シャピロ時間遅延

シャピロの時間遅延効果、または重力の時間遅延効果は、一般相対性理論の4 つの古典的な太陽系テストの 1 つです。 巨大な物体の近くを通過するレーダー信号は、物体の質量がない場合に比べて、ターゲットまでの移動にわずかに時間がかかり、戻ってくるのにも時間がかかります。時間遅延は時間の遅れによって引き起こされ、外部の観測者の観点から光が特定の距離を移動するのにかかる時間が長くなります。1964 年の「一般相対性理論の第 4 のテスト」と題された論文で、アーウィン シャピロは次のように書いています。^[1]

一般理論によれば、光波の速度はその経路に沿った重力ポテンシャルの強さに依存するため、レーダーパルスが太陽の近くを通過すると、これらの時間遅延はほぼ 2×10 ⁻⁴秒増加するはずです。距離に換算すると 60 km に相当するこの変化は、現在入手可能な機器を使用して、必要な経路長にわたって約 5 ～ 10% 以内で測定できます。

時間遅延について論じたこの記事全体を通して、シャピロは光速としてc を使用し、アインシュタイン場の方程式のシュワルツシルト解に従って、有限座標距離にわたる光波または光線の通過の時間遅延を計算します。

時間遅延効果は、1964年にアーウィン・シャピロによって初めて予測されました。シャピロは、予測を検証する観測テストを提案しました。それは、金星と水星の表面でレーダービームを反射させ、往復の移動時間を測定するというものでした。地球、太陽、金星が最も好ましい位置に並んだとき、シャピロは、太陽の存在により、地球から金星まで往復するレーダー信号の予想される時間遅延が約200マイクロ秒であることを示しました^[1]。これは、1960年代の技術の限界内に十分収まっていました。

1966年と1967年にMIT ヘイスタックレーダーアンテナを使用して行われた最初のテストは成功し、予測された時間遅延量と一致しました。^[2]それ以来、実験は何度も繰り返され、精度が向上しました。

中程度の強さのほぼ静的な重力場（例えば恒星や惑星の重力場、ブラックホールや中性子星の近接連星系の重力場ではない）では、この効果は重力による時間の遅れの特殊なケースとみなすことができます。重力場内での光信号の測定経過時間は、重力場がない場合よりも長くなり、中程度の強さのほぼ静的な場では、その差は古典的な重力ポテンシャルに正比例し、標準的な重力による時間の遅れの公式で正確に与えられます。

シャピロのオリジナルの定式化はシュワルツシルト解から導かれ、地球から発射されたレーダーパルスが内惑星で反射して太陽の近くを通過して戻ってくる場合の太陽質量（）の一次項を含んでいた。^[1]${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Delta t\approx {\frac {4GM}{c^{3}}}\left(\ln \left[{\frac {x_{p}+(x_{p}^{2}+d^{2})^{1/2}}{-x_{e}+(x_{e}^{2}+d^{2})^{1/2}}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x_{p}}{(x_{p}^{2}+d^{2})^{1/2}}}+{\frac {2x_{e}+x_{p}}{(x_{e}^{2}+d^{2})^{1/2}}}\right]\right)+{\mathcal {O}}\left({\frac {G^{2}M^{2}}{c^{5}d}}\right),}$

ここで、 はレーダー波が太陽の中心に最も近づく距離、は地球上のアンテナから太陽に最も近づく地点までの飛行線に沿った距離、 はこの地点から惑星までの経路に沿った距離を表します。この式の右辺は主に光線の速度の変化によるもので、経路の変化による影響は の 2 次であるため無視できます。は誤差の順序を表す ランダウ記号です。${\displaystyle d}$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle x_{p}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

巨大な物体の周りを回る信号の場合、時間遅延は次のように計算できます。^[3]

${\displaystyle \Delta t=-{\frac {2GM}{c^{3}}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ).}$

ここで、は 観測者から発生源を指す単位ベクトルであり、は観測者から重力質量を指す単位ベクトルです。 点は、通常のユークリッド点積を表します。 ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle M}$

を使うと、この式は次のようにも書ける。 ${\displaystyle \Delta x=c\Delta t}$

${\displaystyle \Delta x=-R_{s}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ),}$

これは光が移動しなければならない架空の追加距離です。これがシュワルツシルト半径です。 ${\displaystyle R_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

PPNパラメータでは、

${\displaystyle \Delta t=-(1+\gamma ){\frac {R_{s}}{2c}}\ln(1-\mathbf {R} \cdot \mathbf {x} ),}$

