バランスのとれたセット

線形代数および関連する数学の分野 において、バランス集合、円集合、またはベクトル空間（絶対値関数を持つ体上）の円板は、すべてのスカラーが ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle aS\subseteq S}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$

集合のバランスのとれた殻またはバランスのとれた包絡線は、集合に含まれる最小のバランスのとれた集合であり、集合のバランスのとれた核 は、集合に含まれる最大のバランスのとれた集合である。${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

バランス集合は関数解析において遍在する。なぜなら、あらゆる位相ベクトル空間(TVS)における原点のあらゆる近傍には原点のバランス集合が含まれ、原点のあらゆる凸近傍には原点のバランス集合の凸近傍が含まれるからである (TVS が局所的に凸でなくても)。この近傍は開集合または閉集合として選択することもできる。

を実数体または複素数体上のベクトル空間とします。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

表記

が集合で、がスカラーであるとき、任意のに対して、およびととを それぞれ、半径が の開球と閉球を表すものとし 、ここで、およびを中心とするスカラー場の閉球を表すものとする。 場のあらゆるバランスのとれた部分集合は、何らかのに対して、またはの形をとる。${\displaystyle S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle B\subseteq \mathbb {K} }$${\displaystyle aS=\{as:s\in S\}}$${\displaystyle BS=\{bs:b\in B,s\in S\}}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty ,}$$${\displaystyle B_{r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|<r\}\qquad {\text{ かつ }}\qquad B_{\leq r}=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq r\}.}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle B_{0}=\varnothing ,B_{\leq 0}=\{0\},}$${\displaystyle B_{\infty }=B_{\leq \infty }=\mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle B_{\leq r}}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty .}$

バランスのとれたセット

のサブセットは${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$バランスのとれたセット、またはバランスがとれているとは、次の同等の条件のいずれかを満たす場合です。

1. 定義:すべておよびすべてのスカラーが満たす${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$
2. ${\displaystyle aS\subseteq S}$を満たすすべてのスカラーについて${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1.}$
3. ${\displaystyle B_{\leq 1}S\subseteq S}$（どこ）。${\displaystyle B_{\leq 1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|\leq 1\}}$
4. ${\displaystyle S=B_{\leq 1}S.}$^[1]
5. すべての${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq 1}(S\cap \mathbb {K} s).}$
   • ${\displaystyle \mathbb {K} s=\operatorname {span} \{s\}}$は、（ の場合）または（ の場合）次元ベクトル部分空間である。${\displaystyle 0}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle s\neq 0}$${\displaystyle X.}$
   • すると、上記の等式は となり、これは集合が均衡であるための前述の条件とまったく同じです。したがって、 は、すべての に対して が均衡集合である場合に限り均衡となります(前述の定義条件のいずれかに従って)。${\displaystyle R:=S\cap \mathbb {K} s}$${\displaystyle R=B_{\leq 1}R,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s}$
6. のすべての 1 次元ベクトル部分空間は、（この定義条件以外の任意の定義条件に従って）バランスの取れた集合です。${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$ ${\displaystyle S\cap Y}$
7. 任意のに対して、または${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle 0\leq r\leq \infty }$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{r}s}$${\displaystyle S\cap \mathbb {K} s=B_{\leq r}s.}$
8. ${\displaystyle S}$は、（これ以外の「バランスの取れた」の定義条件に従って） バランスの取れたサブセットです。${\displaystyle \operatorname {span} S}$
   • したがって、が のバランスのとれた部分集合である場合、かつそれが を含む体上の任意の（同値で、いくつかの）ベクトル空間のバランスのとれた部分集合である場合に限ります。したがって、体の内容が文脈から明らかであると仮定すると、ベクトル空間について言及せずに「 はバランスがとれている」と書くことが正当化されます。^{[注 1]}${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle S.}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle S}$

が凸集合である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle S}$

9. ${\displaystyle aS\subseteq S}$^[2]を満たすすべてのスカラーに対して${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|=1.}$

その場合、このリストは次のように拡張される可能性があります: ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} }$

10. ${\displaystyle S}$対称的（つまり）であり、${\displaystyle -S=S}$${\displaystyle [0,1)S\subseteq S.}$

$${\displaystyle \operatorname {bal} S~=~\bigcup _{|a|\leq 1}aS=B_{\leq 1}S}$$

ので表されるのサブセットのバランスのとれた包は、次のいずれかの同等の方法で定義されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {bal} S,}$

1. 定義:は、を含む最小の（ に関して）バランスのとれた部分集合です。${\displaystyle \operatorname {bal} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {bal} S}$は、以下を含むすべてのバランスのとれた集合の共通部分である。${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=\bigcup _{|a|\leq 1}(aS).}$
4. ${\displaystyle \operatorname {bal} S=B_{\leq 1}S.}$^[1]

$${\displaystyle \operatorname {balcore} S~=~{\begin{cases}\displaystyle \bigcap _{|a|\geq 1}aS&{\text{ if }}0\in S\\\varnothing &{\text{ if }}0\not \in S\\\end{cases}}}$$

