単位ベクトル

単位ベクトルは、デカルト座標系の軸を表すために使用できます。たとえば、3次元デカルト座標系のx、y、z軸の方向の標準単位ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

これらは互いに直交する単位ベクトルの集合を形成し、線形代数では一般的に標準基底と呼ばれます。

これらは、一般的なベクトル表記法（例：xまたは${\displaystyle {\vec {x}}}$) 標準単位ベクトル表記 (例: x̂ )ではなく。ほとんどの場合、x、y、z、(または${\displaystyle {\vec {x}},}$${\displaystyle {\vec {y}},}$そして${\displaystyle {\vec {z}}}$) は 3 次元直交座標系の versors です。表記 ( î , ĵ , k̂ )、( x̂ ₁ , x̂ ₂ , x̂ ₃ )、( ê _x , ê _y , ê _z )、または ( ê ₁ , ê ₂ , ê ₃ ) は、ハットの有無にかかわらず使用されます。^{[ 1 ]}特に、 i、j、k が他の量 (たとえば、変数のセット、配列、またはシーケンスの要素を識別するために使用されるi、j、kなどのインデックス記号)と混同される可能性があるコンテキストで使用されます。

空間内の単位ベクトルをデカルト座標系でx、y、zの線形結合として表すと、その 3 つのスカラー成分は方向余弦と呼ばれます。各成分の値は、単位ベクトルとそれぞれの基底ベクトルがなす角度の余弦に等しくなります。これは、直線、直線の線分、方向付けられた軸、または方向付けられた軸の線分 (ベクトル) の向き(角度位置) を記述するために使用される方法の 1 つです。

円筒対称性に適した3つの直交単位ベクトルは次のとおりです。

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$（また指定される）${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$または${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}$）、これは、その点から対称軸までの距離を測定する方向を表します。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$は、その点が対称軸を中心に反時計回りに回転した場合に観測される運動の方向を表します。
• ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$は対称軸の方向を表す。

これらはデカルト座標系に関連している${\displaystyle {\hat {x}}}$、${\displaystyle {\hat {y}}}$、${\displaystyle {\hat {z}}}$による：

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

ベクトル${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$関数${\displaystyle \varphi ,}$また、方向は一定ではありません。円筒座標で微分または積分する場合、これらの単位ベクトル自体にも演算を行う必要があります。${\displaystyle \varphi }$は：

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

球対称に適した単位ベクトルは以下のとおりです。${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$、原点からの半径方向距離が増加する方向。${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$、 x - y平面において正のx軸から反時計回りに角度が増加する方向。${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$正のz軸からの角度が増加する方向。表現の冗長性を最小限に抑えるため、極角${\displaystyle \theta }$は通常、0度から180度の間にあるとみなされます。球面座標で記述された順序付きトリプレットのコンテキストに注意することは特に重要です。${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$そして${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$しばしば逆になります。ここでは、アメリカの「物理学」の慣例^{[ 3 ]}が用いられます。これにより方位角が残ります。${\displaystyle \varphi }$円筒座標系と同様に定義される。デカルト座標系における関係式は以下のとおりである。

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

球面単位ベクトルは両方に依存する${\displaystyle \varphi }$そして${\displaystyle \theta }$したがって、非ゼロの導関数は5つ存在する。より詳細な説明については、ヤコビ行列と行列式を参照のこと。非ゼロの導関数は以下のとおりである。

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

単位ベクトルの共通のテーマは物理学と幾何学全体に現れます: ^{[ 4 ]}