自由落下

古典力学では、自由落下とは、重力のみが作用する物体の運動のことです。自由落下する物体は、必ずしも垂直方向に落下するとは限りません。上向きに動く物体は通常は落下しているとは見なされませんが、重力のみの力を受けている場合は自由落下していると言われます。したがって、月は地球の周りを自由落下していますが、その公転速度により地球の表面から非常に離れた軌道上に留まっています。

ほぼ均一な重力場では、重力は物体の各部分にほぼ均等に作用します。物体（軌道上の宇宙飛行士など）とその周囲の物体の間に働く法線力などの他の力がない場合は、無重力の感覚が生じます。この状態は、重力場が弱い場合（重力源から遠く離れている場合など）にも発生します。

「自由落下」という用語は、上記で定義した厳密な意味よりも緩く使用されることが多い。したがって、パラシュートや揚力装置を展開せずに大気圏を落下することも、自由落下と呼ばれることが多い。このような状況では空気抵抗力によって完全な無重力状態が実現されないため、終端速度に達した後のスカイダイバーの「自由落下」では、体の重量が空気のクッションで支えられているような感覚が生じる。

一般相対性理論では、重力は時空の曲率に還元されるため、自由落下中の物体には力が作用しません。

16 世紀以前の西洋では、落下する物体の速度はその重量に比例すると一般に考えられていました。つまり、同じ媒体を通過する場合、10 kg の物体は、それ以外の点では同一の 1 kg の物体よりも 10 倍速く落下すると予想されていました。古代ギリシャの哲学者アリストテレス(紀元前 384 年 - 322 年) は、物理学(第 7 巻) で落下物体について論じています。これは、力学に関する最古の書籍の 1 つです(アリストテレス物理学を参照)。しかし、6 世紀にヨハネス ピロポノスがこの議論に異議を唱え、観察によれば、2 つのボールの重量が大きく異なっていても、ほぼ同じ速度で落下するはずだと述べました。^[1]

12世紀のイラクで、アブール・バラカット・アル・バグダディは、落下する物体の重力加速度について説明しました。シュロモ・パインズによると、アル・バグダディの運動理論は「アリストテレスの基本力学法則[一定の力は均一な運動を生み出す]を最も古く否定したものであり、[したがって]古典力学の基本法則[継続的に加えられた力は加速を生み出す]を漠然と予見したもの」でした。 ^[2]

おそらく作り話と思われる話によると、1589年から1592年にかけてガリレオはピサの斜塔から質量の異なる2つの物体を落とした。落下速度を考えると、ガリレオがこの実験から多くの情報を引き出せたかどうかは疑わしい。ガリレオが観察した落下物体のほとんどは、実際には斜面を転がり落ちる物体だった。これにより、物体の速度が遅くなり、水時計と自分の脈拍で時間間隔を測定できるようになった（当時ストップウォッチはまだ発明されていなかった）。彼はこれを「100回」繰り返し、「2つの観測値の偏差が脈拍の10分の1を超えない精度」を達成した。1589年から1592年にかけて、ガリレオは落下物体の運動に関する未発表の原稿、De Motu Antiquiora を^{執筆した。 [要出典]}

自由落下する物体の例には以下のものがあります。

• 推進力がオフになっている宇宙船（宇宙空間内）（例えば、連続軌道上、または数分間上昇してから下降する弾道軌道（弾道）上）。
• 落下管の上部に落下した物体。
• 上向きに投げられた物体、または低速で地面から飛び上がる人（つまり、重量に比べて空気抵抗が無視できるほど小さい場合）。

技術的には、物体は上向きに動いているときや、運動の頂点で瞬間的に静止しているときでも自由落下している。重力が唯一の影響である場合、加速度^[3]は常に下向きであり、すべての物体に対して同じ大きさを持ち、一般的に と表記される。 ${\displaystyle g}$