ので表されるのサブセットのバランスのとれたコアは、次のいずれかの同等の方法で定義されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S,}$

1. 定義：は、 の最大の（ に関して）バランスの取れた部分集合です。${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S}$は、すべてのバランスの取れた部分集合の和集合である。${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\varnothing }$もしも、もしも${\displaystyle 0\not \in S}$${\displaystyle \operatorname {balcore} S=\bigcap _{|a|\geq 1}(aS)}$${\displaystyle 0\in S.}$

空集合はバランスの取れた集合です。任意の（実数または複素数）ベクトル空間の任意のベクトル部分空間も同様です。特に、は常にバランスの取れた集合です。 ${\displaystyle \{0\}}$

原点を含まない空でない集合はバランスが取れておらず、さらに、そのような集合のバランスの取れたコアは空集合と等しくなります。

ノルムベクトル空間と位相ベクトル空間

ノルムベクトル空間内の原点を中心とする開いた球と閉じた球は、バランスの取れた集合です。 がベクトル空間上の半ノルム（またはノルム）である場合、任意の定数に対して集合はバランスが取れています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c>0,}$${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq c\}}$

が任意の部分集合である場合、はバランスのとれた集合である。特に、が位相ベクトル空間における原点の任意のバランスのとれた近傍である場合、${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B_{1}:=\{a\in \mathbb {K} :|a|<1\}}$${\displaystyle B_{1}S}$${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}U~\subseteq ~B_{1}U~=~\bigcup _{0<|a|<1}aU~\subseteq ~U.}$$

バランスセットと${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

を実数体または複素数体とし、を上の絶対値を表し、を上のベクトル空間を表すものとします。したがって、たとえば、 が複素数体である場合、 は1 次元の複素ベクトル空間ですが、である場合、は 1 次元の実ベクトル空間です。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle \mathbb {K} ,}$${\displaystyle X:=\mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} .}$${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {C} }$${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {K} :=\mathbb {R} }$${\displaystyle X=\mathbb {K} =\mathbb {R} }$

のバランスの取れた部分集合は次のようになる: ^[3]${\displaystyle X=\mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle \varnothing }$
2. ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \{0\}}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:|x|<r\}}$本当の意味で${\displaystyle r>0}$
5. ${\displaystyle \{x\in X:|x|\leq r\}}$本当の意味で${\displaystyle r>0.}$

その結果、すべてのスカラー セットのバランスの取れたコアとバランスの取れたハルは、上記のセットのいずれかに等しくなります。

バランスの取れた集合は、それ自身、空集合、およびゼロを中心とする開いた円盤と閉じた円盤です。対照的に、2 次元ユークリッド空間には、より多くのバランスの取れた集合が存在します。つまり、原点を中点とする任意の線分が適しています。その結果、スカラー乗算に関する限り、とはまったく異なります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

バランスセット${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

全体を通して、（したがっては 上のベクトル空間）とし、 は原点を中心とする 内 の閉じた単位球とします。${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle B_{\leq 1}}$${\displaystyle X}$

がゼロでない場合、集合はの原点の閉じた対称でバランスのとれた近傍になります。より一般的には、が の任意の閉じた部分集合で、が の原点の閉じた対称でバランスのとれた近傍になる場合、この例は任意の整数に対してに一般化できます。${\displaystyle x_{0}\in X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle L:=\mathbb {R} x_{0},}$${\displaystyle R:=B_{\leq 1}\cup L}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (0,1)C\subseteq C,}$${\displaystyle S:=B_{\leq 1}\cup C\cup (-C)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle n\geq 1.}$

を、点と点の間の線分と、点と点の間の線分の和集合とします。このとき、はバランスが取れていますが凸ではありません。 も吸収的です( はベクトル空間全体である にもかかわらず)。${\displaystyle B\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (0,-1)}$${\displaystyle (0,1).}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \operatorname {span} B=\mathbb {R} ^{2}}$

あらゆる に対して、は任意の正の実数、 は点と の間の（開線または閉線）線分とします。この場合、集合は平衡かつ吸収集合ですが、必ずしも凸集合であるとは限りません。 ${\displaystyle 0\leq t\leq \pi ,}$${\displaystyle r_{t}}$${\displaystyle B^{t}}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$${\displaystyle -(\cos t,\sin t).}$${\displaystyle B=\bigcup _{0\leq t<\pi }r_{t}B^{t}}$

閉集合の平衡包は必ずしも閉じている必要はない。例えば、${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}.}$

