モーメント問題

数学において、モーメント問題は、測度を モーメントの列に写像することを逆にしようとした結果として生じる。${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)\,.}$

より一般的には、

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }M_{n}(x)\,d\mu (x)\,.}$

任意の関数のシーケンスに対して。 ${\displaystyle M_{n}}$

古典的な設定では、は実数直線上の測度であり、は数列 です。この形式では、指定された平均、分散など を持つ確率測度が存在するかどうか、またそれが一意であるかどうかを尋ねる 質問が確率論に現れます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{x^{n}:n=1,2,\dotsc \}}$

古典的なモーメント問題には、のサポートが実数直線全体でよいハンバーガー モーメント問題、に対するスティルチェス モーメント問題、および一般性を失うことなく とみなすことができる有界区間に対するハウスドルフ モーメント問題が 3 つあります。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle [0,1]}$

モーメント問題は、ハンケル行列がテプリッツ行列に置き換えられ、 μのサポートが実数直線ではなく複素単位円になる三角モーメント問題として複素解析にも拡張されます。 ^[1]

数列は、ある正値条件が満たされる場合のみ、測度のモーメントの列となる。すなわち、ハンケル行列、 ${\displaystyle m_{n}}$${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle H_{n}}$

${\displaystyle (H_{n})_{ij}=m_{i+j}\,,}$

は半正定値でなければなりません。これは、半正定値ハンケル行列が、かつ (多項式の平方和に対して非負)となるような線型関数に対応するためです。は に拡張できると仮定します。単変数の場合、非負の多項式は常に平方和として表すことができます。したがって、線型関数は、単変数の場合のすべての非負の多項式に対して正です。ハビランドの定理により、線型関数は測度形式、つまり を持ちます。同様の形式の条件は、与えられた区間 でサポートされる測度の存在に必要かつ十分です。 ${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Lambda (x^{n})=m_{n}}$${\displaystyle \Lambda (f^{2})\geq 0}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]^{*}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle \Lambda (x^{n})=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}d\mu }$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [a,b]}$

これらの結果を証明する一つの方法は、多項式を送る 線形関数を考えることである。${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle P(x)=\sum _{k}a_{k}x^{k}}$

に

${\displaystyle \sum _{k}a_{k}m_{k}.}$

が で支えられた何らかの測度のモーメントである場合、明らかに ${\displaystyle m_{k}}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [a,b]}$

逆に、( 1 )が成り立つ場合、M.リースの拡張定理を適用して、コンパクトな台を持つ連続関数の空間上の汎関数に拡張することができる。 ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle C_{c}([a,b])}$

リースの表現定理によれば、( 2 )は上でサポートされる測度が存在し、 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \varphi (f)=\int f\,d\mu }$

すべての について。 ${\displaystyle f\in C_{c}([a,b])}$

したがって、測度の存在は（ 1 ）と同値である。上の正多項式の表現定理を用いると、（ 1）をハンケル行列の条件として再定式化することができる。 ^{[2] [3]}${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [a,b]}$

ハウスドルフモーメント問題におけるの一意性は、上の連続関数の空間において多項式が一様ノルムの下で稠密であると述べるワイエルシュトラスの近似定理に従う。無限区間上の問題の場合、一意性はより微妙な問題である。^[4]対数正規分布などの分布は、すべての正の整数に対して有限のモーメントを持ちますが、他の分布は同じモーメントを持ちます。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle [0,1]}$

解が存在する場合、それはディラックのデルタ関数の導関数を使用して次のように 正式に記述できる。

${\displaystyle d\mu (x)=\rho (x)dx,\quad \rho (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\delta ^{(n)}(x)m_{n}}$。

この式は、特性関数の逆フーリエ変換をとることによって導出できます。

重要なバリエーションとして、最初のkモーメントを固定した測度（有限のkに対して）の特性を調べる切断モーメント問題があります。切断モーメント問題の結果は、極値問題、最適化、確率論における極限定理など、数多くの応用があります。^[3]

モーメント問題は確率論にも応用されており、一般的には次のようなものが用いられる: ^[5]

カールマンの条件を確認すると、標準正規分布が決定的な測度であることがわかり、中心極限定理は次の形式になります。

• カールマン病
• ハンバーガーモーメント問題
• ハンケル行列
• ハウスドルフモーメント問題
• モーメント（数学）
• スティルチェスモーメント問題
• 三角モーメント問題

• ショーハット、ジェームズ・アレクサンダー;タマルキン、ジェイコブ・D. (1943)。モーメントの問題。ニューヨーク：アメリカ数学協会。ISBN 978-1-4704-1228-9。
• Akhiezer, Naum I. (1965)。「古典モーメント問題と解析におけるいくつかの関連問題」ニューヨーク: Hafner Publishing Co.（ロシア語からN.ケマーによる翻訳）
• Kreĭn, MG; Nudel′man, AA (1977).マルコフモーメント問題と極値問題. 数学モノグラフの翻訳. プロビデンス、ロードアイランド: アメリカ数学協会. doi :10.1090/mmono/050. ISBN 978-0-8218-4500-4. ISSN  0065-9282.
• Schmüdgen, Konrad (2017).モーメント問題. 大学院数学テキスト. 第277巻. 出版社: Springer International Publishing. doi :10.1007/978-3-319-64546-9. ISBN 978-3-319-64545-2. ISSN  0072-5285.