フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理
	ディオファントスの『算術』 1670年版には、フェルマーの「最終定理」( Observatio Domini Petri de Fermat )と呼ばれる解説が含まれており、フェルマーの死後に息子によって出版された。
分野	数論
声明	任意の整数n > 2に対して、方程式a n + b n = c nには正の整数解が存在しません。
最初に述べたのは	ピエール・ド・フェルマー
最初に述べられたのは	1637年頃
最初の証明	アンドリュー・ワイルズ
最初の証明	1994年リリース; 1995年出版
暗示される	効果的なABC予想; 効果的な修正スピロ予想; モジュラリティ定理;
一般化	ビール予想; フェルマー・カタラン予想;

数論において、フェルマーの最終定理（古い文献ではフェルマー予想と呼ばれることもある）は、3つの正の整数 $a$ 、 $b$ 、 $cは$ $、$ $nが2より大きい任意の整数値に対して、方程式an$ $+$ bn = cnを満たさないと $述べている。n = 1$ $と$ $n$ = $2$ $の$ $場合$ 、無限に多くの解があることは古代から知られている。^[1]

この命題は、1637年頃にピエール・ド・フェルマーが『算数論』の余白に定理として初めて述べたものである。フェルマーは、余白に入りきらないほど長い証明があると付け加えている。フェルマーが証明なしに主張した他の主張はその後他の人によって証明され、フェルマーの定理とされたが（例えば、2つの平方数の和に関するフェルマーの定理）、フェルマーの最終定理は証明が難しく、フェルマーが正しい証明をしたかどうか疑問視されることになった。その結果、この命題は定理というよりは予想として知られるようになった。数学者による358年にわたる努力の末、 1994年にアンドリュー・ワイルズによって最初の証明が発表され、1995年に正式に出版されました。これは、 2016年のワイルズのアーベル賞受賞の引用文で「驚くべき進歩」と評されました。 ^{[2]また、この証明は、後に}モジュラリティ定理として知られる谷山・志村予想の大部分を証明し、他の多くの問題に対するまったく新しいアプローチや、数学的に強力なモジュラリティ解除技術の道を拓きました。

この未解決問題は、19世紀と20世紀における代数的整数論の発展を刺激した。これは数学史上最も注目すべき定理の一つであり、証明される前は「最も難しい数学の問題」としてギネスブックに掲載されていた。これは、この定理が最も多くの証明失敗を抱えていたためでもある。^[3]

概要

ピタゴラスの起源

ピタゴラス方程式x 2 ⁺ y 2 ⁼ z 2^には、 x、y、zの正の整数解が無数に存在する。これらの解はピタゴラス数列として知られている（最も単純な例は 3、4、5）。1637 年頃、フェルマーは本の余白に、より一般的な方程式a ⁿ + b ⁿ = c ⁿは、 nが 2 より大きい整数である場合、正の整数に解が存在しないと記している。フェルマーは自分の予想の一般的な証明があると主張したが、証明の詳細は残しておらず、彼による証明はこれまで発見されていない。彼の主張は、彼の死後約 30 年後に発見された。フェルマーの最終定理として知られるようになったこの主張は、その後 3 世紀半にわたって未解決のままであった。^[4]

この主張は、最終的に数学における最も注目すべき未解決問題の一つとなった。これを証明しようとする試みは数論の大きな発展を促し、時が経つにつれてフェルマーの最終定理は数学における未解決問題として注目を集めるようになった。