次の例は、凸集合の平衡包が凸にならない場合があることを示しています (ただし、平衡集合の凸包は常に平衡です)。 たとえば、凸部分集合を とし、これはの軸の上にある水平の閉じた線分です。平衡包は、非凸部分集合で、「砂時計型」であり、2 つの閉じた塗りつぶされた二等辺三角形と の和集合に等しくなります。ここで、と は、頂点が原点と の端点を合わせたものである塗りつぶされた三角形です(言い換えると、は の凸包であり、 はの凸包です)。 ${\displaystyle S:=[-1,1]\times \{1\},}$${\displaystyle x-}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle \operatorname {bal} S}$ ${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2},}$${\displaystyle T_{2}=-T_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle S\cup \{(0,0)\}}$${\displaystyle T_{2}}$${\displaystyle (-S)\cup \{(0,0)\}}$

セットがバランスの取れた状態になるのは、バランスの取れたハルまたはバランスの取れたコアと等しい場合のみです。バランスの取れたコアと等しい場合は、次の 3 つのセットはすべて等しくなります。${\displaystyle T}$${\displaystyle \operatorname {bal} T}$${\displaystyle \operatorname {balcore} T,}$${\displaystyle T=\operatorname {bal} T=\operatorname {balcore} T.}$

バランスの取れた集合の族の直積は、対応するベクトル空間の積空間（同じ体上）でバランスが取れています。 ${\displaystyle \mathbb {K} }$

• コンパクトな（それぞれ、完全に有界な、有界な）集合のバランスのとれた包は同じ性質を持つ。^[4]
• 均衡集合の凸包は凸かつ均衡です（つまり、絶対的に凸です）。ただし、凸集合の均衡包は凸ではない場合があります（反例が上記に示されています）。
• バランスの取れた集合の任意の和集合はバランスが取れており、バランスの取れた集合の任意の積集合についても同様です。
• バランスのとれた集合のスカラー倍数と（有限の）ミンコフスキー和は再びバランスがとれます。
• 線型写像による平衡集合の像と逆像は再び平衡になります。明示的には、 が線型写像で、と が平衡集合である場合、と は平衡集合になります。${\displaystyle L:X\to Y}$${\displaystyle B\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Y}$${\displaystyle L(B)}$${\displaystyle L^{-1}(C)}$

任意の位相ベクトル空間において、平衡集合の閉包は平衡である。^[5]平衡集合の原点と位相内部との和集合は平衡である。したがって、原点の平衡近傍の位相内部は平衡である。^{[5] [証明 1]}しかし、 は原点を含むの平衡部分集合であるが、その (空でない) 位相内部には原点が含まれず、したがって平衡集合ではない。^[6]同様に、実ベクトル空間について、が の凸包を表し、(これらの 3 点を頂点とする塗りつぶされた三角形) を表す場合、 は の(砂時計型の) 平衡部分集合であり、その空でない位相内部には原点が含まれず、したがって平衡集合ではない (原点を加えて形成される集合は平衡であるが、開集合でも原点の近傍でもない)。 ${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \left\{(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}:|z|\leq |w|\right\}}$${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle (0,0)\in X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (\pm 1,1)}$${\displaystyle B:=T\cup (-T)}$${\displaystyle X:=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \{(0,0)\}\cup \operatorname {Int} _{X}B}$

位相ベクトル空間 における原点のすべての近傍（それぞれ凸近傍）には、原点のバランスの取れた（それぞれ凸かつバランスの取れた）開近傍が含まれます。実際、次の構成により、このようなバランスの取れた集合が生成されます。対称集合が与えられ、これが に対して成り立つときはいつでも、は凸（それぞれ、閉じた、バランスの取れた、有界な、原点の近傍、の吸収部分集合）になります。 が原点で星型である場合、それはバランスの取れた集合になります。 ^{[注 2]}これは、たとえばが凸で を含む場合、真になります。特に、が原点の凸近傍である場合、 は原点のバランスの取れた凸近傍になり、そのためその位相的な内部は原点のバランスの取れた凸開近傍になります。^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle W\subseteq X,}$ ${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW\subseteq W}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 0.}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$

が の凸かつ吸収部分集合であると仮定すると、 はの凸平衡吸収部分集合となり、これにより のミンコフスキー関数が 上の半ノルムになることが保証され、それにより は標準擬似測度化可能位相を保持する半ノルム空間になります。上の範囲(または を極限点として持つ他の任意の非ゼロのスカラー集合上)としてのスカラー倍数の集合は、この局所凸位相の原点で吸収ディスクの近傍基を形成します。 が位相ベクトル空間であり、この凸吸収部分集合が の有界部分集合でもある場合、同じことが吸収ディスクにも当てはまります。さらに が非自明なベクトル部分空間を含まない場合、 はノルムとなり、補助ノルム空間と呼ばれるものを形成します。^[7] このノルム空間がバナッハ空間である場合、 はバナッハディスクと呼ばれます。 ${\displaystyle W}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle D:=\bigcap _{|u|=1}uW}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p_{D}:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle rD}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle W}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle D:={\textstyle \bigcap \limits _{|u|=1}}uW;}$${\displaystyle D}$${\displaystyle p_{D}}$${\displaystyle \left(X,p_{D}\right)}$${\displaystyle D}$

