ベクトル値ハーン・バナッハの定理

数学、特に関数解析とヒルベルト空間理論において、ベクトル値ハーン・バナッハの定理は、線形汎関数（常に実数で値をとる）からのハーン・バナッハの定理の一般化である。 $\mathbb {R}$ または複素数 $\mathbb {C}$ ）を位相ベクトル空間（TVS）で値をとる線形演算子に。

定義

$X$ と $Y$ 全体を通して、体上の位相ベクトル空間（TVS）が存在します。 $\mathbb {K}$ また、 $L(X; Y)は、$ $Xから$ $Y$ へのすべての連続線形写像のベクトル空間を表し、 $X$ と $Yがノルム空間である場合は、$ $L(X; Y)$ にその標準演算子ノルムを与えます。

拡張機能

$M$ が TVS $X$ のベクトル部分空間である場合、 $Y は$ 、すべての連続線形写像 $f$ $:$ $M$ $\to$ $Y$ $がX$ 全体への連続線形拡張を持つ場合に、 $Mから$ $X$ への拡張特性を持つと言います $。X$ と $Y が$ ノルム空間である場合、この連続線形拡張のノルムが $‖$ $f$ $‖$ に等しくなるように選択できる場合に、 $Y は$ $Mから$ $X$ への距離拡張特性を持つと言います。

TVS $Y は、$ $X$ $のすべての部分空間からX$ への拡張特性を持つとは、 $X$ のすべてのベクトル部分空間 $M$ に対して、 $Y が$ $Mから$ $X$ への拡張特性を持つ場合をいう。X と Y がノルム空間である場合 $、$ $Y$ は、 Xの $すべて$ $の$ $部分空間からX$ への距離拡張特性を持つとは、 $X$ のすべてのベクトル部分空間 $M$ に対して、 $Y が$ $Mから$ $X$ への距離拡張特性を持つ場合をいう。

TVS $Y は$ 、任意の局所凸空間 $Xと$ $X$ の任意のベクトル部分空間 $M$ に対して、 $Y が$ $Mから$ $X$ への拡張特性を持つ場合、拡張特性^{[ 1 ]}を持つ。

バナッハ空間 $Y$ は、任意のバナッハ空間 $Xおよび$ $X$ の任意のベクトル部分空間 $M$ に対して、 $Y が$ $Mから$ $X$ への距離拡張特性を持つ場合、距離拡張特性^{[ 1 ]}を持つ。

1-拡張機能

$M$ が体上のノルム空間 $X$ のベクトル部分空間である場合 $\mathbb {K}$ ノルム空間 $Y は、$ $Mから$ $X$ への直接 1-拡張特性を持つとは、 $M$ $の任意の$ $x$ に対して、すべての連続線形写像 $f : M \to Y が$ 連続線形拡張を持つ場合をいう。 $F:M\oplus (\mathbb {K} x)\to Y$ $‖ f ‖ = ‖ F ‖$ となるように。Yが、任意のバナッハ空間 $Xおよび$ $X$ の任意のベクトル部分空間 $Mに対して、$ $M$ から $X$ への即時 1-拡張特性を持つ場合、 $Y は$ $即時$ 1-拡張特性を持つと言います。

射影空間

局所凸位相ベクトル空間 $Y$ は、位相ベクトル部分空間として $Y を$ 含むすべての局所凸空間 $Zに対して、$ $Z$ から $Y$ への連続射影が存在する場合に単射である^{[ 1 ]}。

バナッハ空間 $Y$ は、 $Y$ $を$ ノルム付きベクトル部分空間として含むすべてのバナッハ空間 Z (つまり、Y のノルムは Z のノルムの Y への通常の制限と同一である) に対して^、 $ノルム$ 1 $を$ 持つ $Z$ $から$ Yへの^連続^射影が $存在$ する $場合$ 、1-単射 $[$ 1 ] または P 1 -空間である。

物件

TVS $Y が$ 拡張特性を持つためには、完全でなければならない（恒等写像を拡張できる必要があるため）。 $\mathbf {1} :Y\to Y$ $Y$ から $Y$ の完全 $Z$ へ、つまり写像 $Z$ $\to$ $Y$ へ）。^[¹^]