その後の展開と解決策

フェルマー自身が証明した $n = 4 という$ 特殊なケースは、素数でない指数 nに対して定理が偽であるならば、より小さなnに対しても定理が偽であるはずであることを証明するのに十分であり、したがって素数のnについてのみさらなる調査が必要である。^{[注 1]}次の2世紀 (1637–1839) にわたって、この予想は素数 3、5、および 7 に対してのみ証明されたが、ソフィー・ジェルマンは素数の全クラスに関連するアプローチを革新して証明した。19世紀半ば、エルンスト・クンマーはこれを拡張し、すべての正素数に対して定理を証明し、不規則な素数は個別に分析されるようにした。クンマーの研究を基に、他の数学者たちは高度なコンピュータ研究を用いて、400万までのすべての素指数をカバーするように証明を拡張することができたが^[5]、すべての指数に対する証明は不可能であった（つまり、数学者は一般的に証明を不可能、非常に困難、または現在の知識では達成不可能であると考えていた）。^[6]

一方、1955年頃、日本の数学者志村五郎と谷山豊は、楕円曲線とモジュラー形式という全く異なる数学の分野の間に何らかの関連があるのではないかと考えていた。当時は谷山・志村予想（後にモジュラー定理）として知られていたこの予想は、フェルマーの最終定理とは明らかに関連がなく、独自のものであった。この予想はそれ自体が意義深く重要であると広く考えられていたが、フェルマーの定理と同様に、完全に証明不可能であると広く考えられていた。^[7]

1984年、ゲルハルト・フライは、これまで無関係で未解決だったこれら2つの問題の間に明らかなつながりがあることに気づいた。フライは、これを証明できることを示す概要を示した。2つの問題が密接に関連していることの完全な証明は、ジャン＝ピエール・セールの部分的な証明を基に、 1986年にケン・リベットによって達成された。セールは、「イプシロン予想」として知られる一部を除いてすべてを証明した（リベットの定理とフライ曲線を参照）。^[2]フライ、セール、リベットのこれらの論文は、谷山＝志村予想が少なくとも半安定な楕円曲線のクラスに対して証明できれば、フェルマーの最終定理の証明も自動的に導かれることを示した。そのつながりは以下で説明するとおり、フェルマーの最終定理に反する可能性のある解は、谷山＝志村予想に反する解としても使用できる。したがって、モジュラリティ定理が正しいと判明した場合、定義によりフェルマーの最終定理に矛盾する解は存在できず、したがってフェルマーの最終定理も正しくなければなりません。

どちらの問題も難解で、当時は「証明がまったく不可能」と広く考えられていたが、^[2]これはフェルマーの最終定理を拡張して、一部の数だけでなくすべての数に対して証明できる方法の最初の提案であった。フェルマーの最終定理とは異なり、谷山・志村予想は主要な研究分野であり、現代数学の手の届く範囲にあると考えられていた。^[8]しかし、一般的な意見は、これは谷山・志村予想を証明することの非実用性を示しただけであった。^[9]数学者ジョン・コーツの引用された反応は一般的なものであった。^[9]

私自身は、フェルマーの最終定理と谷山・志村予想の美しいつながりが実際に何かにつながるかどうかについて非常に懐疑的でした。なぜなら、谷山・志村予想は証明できるとは思っていなかったからです。この問題は美しいものの、実際に証明するのは不可能に思えました。私は、生きているうちに証明されるのを見ることはないだろうと思っていました。

リベットがフレイのリンクが正しいことを証明したことを聞いて、子供の頃にフェルマーの最終定理に魅了され、楕円曲線や関連分野の研究経験を持つイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、フェルマーの最終定理を証明する方法として谷山・志村予想を証明しようと決心した。1993年、この問題に6年間秘密裏に取り組んだ後、ワイルズはフェルマーの最終定理を証明するのに十分な予想を証明することに成功した。ワイルズの論文はサイズも範囲も膨大だった。査読中に元の論文の一部に欠陥が見つかり、解決にはさらに1年を要し、元学生のリチャード・テイラーとの共同作業が必要だった。その結果、1995年の最終証明には、固定手順が有効であることを示す小規模な共同論文が添付された。ワイルズの業績は一般紙で広く報道され、書籍やテレビ番組で普及した。谷山・志村・ヴェイユ予想の残りの部分は、現在では証明されモジュラリティ定理として知られているが、その後、1996年から2001年の間にワイルズの研究を基に他の数学者によって証明された。 ^[10]^[11]^{[12]ワイルズはその証明により栄誉を受け、2016年の}アーベル賞を含む数々の賞を受賞した。^[13]^[14]^[15]

