三角形のキューポラ

三角形のキューポラ
タイプ	ジョンソン J 2 – J 3 – J 4
顔	4 つの三角形、 3 つの正方形 、1 つの六角形
エッジ	15
頂点	9
頂点構成	${\displaystyle {\begin{aligned}&6\times (3\times 4\times 6)\,+\\&3\times (3\times 4\times 3\times 4)\end{aligned}}}$
対称グループ	${\displaystyle C_{3v}}$
プロパティ	凸状の
ネット

幾何学では、三角形のキューポラは、底面が六角形で上面が三角形のキューポラです。辺の長さが等しい場合、三角形のキューポラはジョンソン立体です。これは、立方八面体の半分と見ることができます。三角形のキューポラは、多くの多面体の構築に応用できます。

三角形のキューポラは、4 つの三角形、3 つの正方形、1 つの六角形を面として持ち、六角形が底辺で 4 つの三角形のうち 1 つが頂点となる。すべての辺の長さが等しい場合、三角形と六角形は正多角形となる。^{[1] [2]各三角形と六角形の間の}二面角は約 70.5°、各正方形と六角形の間の二面角は 54.7°、正方形と三角形の間の二面角は 125.3° である。[ ^3]すべての面が正多面体である凸多面体はジョンソン立体であり、三角形のキューポラはその中に含まれ、3 番目のジョンソン立体として列挙される。^[2]${\displaystyle J_{3}}$

三角形のキューポラの辺の長さは です。その表面積は、4つの正三角形、3つの正方形、1つの六角形の面積を足すことで計算できます。^[1] 高さと体積は、次のとおりです。^{[4] [1]}${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}$$

ピラミッドは、その上面と底面の中心を通る対称軸を持ち、その軸を中心に1回転角と2/3回転角で回転することで対称となる。また、六角形の底面の二等分線を通る任意の垂直面に対して鏡面対称である。したがって、ピラミッドは6次の巡回群であるピラミッド対称性を持つ。 ^[3] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

三角形のキューポラは、多くの多面体の構築に見られます。一例として、三角形のキューポラをその半球と見なすことができる立方八面体があります。 ^[5]底面を別の多面体に取り付ける構築は、拡張と呼ばれます。また、角柱または反角柱に取り付ける構築は、伸長またはジャイロ伸長と呼ばれます。^{[6] [7]}そのように構築された他のジョンソン立体には、細長い三角形キューポラ 、ジャイロ伸長三角形キューポラ、三角形正二キューポラ、細長い三角形正二キューポラ、細長い三角形ジャイロ二キューポラ、ジャイロ伸長三角形二キューポラ、拡張切頂四面体があります。^[8]${\displaystyle J_{18}}$ ${\displaystyle J_{22}}$ ${\displaystyle J_{27}}$ ${\displaystyle J_{35}}$ ${\displaystyle J_{36}}$ ${\displaystyle J_{44}}$ ${\displaystyle J_{65}}$

三角形のキューポラは切頂四面体の構築にも応用できるが、内部にいくつかの空洞と正四面体を残す。カンディ (1956) は、立方体の中心に頂点がある6 つの四角錐を外側に取り付けて菱形十二面体を構築するのと同様の方法で、このような多面体を構築した。そうは言っても、このような切頂四面体は、直角二等辺三角形と長方形の両方の交互の辺が比率で辺を持つ 4 つの三角形のキューポラを長方形ごとに接続することによって構築されます。切頂八面体は、同じ三角形のキューポラを三角形ごとに 8 つ接続することによって構築できます。^[9]${\textstyle 1:{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

• Weisstein, Eric W.、「三角形のキューポラ」（「ジョンソン立体」）（MathWorld）