イデアルの積分閉包

代数学において、可換環RのイデアルIの整閉包は、 と表記され、 I上で整であるRのすべての元rの集合である。つまり、 ${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle a_{i}\in I^{i}}$

${\displaystyle r^{n}+a_{1}r^{n-1}+\cdots +a_{n-1}r+a_{n}=0.}$

これは部分環の整閉包に似ています。たとえば、R が定義域である場合、Rの元rがに属するのは、有限生成R加群Mが存在し、それがゼロによってのみ消滅し、 となる場合のみです。したがって、 はRのイデアルになります(実際、イデアルの整閉包は常にイデアルです。以下を参照してください) 。の場合、 I は整閉であると言われます。 ${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle rM\subset IM}$${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle I={\overline {I}}}$

イデアルの整閉包は、解析的に不分岐な環を特徴付けるリースの定理に現れます。

• において、は に対して積分です。 は、がイデアルであるとき、方程式 を満たします。${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$${\displaystyle x^{i}y^{di}}$${\displaystyle (x^{d},y^{d})}$${\displaystyle r^{d}+(-x^{di}y^{d(di)})=0}$${\displaystyle a_{d}=-x^{di}y^{d(di)}}$
• 根基イデアル（例えば素イデアル）は整的に閉じている。整的に閉じているイデアルの交差は整的に閉じている。
• 正規環において、任意の非零因子xと任意のイデアルIに対して、 が成り立ちます。特に、正規環において、非零因子によって生成される主イデアルは整閉です。${\displaystyle {\overline {xI}}=x{\overline {I}}}$
• を体k上の多項式環とします。RのイデアルIは、単項式によって生成される場合、つまり である場合、単項式と呼ばれます。単項式イデアルの整閉包は単項式です。${\displaystyle R=k[X_{1},\ldots,X_{n}]}$${\displaystyle X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}}$

R を環とする。リース代数は イデアルの整閉包を計算するために使用できる。構造の結果は次のようになる。次数付きにおけるの整閉包は である。特に、はイデアルであり である。つまり、イデアルの整閉包は整閉である。また、同次イデアルの整閉包は同次であることもわかる。 ${\displaystyle R[It]=\oplus _{n\geq 0}I^{n}t^{n}}$${\displaystyle R[It]}$${\displaystyle R[t]}$${\displaystyle \oplus _{n\geq 0}{\overline {I^{n}}}t^{n}}$${\displaystyle {\overline {I}}}$${\displaystyle {\overline {I}}={\overline {\overline {I}}}}$

次のような結果は、ブリアンソン・シュコダの定理と呼ばれます。Rを正則環とし、I をl個の元によって生成されるイデアルとします。任意の に対して、 ${\displaystyle {\overline {I^{n+l}}}\subset I^{n+1}}$${\displaystyle n\geq 0}$

リースの定理は、( R , m ) をネーター局所環とする。それが形式的に等次元であると仮定する（つまり、完備化は等次元である）。すると、2 つのm主イデアルが同じ整閉包を持つのは、それらが同じ重複度を持つ場合のみである。^[1]${\displaystyle I\subset J}$

• デデキント・クンマーの定理

• アイゼンバッド、デイヴィッド、「代数幾何学に向けた可換代数」、Graduate Texts in Mathematics、150、Springer-Verlag、1995年、ISBN  0-387-94268-8。
• スワンソン、イレーナ、フネケ、クレイグ（2006）、イデアル、環、およびモジュールの積分閉包、ロンドン数学協会講義ノートシリーズ、第336巻、ケンブリッジ、英国：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-68860-4, MR  2266432, Reference-idHS2006、2019-11-15にオリジナルからアーカイブ、2013-07-12に取得

• Irena Swanson、Rees の評価。