定理の同等の記述

フェルマーの最終定理を述べるには、問題の元の表現と数学的に同等ないくつかの代替方法があります。

これらを述べるために、次の表記法を使用します。 $N を$ 自然数 1、2、3、... の集合、 $Z を整数 0、\pm$ $1$ 、±2、... の集合、 $Q を$ 有理数 $a / b$ の集合とします。ここで、 $a$ と $b は$ $Z$ に含まれ、 b ≠ 0 です。 $以下$ では、 $x$ 、 $y$ 、または $z$ の 1 つ以上がゼロである $x$ $n$ $+$ $y$ $n$ $=$ $z$ $n$ の解を自明解と呼びます。3 つすべてがゼロでない解を非自明解と呼びます。

比較のために、元の定式から始めます。

$元の$ ステートメント。n 、 $x$ 、 $y$ 、 $z\inN$ （つまり、n、x、y、z $は$ すべて正の整数）かつ $n$ $>$ $2$ の場合、方程式 $xn$ $+$ $yn$ $=$ $zn$ $に$ $は$ 解が存在しません。

この主題に関する最も一般的な説明では、このように述べられています。Zについても一般的に $次$ のように述べられています。^[16]

同等のステートメント 1: $x n + y n = z n$ （整数 $n$ ≥ 3）には、非自明な解 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ∈ $Z$ は存在しません。

$n$ が偶数の場合、同値性は明らかです。 $nが奇数で、$ $x 、 y 、 z$ の 3 つすべてが負の場合、 $x 、 y 、 z$ $を- x 、 - y 、 - z$ に置き換えて $N$ の解を得ることができます。そのうちの 2 つが負の場合、 $x$ と $z$ または $y$ と $z$ でなければなりません。 $x 、 z$ が負で、 $yが正の場合、$ $(- z) n + y n = (- x ) n となるように並べ替えることができ、 N の解が得られます。他のケースも同様に処理されます。ここで、 1 つだけが負の場合、 x または y でなければなりません。 x が負で、 y と z が正の場合、 (- x) n$ + $z$ n $=$ y $n$ となる $よう$ に $並べ$ 替える $こと$ $ができ、これも N の解になり$ ます $。$ y $が$ 負の場合、結果は対称的になります。したがって、すべてのケースで、 $Z$ の非自明な解は、問題の元の定式化である $N$ にも解が存在することを意味します。

同等のステートメント 2: $x n + y n = z n$ （整数 $n \geq 3 ）$ には、非自明な解 $x 、 y 、 z \in Q$ は存在しません。

$これは、 x 、 y 、$ $z$ の指数が ( $n$ に) 等しいため、 $Q$ に解がある場合、適切な共通分母を掛け合わせると Z の解が得られ、 $したがって$ N の $解$ も得られるからです。

同等のステートメント3: $x n + y n = 1$ （整数 $n \geq 3 ）$ には、非自明な解 $x 、 y \in Q$ は存在しません。

$x$ $n$ $+$ $y$ $n$ $=$ $z$ $n$ に対する非自明な解 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ∈ $Zは、$ $v$ $n$ $+$ $w$ $n$ $= 1$ に対して非自明な解 $a$ $/$ $c$ 、 $b$ $/$ $c$ ∈ $Q$ をもたらします。逆に、 v n + w n = 1 に対する解 $a$ $/$ $b$ $、$ $c$ $/$ d $\in$ $Q$ $は$ 、 $x$ $n$ $+$ y $n$ $=$ $z$ $n$ $に対して$ $非$ $自明$ $な$ $解$ ad 、 $cb$ $、$ $bd$ $を$ $もたらし$ ます。

