M. リース拡張定理

M.リースの拡張定理は、数学における定理であり、マルセル・リース^[1]がモーメント問題の研究中に証明した。^[2]

を実ベクトル空間、をベクトル部分空間、を凸錐とします。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F\subset E}$${\displaystyle K\subset E}$

線形関数は 、円錐上で負でない値のみを取る場合、-正と呼ばれます。 ${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in F\cap K.}$

線形関数は、の定義域でと同一であり、円錐 内のすべての点に対して少なくとも 0 の値を返す場合、の-正拡張と呼ばれます。 ${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{and}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{for}}\quad x\in K.}$

一般に、上の -正の線形関数は上の -正の線形関数に拡張できません。 すでに 2 次元で反例が得られます。と を-軸とします。 正の関数は上の正の関数に拡張できません。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle F}$${\displaystyle K}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x,0)=x}$${\displaystyle E}$

しかし、拡張は、任意のに対して、${\displaystyle E\subset K+F,}$${\displaystyle y\in E,}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle yx\in K.}$

この証明はハーン・バナッハの定理の証明と似ています（下記も参照）。

超限帰納法またはゾルンの補題により、 dim の場合を考えれば十分です 。 ${\displaystyle E/F=1}$

いずれかを選択してください。設定 ${\displaystyle y\in E\setminus F}$

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ yx\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,xy\in K\,\}.}$

以下で であることを証明します。今のところ、 を満たす任意の を選び、 、 と設定し、線形性によってのすべてに拡張します。 が -正であることを示す必要があります。 と仮定します。すると、、または 、およびに対してのいずれかになります。 の場合、になります。残りの最初のケース では、 となり、 ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a\leq c\leq b}$${\displaystyle \psi (y)=c}$${\displaystyle \psi |_{F}=\phi }$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle K}$${\displaystyle z\in K}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=p(x+y)}$${\displaystyle z=p(xy)}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \psi (z)>0}$${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

定義上は

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

2番目のケースでは、であり、同様に ${\displaystyle xy\in K}$

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

定義上、

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (xy)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

すべての場合において、であり、したがって-正です。 ${\displaystyle \psi (z)>0}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle K}$

ここで、 を証明します。仮定により、となる が少なくとも 1 つ存在し、したがって となることに注意してください。しかし、となる が存在しない場合もあります。その場合、不等式は自明です (この場合、上記の 3 番目のケースは発生しないことに注意してください)。したがって、 となり、 となる が少なくとも 1 つ存在すると仮定できます。不等式を証明するには、および、およびのときはいつでも となることを示せば十分です。実際、 ${\displaystyle -\infty <a\leq b}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle yx\in K}$${\displaystyle -\infty <a}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle xy\in K}$${\displaystyle b=\infty}$${\displaystyle b<\infty}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle xy\in K}$${\displaystyle x\in F}$${\displaystyle yx\in K}$${\displaystyle x'\in F}$${\displaystyle x'-y\in K}$${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

は凸錐なので 、${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

は-正なので。 ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K}$

E を実線 型空間とし、K ⊂ E を凸錐とする。  x  ∈ E / (− K ) が R x + K = E となるものとする。 すると 、 K正線型 汎 関数 φ  :  E → Rが存在し 、  φ  ( x ) > 0となる。

ハーン・バナッハの定理は、M. リースの拡張定理から導き出すことができます。

V を線型空間とし、N をV上の部分線型関数とする。φ をNが支配する部分空間U  ⊂  V上の関数とする。

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

ハーン・バナッハの定理は、φ がNによって支配されるV上の線型関数に拡張できることを主張しています。

これをM.リースの拡張定理から導くには、凸錐K  ⊂  R × Vを次のように 定義する。

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

R × U上の関数φ _{1 を}次のように 定義する。

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

φ _{1 は}K正であり、K  + ( R  ×  U ) =  R  ×  Vであることがわかります。したがって、φ _{1 は}R × V上のK正関数ψ ₁に拡張できます。すると、

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

はφの望ましい拡張である。実際、ψ ( x ) >  N ( x ) ならば、 ( N ( x ),  x ) ∈  Kとなるが、

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

矛盾が生じます。

• Castillo, Reńe E. (2005)、「Krein の定理に関する注記」(PDF)、Lecturas Matematicas、 26、2014 年 2 月1日にオリジナル(PDF)からアーカイブ、 2014 年 1 月 18 日に取得
• Riesz, M. (1923)、「Sur le problème des moments. III.」、Arkiv for Matematik、Astronomi och Fysik (フランス語)、17 (16)、JFM  49.0195.01
• Akhiezer, NI (1965)、「古典モーメント問題と解析におけるいくつかの関連する問題」、ニューヨーク：Hafner Publishing Co.、MR  0184042