バランス集合の特性

バランスのとれた集合が空でないのは、原点が含まれている場合のみです。定義により、集合が絶対凸となるのは、凸かつバランスがとれている場合のみです。すべてのバランスのとれた集合は星形(0 において) で、対称集合です。がのバランスのとれた部分集合である場合、次のようになります。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$

• 任意のスカラーに対して、かつ の場合、かつ したがっておよびが任意のスカラーである場合、${\displaystyle c}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle |c|\leq |d|}$${\displaystyle cB\subseteq dB}$${\displaystyle cB=|c|B.}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle (cB)\cap (dB)=\min _{}\{|c|,|d|\}B.}$
• ${\displaystyle B}$が吸収されるのは、すべてのに対して、次のものが存在する場合のみである^[2]${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in rB.}$
• 集合の任意の1次元ベクトル部分空間は凸かつ平衡である。が空でなく、がの1次元ベクトル部分空間である場合、はどちらかであり、そうでなければ吸収である。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \operatorname {span} B}$${\displaystyle B\cap Y}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle Y.}$
• 任意の に対して、が複数の点を含む場合、この空間にハウスドルフユークリッド位相が備わっているとき、それは1 次元ベクトル空間内の の凸かつ均衡な近傍です。また、集合 は原点を含む実ベクトル空間の凸均衡な部分集合です。${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle B\cap \operatorname {span} x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \operatorname {span} x}$ ${\displaystyle B\cap \mathbb {R} x}$${\displaystyle \mathbb {R} x}$

バランスのとれた船体とバランスのとれたコアの特性

任意のサブセットの集合に対して${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$ $${\displaystyle \operatorname {bal} \left(\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcup _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {bal} S\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {balcore} \left(\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}S\right)=\bigcap _{S\in {\mathcal {S}}}\operatorname {balcore} S.}$$

任意の位相ベクトル空間において、原点の任意の開近傍の平衡包は再び開包となる。がハウスドルフ位相ベクトル空間であり、がのコンパクト部分集合である場合、の平衡包はコンパクトである。^[8]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$

集合が閉じている場合（それぞれ、凸、吸収、原点の近傍）、そのバランスの取れたコアについても同じことが当てはまります。

任意の部分集合と任意のスカラー${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \operatorname {bal} (c\,S)=c\operatorname {bal} S=|c|\operatorname {bal} S.}$

任意のスカラーに対してこの等式は成立する の場合に限り成立する したがっての場合または の場合に限り成立する${\displaystyle c\neq 0,}$ ${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S.}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle S\subseteq \{0\}.}$${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle S=\varnothing }$$${\displaystyle \operatorname {balcore} (c\,S)=c\operatorname {balcore} S=|c|\operatorname {balcore} S}$$${\displaystyle c.}$

実数または複素数ベクトル空間上の関数は、${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$バランスのとれた関数とは、以下の同等の条件のいずれかを満たす関数である。^[9]

1. ${\displaystyle p(ax)\leq p(x)}$がスカラーであり、${\displaystyle a}$${\displaystyle |a|\leq 1}$${\displaystyle x\in X.}$
2. ${\displaystyle p(ax)\leq p(bx)}$とがスカラーであり、${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle |a|\leq |b|}$${\displaystyle x\in X.}$
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq t\}}$は、すべての非負実数に対してバランスのとれた集合である。${\displaystyle t\geq 0.}$

が釣り合いのとれた関数である場合、すべてのスカラーとベクトルに対してが成り立ちます 。特に、すべての単位長さのスカラー（ を満たす）とすべての^[9]に対して が成り立ちます。 を使用すると、すべての釣り合いのとれた関数は対称関数であることが示されます。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p(ax)=p(|a|x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x\in X;}$${\displaystyle p(ux)=p(x)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle |u|=1}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle u:=-1}$

実数値関数が半ノルムとなるのは、それがバランスのとれた部分線形関数である場合のみです。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達するために「膨らませる」ことができるセット
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分である集合
• スタードメイン – ユークリッド空間における点集合の性質
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

証明

• ブルバキ、ニコラス(1987) [1981]。位相ベクトル空間: 第 1 章から第 5 章まで。数学的要素。エグルストン、HG による翻訳。マダン、サウス・ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-13627-4. OCLC  17499190.
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