この最後の定式化は、問題を 3 次元の曲面に関する問題から 2 次元の曲線に関する問題に縮小するため、特に有益です。さらに、環 $Z$ ではなく体 $Q$ 上で作業できます。体は環よりも構造がはっきりしており、その要素をより深く分析できます。

$同値な$ ステートメント4 – 楕円曲線との関連: $a$ 、 $b$ 、 $cが$ $ap + bp = cp$ 、 $p$ $が$ $奇数素数$ $の$ 非自明な解である場合、 $y2 = x (x - ap)(x + bp)$ (フレイ曲線 $)$ はモジュラー形式を持たない $楕円$ 曲線になります。 ^[17]

この楕円曲線をリベットの定理で調べると、モジュラー形式を持たないことがわかります。しかし、アンドリュー・ワイルズの証明は、 $y 2 = x (x - a n)(x + b n)$ の形式の任意の方程式はモジュラー形式を持つことを証明しています。したがって、 $x p + y p = z p$ （ $p$ は奇数の素数）の任意の非自明な解は矛盾を生じ、非自明な解が存在しないことを証明します。^[18]

言い換えれば、フェルマーの最終定理に反する可能性のある解は、モジュラリティ定理にも反する可能性があるということです。したがって、モジュラリティ定理が正しいと判明した場合、フェルマーの最終定理に反する解も存在しないことになります。前述のように、この同等のステートメントの発見は、フェルマーの最終定理を最終的に解決する上で非常に重要でした。なぜなら、このステートメントによって、すべての数に対して一度に「攻撃」できる手段が得られたからです。

数学の歴史

ピタゴラスとディオファントス

ピタゴラスの三つ組

古代では、各辺の比が 3:4:5 である三角形は、その角の 1 つが直角になることが知られていました。これは建築に使用され、後に初期の幾何学で使用されました。また、2 辺の長さをそれぞれ 2 乗して足すと(3 ² + 4 ² = 9 + 16 = 25)、3 辺目の長さの 2 乗に等しい(5 ² = 25)三角形も直角三角形になるという一般法則の一例としても知られています。これは現在ではピタゴラスの定理として知られており、この条件を満たす 3 つの数はピタゴラス 3 つと呼ばれます。どちらも古代ギリシャのピタゴラスにちなんで名付けられています。例としては、(3, 4, 5) や (5, 12, 13) などがあります。このような三つ組は無限に存在し^[19]、そのような三つ組を生成する方法は、バビロニア人[ ^20]に始まり、その後の古代ギリシャ、中国、インドの数学者^[1]に至るまで、多くの文化で研究されてきました。数学的には、ピタゴラス三つ組の定義は、等式^[21]a ² + b ² = c ²を満たす3つの整数（a、b、c）の集合です。

ディオファントス方程式

フェルマーの方程式x ⁿ + y ⁿ = z ^{n は}正の整数解を持ち、ディオファントス方程式の一例である。^[22]この方程式は、 3世紀のアレクサンドリアの数学者ディオファントスにちなんで名付けられた。ディオファントスは、この方程式を研究し、ある種のディオファントス方程式を解く方法を開発した。典型的なディオファントス問題は、2つの整数xとy の合計とその平方の合計が、それぞれ2つの与えられた数AとBに等しくなるような整数 x と y を求める問題である。

A=x+y

B=x^{2}+y^{2}.

