の正四角錐の二面角である。${\textstyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.5^{\circ }}$
• 正方形と三角形の間の二角柱の二面角は、三角柱の底辺と側面の間の二面角である。${\textstyle \pi /2=90^{\circ }}$
• 正四角錐の三角形の面と底面の間の二面角は です。三角柱の 2 つの隣接する正方形の面の間の二面角は、正三角形の内角です。したがって、正四角錐が三角柱の正方形の面に取り付けられている辺上の正方形 (三角柱の側面) と三角形 (正四角錐の側面) の間の二面角、および 2 つの正四角錐が三角柱に隣接して取り付けられている辺上の 2 つの隣接する三角形 (両方の正四角錐の側面) の間の二面角は、次のようになります。${\textstyle \arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54.7^{\circ }}$${\textstyle \pi /3=60^{\circ }}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 114.7^{\circ },\\2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)+{\frac {\pi }{3}}&\approx 169.4^{\circ }.\end{aligned}}}$$
• 正四角錐が三角柱に取り付けられている辺上の、隣接する 2 つの三角形 (三角柱の底辺と正四角錐の側面) 間の二面角は、次のようになります。$${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\approx 144.5^{\circ }.}$$

双増三角柱は、立体化学において、双頭三角柱分子構造として知られる化合物の構造形状として見られる。これは、四角反柱と突起二蝶形以外の化学構造以外の、8つの頂点を持つ遷移金属錯体の3つの一般的な形状の1つである。このような構造の例としては、ランタノイドとアクチノイドの臭化物とヨウ化物に採用されている臭化プルトニウム(III) PuBr ₃がある。^[5]