オープンマップとクローズドマップ

広く用いられている「開写像」には、互いに競合するものの密接に関連した2つの異なる定義があり、どちらの定義も「開集合を開集合に写像する写像」と要約できます。以下の用語は、2つの定義を区別するために用いられることがあります。

地図${\displaystyle f:X\to Y}$と呼ばれる

• 「強く開かれた地図」${\displaystyle U}$はドメインの開部分集合である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle f(U)}$は、の開部分集合である。${\displaystyle f}$の終域${\displaystyle Y.}$
• 「比較的オープンなマップ「もしいつでも${\displaystyle U}$はドメインの開部分集合である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle f(U)}$は、の開部分集合である。${\displaystyle f}$のイメージ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ここで、通常どおり、この集合には、によって誘導される部分空間トポロジーが備わっている。${\displaystyle f}$の終域${\displaystyle Y.}$^{[ 11 ]}

強く開かれた地図はすべて、相対的に開かれた地図である。しかし、これらの定義は一般的には同義ではない。

注意：多くの著者は「オープンマップ」を「比較的オープンなマップ」（例えば、『数学百科事典』）と定義していますが、他の著者は「オープンマップ」を「強くオープンなマップ」と定義しています。一般的に、これらの定義は同等ではないため、著者が「オープンマップ」をどのような定義で使用しているかを常に確認することをお勧めします。

全射写像は、強開写像である場合に限り相対的に開写像である。したがって、この重要な特殊なケースでは、定義は同等である。より一般的には、写像は${\displaystyle f:X\to Y}$相対的に開いているのは、全射が${\displaystyle f:X\to f(X)}$非常に開放的な地図です。

なぜなら${\displaystyle X}$は常に の開部分集合である${\displaystyle X,}$画像${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$非常に開いた地図${\displaystyle f:X\to Y}$その値域の開部分集合でなければならない${\displaystyle Y.}$実際、相対的に開いた写像は、その像が終域の開部分集合である場合に限り、強く開いた写像である。要約すると、

ある写像が強開写像であるのは、それが相対的に開写像であり、かつその像が終域の開部分集合である場合に限る。

この特徴付けを用いることで、「オープンマップ」の2つの定義のうち一方に関する結果を、もう一方の定義に関する状況に適用することがしばしば容易になる。

上記の議論は、「open」という単語を「closed」という単語に置き換えれば、閉じた地図にも適用されます。

地図${\displaystyle f:X\to Y}$と呼ばれる地図を開くか以下のいずれかの同等の条件を満たす場合、強く開いたマップである。

1. 意味：${\displaystyle f:X\to Y}$定義域の開部分集合をその値域の開部分集合に写像する。つまり、任意の開部分集合に対して${\displaystyle U}$の${\displaystyle X}$、${\displaystyle f(U)}$は、の開部分集合である。${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$比較的開けた地図とその画像${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$は、その値域の開部分集合である。${\displaystyle Y.}$
3. すべての${\displaystyle x\in X}$そしてすべての地域${\displaystyle N}$の${\displaystyle x}$（たとえ小さくても）${\displaystyle f(N)}$近隣地域${\displaystyle f(x)}$この条件式において、「neighborhood」という単語の最初の箇所、または両方の箇所を「open neighborhood」に置き換えても、結果は依然として同等の条件式となる。
   • すべての${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのオープンな近隣地域${\displaystyle N}$の${\displaystyle x}$、${\displaystyle f(N)}$近隣地域${\displaystyle f(x)}$。
   • すべての${\displaystyle x\in X}$そしてすべてのオープンな近隣地域${\displaystyle N}$の${\displaystyle x}$、${\displaystyle f(N)}$は、${\displaystyle f(x)}$。
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$すべてのサブセットについて${\displaystyle A}$の${\displaystyle X,}$どこ${\displaystyle \operatorname {Int} }$は、集合の位相的内部を表す。
5. いつでも${\displaystyle C}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle X}$それからセット${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle Y.}$
   • これはアイデンティティの結果である${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$これはすべての部分集合に当てはまる。${\displaystyle R\subseteq X.}$

もし$\displaystyle {\mathcal {B}}}$は基礎となる${\displaystyle X}$そして、このリストに以下を追加することができます。

6. ${\displaystyle f}$基本開集合をその終域の開集合に写像する（つまり、任意の基本開集合に対して）${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle f(B)}$は、の開部分集合である。${\displaystyle Y}$)

地図${\displaystyle f:X\to Y}$と呼ばれる相対的に閉じたマップ${\displaystyle C}$はドメインの閉部分集合である${\displaystyle X}$それから${\displaystyle f(C)}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle f}$のイメージ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ここで、通常どおり、この集合には、によって誘導される部分空間トポロジーが備わっている。${\displaystyle f}$の終域${\displaystyle Y.}$