ディオファントスの主著は『算術』であるが、現存するのはその一部だけである。^{[23]フェルマーの最終定理に関する予想は、『}算術』の新版を読んでいるときに思いついたもので、^[24]クロード・バシェによってラテン語に翻訳され、1621年に出版された。^[25]^[26]

ディオファントス方程式は何千年も研究されてきました。たとえば、2次ディオファントス方程式x ² + y ² = z ²の解は、ピタゴラスの三つ組で与えられ、もともとはバビロニア人（紀元前 1800年頃）によって解かれました。^[27]26 x + 65 y = 13などの線形ディオファントス方程式の解は、ユークリッドの互除法（紀元前5世紀頃）を使用して見つけることができます。 ^[28] 多くのディオファントス方程式は、代数の観点からはフェルマーの最終定理の方程式に似た形をしており、 2つの文字を混ぜる交差項がなく、その特定の特性を共有していません。たとえば、nとmが互いに素な自然数である場合、x ⁿ + y ⁿ = z ^mとなる正の整数x、y、zが無限に存在することが知られています。^[注2]

フェルマーの予想

ディオファントスの*算術書*1621 年版の問題 II.8 。右側の余白は小さすぎて、フェルマーの「最終定理」の証明とされる部分を書き込むことができませんでした。

『算術』の問題 II.8 は、与えられた平方数を他の 2 つの平方数に分割する方法を問うものである。言い換えれば、与えられた有理数 kに対して、 k ² = u ² + v ²となる有理数uとv を求めることである。ディオファントスは、 k = 4の場合にこの平方和の問題を解く方法を示している（解はu = 16/5およびv = 12/5である）。^[29]

1637年頃、フェルマーは『算術』の余白に、ディオファントスの平方和の問題の隣に最終定理を書いた。^[30]^[31]^[32]

フェルマーが1665年に死去した後、息子のクレマン＝サミュエル・フェルマーが父のコメントを加筆した新版（1670年）を出版した。^[35]当時は定理ではなかった（証明が存在する数学的記述を意味する）が、欄外の注釈は時を経てフェルマーの最終定理として知られるようになった。^[30]これはフェルマーが主張した定理の中で証明されなかった最後のものであった。^[36]^[37]

フェルマーが実際にすべての指数nに対して有効な証明を見つけたかどうかは不明ですが、その可能性は低いようです。フェルマーによる関連する証明は、セクション § 特定の指数に対する証明で説明されているように、 n = 4 の場合の 1 つだけが残っています。

フェルマーは、マリン・メルセンヌ、ブレーズ・パスカル、ジョン・ウォリスなどの数学者への挑戦状としてn = 4とn = 3の場合を提示したが^[38]、一般の場合を提示することはなかった。^[39]さらに、フェルマーは生涯の最後の30年間、一般の場合の「真に素晴らしい証明」について二度と書くことはなく、出版することもなかった。ファン・デル・プールテン^[40]は、証明がないことは重要ではないが、挑戦がないということはフェルマーが証明を持っていないことに気付いたことを意味すると示唆し、フェルマーは取り返しのつかない考えで一時的に自分自身を惑わしたに違いないと述べたヴェイユ^[41]を引用している。フェルマーがそのような「素晴らしい証明」に使用した可能性のある手法は不明である。

ワイルズとテイラーの証明は20世紀の技術に依存している。^[42]フェルマーの証明は、当時の数学的知識を考慮すると、それに比べれば初歩的なものだったはずだ。

ハーヴェイ・フリードマンの壮大な予想は、あらゆる証明可能な定理（フェルマーの最終定理を含む）は「初等関数演算」のみを使用して証明できることを示唆しているが、そのような証明は技術的な意味でのみ「初等的」である必要があり、何百万ものステップを伴う可能性があり、したがってフェルマーの証明としては長すぎる。

特定の指数の証明

1670 年版のディオファントスの算術書における、フェルマーの最終定理のケース n=4 に対するフェルマーの無限下降(pp. 338-339)。

指数 = 4

フェルマーの証明のうち、唯一残っているのは無限降下の技法を用いて、整数辺を持つ直角三角形の面積が整数の2乗に等しくなることは決してないということを証明した証明である。 ^[43]^[44]^[45]彼の証明は、次の式が成り立つことを証明することと同等である。

x^{4}-y^{4}=z^{2}

整数には原始解はありません（互いに素なペアの解はありません）。また、方程式a ⁴ + b ⁴ = c ^4はc ⁴ − b ⁴ = ( a ² ) ²と書けるので、これはn = 4の場合のフェルマーの最終定理を証明します。