これはニュートンの予測値の 2 倍です ( )。 ${\displaystyle \gamma =0}$

シャピロ係数が 2 倍になる理由は、重力による時間の遅れだけでなく、空間の放射状の伸びもあるという事実によって説明できます。一般相対論では、この 2 つの要因はどちらも、光の偏向と同様に時間遅延に等しく寄与しています。

${\displaystyle \tau =t{\sqrt {1-{\tfrac {R_{s}}{r}}}}}$

${\displaystyle c'=c{\sqrt {1-{\tfrac {R_{s}}{r}}}}}$

${\displaystyle s'={\frac {s}{\sqrt {1-{\tfrac {R_{s}}{r}}}}}}$

${\displaystyle T={\frac {s'}{c'}}={\frac {s}{c\left(1-{\tfrac {R_{s}}{r}}\right)}}}$

^[4]

ボイジャーやパイオニア宇宙船などの惑星間探査機までの距離を正確に測定しようとする場合、シャピロ遅延を測距データとともに考慮する必要があります。^[要出典]

SN 1987Aからのニュートリノと光子のほぼ同時観測から、高エネルギーニュートリノのシャピロ遅延は光子のそれと10%以内で同じでなければならないことがわかり、これはニュートリノの質量に関する最近の推定値と一致しており、それらのニュートリノは光速に非常に近い速度で移動していたことを示唆している。2016年に重力波が直接検出された後、片道のシャピロ遅延が2つのグループによって計算され、約1800日となった。しかし、一般相対性理論やその他の重力の計量理論では、重力波のシャピロ遅延は光やニュートリノと同じになると予想されている。しかし、テンソル・ベクトル・スカラー重力理論やその他の修正された一般相対論理論では、ミルグロムの法則を再現し、暗黒物質の必要性を回避しているため、重力波のシャピロ遅延はニュートリノや光子のそれよりもはるかに小さくなります。中性子星合体GW170817からの重力波とガンマ線の到着時間の観測された1.7秒の差は、推定される約1000日のシャピロ遅延よりもはるかに小さいものでした。これにより、暗黒物質の必要性を省く修正された重力モデルのクラスが排除されます。^[5]

• 重力赤方偏移と青方偏移
• 重力レンズ
• 適切な時間
• VSOP（惑星）
• 重力磁気時間遅延

• van Straten W; Bailes M; Britton M; et al. (2001 年 7 月 12 日). 「一般相対性理論のブースト」. Nature . 412 (6843): 158–60. arXiv : astro-ph/0108254 . Bibcode :2001Natur.412..158V. doi :10.1038/35084015. hdl :1959.3/1820. PMID  11449265. S2CID  4363384.
• レイ・ディンヴェルノ（1992年）『アインシュタインの相対性理論入門』クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-859686-8。シャピロ効果に関する優れた上級学部レベルの入門書については、セクション 15.6 を参照してください。
• ウィル、クリフォード M. (2014)。 「一般相対性理論と実験の対立」。Living Reviews in Relativity。17 ( 1): 4–107。arXiv : 1403.7377。Bibcode : 2014LRR  .... 17....4W。doi : 10.12942/ lrr - 2014-4。PMC 5255900。PMID 28179848。 太陽系のテストなどに関する大学院レベルの調査。
• John C. Baez、Emory F. Bunn (2005)。 「アインシュタインの方程式の意味」。American Journal of Physics。73 ( 7): 644–652。arXiv : gr-qc/0103044。Bibcode : 2005AmJPh..73..644B。doi :10.1119/ 1.1852541。S2CID 119456465  。
• Michael J. Longo (1988 年 1 月 18日)。「Sn1987a によるアインシュタインの等価原理の新しい精密テスト」。Physical Review Letters。60 ( 3): 173–175。Bibcode :1988PhRvL..60..173L。doi : 10.1103/PhysRevLett.60.173。PMID 10038466  。
• Lawrence M. Krauss、Scott Tremaine (1988 年 1 月 18 日)。「ニュートリノと光子の弱等価原理のテスト」。Physical Review Letters。60 ( 3): 176–177。Bibcode :1988PhRvL..60..176K。doi : 10.1103 /PhysRevLett.60.176。PMID 10038467  。
• S. Desai、E. Kahya、RP Woodard (2008)。「暗黒物質エミュレータによる重力波の時間遅延の短縮」。Physical Review D . 77 (12): 124041. arXiv : 0804.3804 . Bibcode :2008PhRvD..77l4041D. doi :10.1103/PhysRevD.77.124041. S2CID  118785933。
• E. Kahya; S. Desai (2016). 「GW150914 による Shapiro 遅延の周波数依存違反に対する制約」. Physics Letters B. 756 : 265–267. arXiv : 1602.04779 . Bibcode :2016PhLB..756..265K. doi :10.1016/j.physletb.2016.03.033. S2CID  54657234.