地図${\displaystyle f:X\to Y}$と呼ばれる閉じた地図または以下のいずれかの同等条件を満たす場合、それは強く閉じた写像である。

1. 意味：${\displaystyle f:X\to Y}$定義域の閉部分集合をその値域の閉部分集合に写像する。つまり、任意の閉部分集合に対して${\displaystyle C}$の${\displaystyle X,}$${\displaystyle f(C)}$は、の閉部分集合である。${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$は比較的閉じた地図であり、そのイメージは${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$は、その値域の閉部分集合である。${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$すべての部分集合について${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$すべての閉部分集合に対して${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. いつでも${\displaystyle U}$は、の開部分集合である。${\displaystyle X}$それからセット${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$は、の開部分集合である。${\displaystyle Y.}$
6. もし${\displaystyle x_{\bullet }}$ネットは​${\displaystyle X}$そして${\displaystyle y\in Y}$は、${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$で${\displaystyle Y,}$それから${\displaystyle x_{\bullet }}$収束する${\displaystyle X}$セットへ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • 収束${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$は、${\displaystyle X}$含まれる${\displaystyle f^{-1}(y)}$含まれる${\displaystyle x_{j}}$十分に大きなインデックスすべてに対して${\displaystyle j.}$

全射写像は、相対的に閉じている場合に限り、強閉写像である。したがって、この重要な特殊なケースでは、2 つの定義は同等である。定義により、写像は${\displaystyle f:X\to Y}$は、全射が${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$これは強く閉じたマップです。

「連続写像」の定義（「開集合のすべての逆像は開集合である」という記述）において、「開」という語を両方とも「閉集合」に置き換えると、結果として得られる記述（「閉集合のすべての逆像は閉集合である」）は連続性と等価になります。しかし、「開写像」の定義（「開集合のすべての像は開集合である」）ではそうはなりません。なぜなら、結果として得られる記述（「閉集合のすべての像は閉集合である」）は「閉写像」の定義であり、一般に開性とは等価ではないからです。閉集合ではない開写像も存在し、開集合ではない閉写像も存在します。開写像／閉写像と連続写像のこの違いは、最終的には任意の集合に対して${\displaystyle S,}$のみ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$一般的には等価性が保証されるが、逆像の場合は等価性が保証されない。${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$常に有効です。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$連続マップであり、かつ開いているか閉じているかのどちらかである場合、次のようになります。

• もし${\displaystyle f}$が全射であれば、それは商写像であり、遺伝的に商写像でもある。
  • 射影写像${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての部分集合に対して、遺伝的に商であると呼ばれる。${\displaystyle T\subseteq Y}$制限${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$これは商写像です。
• もし${\displaystyle f}$が射影であれば、それは位相埋め込みである。
• もし${\displaystyle f}$が全単射であれば、それは同相写像である。

最初の2つのケースでは、開いているか閉じているかは、続く結論を導き出すための十分条件にすぎない。3つ目のケースでは、それは必要条件でもある。

もし${\displaystyle f:X\to Y}$連続した（強く）開いたマップであり、${\displaystyle A\subseteq X,}$そして${\displaystyle S\subseteq Y,}$それから：

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$どこ${\displaystyle \operatorname {Bd} }$集合の境界を表します。
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$どこ${\displaystyle {\overline {S}}}$集合の閉包を表す。
• もし${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$どこ${\displaystyle \operatorname {Int} }$集合の 内部を表す場合、$${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$ このセットが${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$は必然的に正則閉集合でもある（${\displaystyle Y}$) ^{[注1 ]}特に、${\displaystyle A}$が通常の閉集合であれば、${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$。 もし${\displaystyle A}$が正則開集合ならば、 も正則開集合である。${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• 連続したオープンマップの場合${\displaystyle f:X\to Y}$も全射であるならば、${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$さらに、${\displaystyle S}$は、正規開集合（または正規閉集合）^{[注1 ]}の部分集合である。${\displaystyle Y}$かつその場合に限り${\displaystyle f^{-1}(S)}$は、 の正則開集合（または正則閉集合）である。${\displaystyle X}$。
• ネット​${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$収束する${\displaystyle Y}$ある程度まで${\displaystyle y\in Y}$そして、連続したオープンマップ${\displaystyle f:X\to Y}$は全射である。${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ネットが存在する${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$で${\displaystyle X}$（何らかの有向集合によってインデックス付けされている）${\displaystyle A}$) のように${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$で${\displaystyle X}$そして${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$はサブネットです${\displaystyle y_{\bullet }}$さらに、インデックスセット${\displaystyle A}$と解釈される可能性がある${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$製品注文では、${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$近隣の基準は${\displaystyle x}$監督${\displaystyle \,\supseteq .\,}$^{[注2 ]}