n = 4の場合の別の証明は、後に^[46]フレニクル・ド・ベッシー(1676)、[ ^47] レオンハルト・オイラー(1738)、^[48]カウスラー (1802)、^[49] ピーター・バーロウ(1811)、^[50] アドリアン＝マリー・ルジャンドル(1830)、^[51]ショピス (1825)、^[52] オルリー・テルケム(1846)、^[53] ジョセフ・ベルトラン(1851)、^[54] ヴィクトル・ルベーグ(1853、1859、1862)、^[55] テオフィル・ペパン(1883)、^[56]ターフェルマッハー (1893)、^[57] ダヴィド・ヒルベルト(1897)、^[58]ベンツ (1901)、^[59]ガンビオリ (1901)、^[60] レオポルドによって開発されました。クロネッカー(1901)、^[61]バング (1905)、^[62]ゾマー (1907)、^[63]ボッタリ (1908)、^[64] カレル・リクリク(1910)、^[65]ナッツホーン (1912)、^[66] ロバート・カーマイケル(1913)、^[67]ハンコック (1931)、^[68] ヴランスアヌ(1966)、^[69]グラントとペレラ (1999)、^[70]バーバラ (2007)、^[71]およびドーラン (2011)。^[72]

その他の指数

フェルマーがn = 4 という特殊なケースを証明した後、すべてのnに対する一般的な証明では、すべての奇数の素数指数に対して定理が成立することだけが求められた。^[73]言い換えれば、n が奇数の素数である場合、方程式a ⁿ + b ⁿ = c ⁿには正の整数解( a、b、c )がないことを証明するだけでよかった。これは、与えられたnに対する解( a、b、c )がnのすべての因数に対する解と等しいことから導かれる。説明のために、n をdとeに因数分解すると、n = de となる。一般的な方程式

a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ

は、 ( a ^d , b ^d , c ^d )が指数eの解であることを意味する。

( a ^d ) ^e + ( b ^d ) ^e = ( c ^d ) ^{e です}。

したがって、フェルマーの方程式がn > 2に対して解を持たないことを証明するには、すべてのnの少なくとも 1 つの素因数に対して解を持たないことを証明すれば十分です。各整数n > 2は、 4 または奇数の素数 (またはその両方) で割り切れます。したがって、フェルマーの最終定理は、n = 4およびすべての奇数の素数pに対して証明できれば、すべてのnに対して証明できます。

フェルマーの最終定理は、その予想から2世紀（1637-1839年）の間に、3つの奇数の素指数p = 3、5、7について証明された。p = 3の場合を最初に述べたのは、アブ・マフムード・ホジャンディ（10世紀）だが、彼が試みた定理の証明は間違っていた。^[74]^[75] 1770年に、レオンハルト・オイラーはp = 3の証明を与えたが、 ^[76]無限降下法による彼の証明^[77]には大きな欠陥があった。^[78]^[79]^[80]しかし、オイラー自身が他の著作で証明を完成させるのに必要な補題を証明していたため、一般に彼が最初の証明を行ったとされている。^[45]^[81]^[82]独立した証明が出版された^[83]カウスラー (1802)、^[49]ルジャンドル (1823、1830)、^[51]^[84]カルゾラリ (1855)、^[85] ガブリエル・ラメ(1865)、^[86] ピーター・ガスリー・テイト(1872)、^[87] ジークムント・ギュンター、^[88]ガンビオリ (1901)、^[60]クレイ (1909)、^[89]リクリク (1910)、^[65]シュトックハウス (1910)、^[90]カーマイケル (1915)、^[91] ヨハネス・ファン・デル・コルプット(1915)、^[92] アクセル・トゥー(1917)、^[93]およびドゥアルテ (1944) 。^[94]