存在

$f : M \to Y が$ $X$ のベクトル部分空間 $M$ から完備ハウスドルフ空間 $Y$ への連続線形写像である場合、 $M$ から $X$ における $M$ の閉包への $f$ の一意な連続線形拡張が常に存在する。^[¹^]^[²^] したがって、閉じたベクトル部分空間から完備ハウスドルフ空間への写像のみを考慮すれば十分である。^[¹^]

結果

拡張特性を持つ任意の局所凸空間は単射である。^{[ 1 ]} $Y$ が単射バナッハ空間である場合、任意のバナッハ空間 $Xに対して、$ $X$ のベクトル部分空間から $Y$ への任意の連続線形作用素は、 $X$ 全体への連続線形拡張を持つ。^{[ 1 ]}

1953年、アレクサンダー・グロタンディークは、拡張性を持つ任意のバナッハ空間は有限次元であるか、そうでなければ分離不可能である ことを示した。^[¹^]

定理^{[ 1 ]} — $Y$ が体上のバナッハ空間であると仮定する $\mathbb {K} .$ すると、以下のものは同等である。

$Y$ は1-単射である。
$Y$ はメトリック拡張特性を持つ。
$Y$ は即時1拡張特性を持つ。
$Y$ は中心半径特性を持つ。
$Y$ は弱い交差特性を持つ。
$Y$ は、それがノルム埋め込まれている任意のバナッハ空間において1補元を持つ。
$Y$ がバナッハ空間にノルム埋め込まれているとき $X$ 次に、アイデンティティマップ $\mathbf {1} :Y\to Y$ ノルムの連続線形マップに拡張できる $1$ に $X$ ;
$Y$ は線形等長である $C\left(T,\mathbb {K} ,\|{\dot {}}\|_{\infty }\right)$ あるコンパクトなハウスドルフ空間Tに対して、極めて不連結な空間 $Tが$ 存在する。（この空間 $T$ は同相写像を除いて一意である。）

さらに、 $Y$ が実数上のベクトル空間である場合、このリストに以下を追加できます。

$Y$ は二項交差特性を持つ。
$Y$ は、秩序単位を持ち、秩序単位ノルムを備えた完全アルキメデス順序付きベクトル格子と線形等長である。

定理^{[ 1 ]} — $Yが距離拡張特性を持つ$ 実バナッハ空間であると仮定する。このとき、以下は同値である。

$Y$ は再帰的である。
$Y$ は分離可能である。
$Y$ は有限次元である。
$Y$ は線形等長である $C\left(T,\mathbb {K} ,\|\cdot \|_{\infty }\right),$ ある離散的な有限空間に対して $T.$

例

基礎となる分野の産物

仮に $X$ はベクトル空間である $\mathbb {K}$ 、どこ $\mathbb {K}$ どちらか $\mathbb {R}$ または $\mathbb {C}$ そして $T$ を任意の集合とする。 $Y:=\mathbb {K} ^{T},$ これは $\mathbb {K}$ 撮影済み $|T|$ 回、または同等に、すべてのセット $\mathbb {K}$ $T$ 上の -値関数。 $Y$ その通常の積トポロジーにより、ハウスドルフ局所凸TVSとなる。 $Y$ 拡張プロパティを持つ。^{[ 1 ]}

任意の集合に対して $T,$ Lp空間 $\displaystyle \ell ^{\infty }(T)$ 拡張プロパティとメトリック拡張プロパティの両方を持つ。

引用文献

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Narici & Beckenstein 2011、pp.341–370。
↑ Rudin 1991 、p. 40 F空間への線形写像についてのみ述べられており、証明の概要が示されている。

参考文献

ナリチ、ローレンス；ベッケンシュタイン、エドワード（2011）。位相ベクトル空間。純粋および応用数学（第2 版）。フロリダ州ボカラトン：CRC Press。ISBN 978-1584888666OCLC 144216834。
ルディン、ウォルター（ 1991）。関数解析。国際純粋応用数学シリーズ。第 8巻（第2 版）。ニューヨーク州ニューヨーク：マグロウヒル科学・工学・数学。ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277。
シェーファー、ヘルムート・H. ; ウォルフ、マンフレッド・P. (1999).位相ベクトル空間. GTM . 第 8巻（第2 版）. ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135
トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカルベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322。

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011341–370-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Narici & Beckenstein 2011、pp.341–370。

[2] Rudin 1991 、p. 40 F空間への線形写像についてのみ述べられており、証明の概要が示されている。

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定義

拡張機能

射影空間

物件

存在

結果

例

関連項目

引用文献

参考文献