他の力が働かない場合はすべての物体は同じ速度で落下するため、このような状況では物体も人も無重力状態になります。

自由落下していない物体の例:

• 飛行機での飛行：揚力という追加の力も存在します。
• 地面に立っている場合：重力は地面からの垂直力によって打ち消されます。
• パラシュートを使用して地球に降下します。これにより、重力と空気抵抗力のバランスが保たれます (一部のパラシュートでは、追加の揚力も得られます)。

パラシュートをまだ展開していないスカイダイバーが落下する例は、終端速度に達すると自分の体重に等しい抗力を受けるため、物理学の観点からは自由落下とは見なされません(下記参照)。

地球の表面近くでは、真空中を自由落下する物体は、質量に関係なく約 9.8 m/s ²で加速します。落下した物体に空気抵抗が作用すると、物体は最終的に終端速度に達します。人間のスカイダイバーの場合、終端速度は約 53 m/s (190 km/h または 118 mph ^{[4] ) です。終端速度は、質量、}抗力係数、相対表面積など多くの要因によって決まり、十分な高度から落下した場合にのみ達成されます。大の字の姿勢をとった典型的なスカイダイバーは、約 12 秒後に終端速度に達し、その間に約 450 m (1,500 フィート) 落下していることになります。^[4]

自由落下は、1971 年 8 月 2 日に宇宙飛行士のデイビッド スコットによって月面で実証されました。彼は、ハンマーと羽根を月面の同じ高さから同時に放ちました。ハンマーと羽根は両方とも同じ速度で落下し、同時に表面に当たりました。これは、空気抵抗がない場合、すべての物体は重力により同じ加速度を経験するというガリレオの発見を実証しました。ただし、月面では_重力加速度は約 1.63 m/s ²で、 地球の 約^{1/6にすぎません。}

これは、惑星の表面近くで物体が短い距離を落下する垂直運動の「教科書的な」例です。物体にかかる重力の力が空気抵抗の力よりはるかに大きい限り、または同等に物体の速度が終端速度より常にはるかに小さい限り、空気中では良い近似値となります (以下を参照)。

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$

${\displaystyle y(t)=v_{0}t+y_{0}-{\frac {1}{2}}gt^{2}}$

どこ

${\displaystyle v_{0}\,}$速度の初期垂直成分（m/s）です。

${\displaystyle v(t)\,}$速度の垂直成分（m/s）です。${\displaystyle t\,}$

${\displaystyle y_{0}\,}$初期高度（m）です。

${\displaystyle y(t)\,}$（メートル）の高度です。${\displaystyle t\,}$

${\displaystyle t\,}$経過時間（秒）です。

${\displaystyle g\,}$は重力加速度です（地球の表面近くでは9.81 m/s ^{2 ）。}

初期速度がゼロの場合、初期位置からの落下距離は経過時間の2乗に比例して増加します。さらに、奇数は完全な2乗に加算されるため、連続する時間間隔で落下する距離は奇数に比例して増加します。落下体のこの動作の説明はガリレオによって与えられました。^[5]

このケースは、スカイダイバー、パラシュート降下者、または質量、断面積の物体に適用され、レイノルズ数は臨界レイノルズ数よりはるかに大きいため、空気抵抗は落下速度 の2乗に比例し、運動方程式は次のようになります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho C_{\mathrm {D} }Av^{2}\,,}$

ここで、 は空気の密度、は抗力係数であり、一般にはレイノルズ数に依存しますが、一定であると仮定されます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{\mathrm {D} }}$

物体が静止状態から落下し、高度による空気密度の変化がないと仮定すると、解は次のようになります。

${\displaystyle v(t)=v_{\infty }\tanh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right),}$

ここで終端速度は次のように与えられる。

${\displaystyle v_{\infty }={\sqrt {\frac {2mg}{\rho C_{D}A}}}\,.}$

物体の速度と時間を時間で積分すると、垂直位置を時間の関数として求めることができます。

${\displaystyle y=y_{0}-{\frac {v_{\infty }^{2}}{g}}\ln \cosh \left({\frac {gt}{v_{\infty }}}\right).}$