p = 5 の場合は、1825 年頃にルジャンドルとディリクレによって独立に証明されました^[95]。^[96]^[97]^[45]^[98]代わりの証明は、^カール・フリードリヒ・ガウス(1875、死後)、^[100]ルベーグ (1843)、^[101]ラメ (1847)、^[102]ガンビオリ (1901)、^[60]^[103]ウェアブルソフ (1905)、^[104]^[^{全文引用必要}^]リクリク (1910)、^[105]^[^疑わしい^–^議論^]^[^{全文引用必要}^]ファン・デル・コルプット (1915)、^[92]およびガイ・テルジャニアン(1987) によって開発されました。^[106]

p = 7 の場合は1839 年にラメによって証明されました^[107]^[108]^[45]^{[98] 。}^[109]彼のかなり複雑な証明は 1840 年にルベーグによって簡略化され^[110]、さらに簡単な証明^[111]が1864 年、1874 年、1876 年にアンジェロ・ジェノッキによって発表されました。 ^[112]代替の証明はテオフィル・ペパン (1876) ^[113]とエドモン・マイエ (1897) によって開発されました。^[114]

フェルマーの最終定理は指数n = 6、10、14の場合にも証明されている。n = 6の場合の証明はカウスラー[ ^49]、トゥー^[115]、ターフェルマッハー^[116] 、リンド^[117]、カプフェラー^[118] 、スウィフト^{[119]、ブリューシュ[}^120]によって発表されている。同様に、ディリクレ^[121]とテルジャニアン^{[122]はそれぞれ}n = 14の場合を証明し、カプフェラー^[118]とブリューシュ^{[120]はそれぞれ}n = 10の場合を証明している。厳密に言えば、これらの証明は不要である。なぜなら、これらのケースはそれぞれn = 3、5、7 の場合の証明から導かれるからである。しかし、これらの偶数指数の証明の推論は、奇数指数の場合の証明とは異なる。ディリクレによるn = 14の証明は1832年に出版され、ラメによる1839年のn = 7の証明よりも前のことである。^[123]

特定の指数に対する証明はすべて、フェルマーの無限降下法^[要出典]を、その本来の形、または楕円曲線やアーベル多様体上の降下法の形で使用しました。しかし、詳細と補助的な議論はしばしばアドホックで、検討中の個々の指数に結びついていました。^[124]pが増加するにつれてそれらはますます複雑になったため、フェルマーの最終定理の一般的なケースを個々の指数の証明に基づいて証明することは不可能に思えました。^[124]フェルマーの最終定理に関するいくつかの一般的な結果は、19 世紀初頭にニールス・ヘンリク・アーベルとピーター・バーロウによって発表されましたが^[125]^[126]、この一般的な定理に関する最初の重要な研究はソフィー・ジェルマンによって行われました。^[127]

近代初期の画期的な進歩

ソフィー・ジャーメイン

19世紀初頭、ソフィー・ジェルマンはフェルマーの最終定理をすべての指数に対して証明するいくつかの斬新なアプローチを開発した。^[128]まず、彼女は素数指数pから構成される補助素数θの集合をθ = 2 hp + 1という方程式で定義した。ここでh は3で割り切れない任意の整数である。彼女は、 p 乗された整数がθを法として隣接していない場合(非連続条件)、θは積xyz を割り切れることを示した。彼女の目標は、数学的帰納法を使用して、任意のpに対して、無限個の補助素数θ が非連続条件を満たし、したがってxyz を割り切れることを証明することであった。積xyz は最大で有限個の素因数を持つことができるため、そのような証明によってフェルマーの最終定理が確立されたはずである。彼女は非連続条件を確立するための多くの手法を開発したが、戦略的目標には成功しなかった。彼女はまた、与えられた指数pに対するフェルマーの等式の解の大きさの下限を設定する研究を行い、その修正版がアドリアン＝マリー・ルジャンドルによって出版された。この後者の研究の副産物として、彼女はソフィー・ジェルマンの定理を証明した。これは、フェルマーの最終定理の最初のケース（つまり、 p がxyz を割り切れない場合）を、270 未満のすべての奇数素数指数に対して検証したもので、^[128]^[129]また、2 p + 1、4 p + 1、8 p + 1、10 p + 1、14 p + 1 、および16 p + 1のうち少なくとも 1 つが素数であるすべての素数pに対して検証した（特に、 2 p + 1が素数であるような素数pはソフィー・ジェルマン素数と呼ばれる）。ジェルマンは、フェルマーの最終定理の最初のケースをすべての偶数指数、具体的にはn = 2 pに対して証明しようとしたが失敗し、これは1977年にガイ・テルジャニアンによって証明された。^[130] 1985年に、レナード・アデルマン、ロジャー・ヒース・ブラウン、エティエンヌ・フーヴリーは、フェルマーの最終定理の最初のケースを証明した。フェルマーの最終定理の最初のケースが、無限個の奇素数pに対して成り立つことを証明した。^[131]

