固定点部分環

代数学において、不動点部分環${\displaystyle R^{f}}$環Rの自己同型fの自己同型は、 fの固定点の部分環である。すなわち、

${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$

より一般的に、G がRに作用する群 である場合、 Rの部分環は

${\displaystyle R^{G}=\{r\in R\mid g\cdot r=r\ {\text{すべての }}\ g\in G\}}$

これは固定部分環、あるいはより伝統的にはGの下での不変環と呼ばれます。SがRの自己同型写像​​の集合である場合、 Sの要素によって固定されるRの要素は、Sによって生成される群の下での不変環を形成します。特に、自己同型写像​​fの固定点部分環は、 fによって生成される巡回群の不変環です。

ガロア理論において、Rが体であり、Gが体の自己同型群である場合、固定環は自己同型群の固定体と呼ばれる部分体である。ガロア理論の基本定理を参照のこと。

共変量のモジュールとともに、不変量の環は不変式論における中心的な研究対象である。幾何学的には、不変量の環は（アフィンまたは射影的な）GIT商の座標環であり、幾何学的不変式論における構成において基本的な役割を果たす。

例：${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$n個の変数を持つ多項式環とする。対称群S _{n は}変数を置換することによってRに作用する。すると不変量の環は${\displaystyle R^{G}=k[x_{1},\dots ,x_{n}]^{\operatorname {S} _{n}}}$は対称多項式の環です。簡約代数群GがRに作用する場合、不変式論の基本定理はR ^Gの生成元を記述します。

ヒルベルトの第 14 問題は、不変量の環が有限生成であるかどうかを問うものです (永田の定理により、G が簡約代数群であれば答えは肯定です)。有限生成は、有限生成代数Rに作用する有限群Gの場合に容易にわかります。RはR ^G上で整であるため、^{[ 1 ]} Artin –Tate の補題により、 R ^Gは有限生成代数となります。一部の単冪群の場合、答えは否定です。

G を有限群とする。Sを有限次元G加群の対称代数とする。このとき、Gが反射群であるのは、次の場合に限る。${\displaystyle S}$はS ^G上の自由加群（有限ランク）である（シュヴァレーの定理）。

微分幾何学において、Gがリー群であり、${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$そのリー代数において、多様体M上の各主Gバンドルは次数付き代数準同型(チャーン・ワイル準同型と呼ばれる)を決定する。

$\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{2*}(M;\mathbb {C} )}$

どこ${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$は、上の多項式関数の環である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$そしてGは${\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}$随伴表現による。

• キャラクターの多様性

• 向井茂、オクスベリー、WM（2003年9月8日）[1998] 『不変量とモジュライ入門』ケンブリッジ高等数学研究、第 81巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-80906-1MR 2004218​ 
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory , Lecture Notes in Mathematics, vol.  585, Springer