人間の終端速度を 56 m/s とすると、10 秒後には 348 メートル落下して終端速度の 94% に達し、12 秒後には 455 メートル落下して終端速度の 97% に達することがわかります。しかし、高高度から落下する物体など、空気の密度が一定であると仮定できない場合は、運動方程式を解析的に解くのがはるかに難しくなり、通常は運動の数値シミュレーションが必要になります。この図は、地球の上層大気を落下する流星体に作用する力を示しています。ジョー・キッティンガーとフェリックス・バウムガートナーの記録的なジャンプを含むHALO ジャンプもこのカテゴリに属します。^[6]

他の力が働かない状態で互いの周りを回る宇宙の 2 つの物体は、互いの周りを自由落下していると言えます。たとえば、月や人工衛星は地球の周りを「落下」し、惑星は太陽の周りを「落下」します。球状の物体を想定すると、運動方程式はニュートンの万有引力の法則によって決まり、重力二体問題の解はケプラーの惑星運動の法則に従う楕円軌道になります。地球に近い落下物体と軌道を回る物体とのこの関係は、ニュートンの砲弾という思考実験によって最もよく説明されます。

角運動量なしで互いに向かって放射状に移動する 2 つの物体の運動は、離心率 e = 1 (放射状楕円軌道)の特殊なケースと見なすことができます。これにより、放射状の経路上の 2 つの点状物体の自由落下時間を計算できます。この運動方程式を解くと、距離の関数として時間が得られます。

${\displaystyle t(y)={\sqrt {\frac {{y_{0}}^{3}}{2\mu }}}\left({\sqrt {{\frac {y}{y_{0}}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right),}$

どこ

${\displaystyle t}$落下開始後の時間です

${\displaystyle y}$物体の中心間の距離である

${\displaystyle y_{0}}$の初期値です${\displaystyle y}$

${\displaystyle \mu =G(m_{1}+m_{2})}$は標準的な重力パラメータです。

代入すると自由落下時間が得られる${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle t_{\text{ff}}=\pi {\sqrt {y_{0}^{3}/(8\mu )}}~.}$

分離は時間の関数として明示的に表現できる^[7]

${\displaystyle y(t)=y_{0}~Q\left(1-{\frac {t}{t_{\text{ff}}}};{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}\right)~,}$

ここで、 はベータ分布の分位関数であり、正規化不完全ベータ関数の逆関数としても知られています。 ${\displaystyle Q(x;\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$

この解は解析的冪級数によって正確に表すこともできる。

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0}\left({\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n}\right]\right)\right].}$

これを評価すると次のようになる: ^{[8] [9]}

${\displaystyle y(t)=y_{0}\left(x-{\frac {1}{5}}x^{2}-{\frac {3}{175}}x^{3}-{\frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}x^{7}-\cdots \right)\ ,}$

どこ

${\displaystyle x=\left[{\frac {3}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}-t{\sqrt {\frac {2\mu }{{y_{0}}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.}$

一般相対性理論では、自由落下する物体は力をまったく受けず、測地線に沿って移動する慣性体である。時空が平坦な、時空の曲率の発生源から遠く離れた場所では、ニュートンの自由落下理論は一般相対性理論と一致する。それ以外の点では両者は一致しない。例えば、一般相対性理論だけが、軌道の歳差運動、重力波によるコンパクト連星の軌道の減衰または吸気、方向の相対性（測地歳差運動とフレームドラッグ）を説明できる。

ガリレオが指摘し、ニュートンの理論で重力質量と慣性質量の等価性として具体化され、後にエトヴェシュの実験の現代版によって高い精度で確認された、自由落下中のすべての物体は同じ速度で加速するという実験的観察は、等価原理の基礎であり、そこからアインシュタインの一般相対性理論が最初に出発した。

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