エルンスト・クンマーと理想論

1847 年、ガブリエル・ラメは、複素数、具体的には数 1 の根に基づく円分体における方程式 $x p + y p = z p$ の因数分解に基づいて、フェルマーの最終定理の証明の概要を示しました。しかし、彼の証明は、そのような複素数は整数と同様に一意に素数に因数分解できるという誤った仮定に基づいていたため、失敗しました。このギャップは、後にエルンスト・クンマーによって書かれたこの一意に因数分解できないことを証明した論文を読んだジョセフ・リウヴィルによってすぐに指摘されました。

クマーは、円分体を一般化して新しい素数を含め、一意の因数分解を復元できるかどうかを決定するという課題を自らに課しました。彼は理想数を開発することでその課題に成功しました。

（クンマーが「理想複素数」に辿り着いたのはフェルマーの最終定理への興味からだとよく言われる。ラメ同様、クンマーもルジューヌ・ディリクレから彼の議論は一意因数分解に依存していると告げられるまでフェルマーの最終定理を証明したと信じていたという話もよく語られる。しかし、この話は1910年にクルト・ヘンゼルによって初めて語られ、証拠から、ヘンゼルの情報源の1人が混乱したことから派生したものである可能性が高いことがわかる。ハロルド・エドワーズは、クンマーが主にフェルマーの最終定理に興味を持っていたという考えは「間違いなく間違いだ」と述べた。^[132]理想数の歴史を参照。）

ラメが概説した一般的なアプローチを使用して、クンマーはすべての正規素数に対してフェルマーの最終定理の両方のケースを証明しました。しかし、推測上約 39% の確率で発生する例外的な素数 (不規則な素数) については定理を証明できませんでした。270 未満の不規則な素数は、37、59、67、101、103、131、149、157、233、257、263 のみです。

モーデル予想

1920年代に、ルイス・モーデルは、指数nが2より大きい場合、フェルマー方程式にはせいぜい有限個の非自明な原始整数解が存在するという予想を提起した。 ^[133]^{[134]この予想は1983年に}ゲルト・ファルティングスによって証明され、^[135]現在ではファルティングスの定理として知られている。

計算研究

20世紀後半には、クンマーのアプローチを不規則素数に拡張する計算手法が使用されました。1954年、ハリー・ヴァンディバーはSWACコンピュータを使用して、2521までのすべての素数に対してフェルマーの最終定理を証明しました。 ^[136] 1978年までに、サミュエル・ワグスタッフはこれを125,000未満のすべての素数に拡張しました。^[137] 1993年までに、フェルマーの最終定理は400万未満のすべての素数に対して証明されました。^[5]

しかし、これらの努力とその結果にもかかわらず、フェルマーの最終定理の証明は存在しなかった。個々の指数の証明は、その性質上、一般的なケースを証明することは決してできない。つまり、非常に大きな数 X までのすべての指数が検証されたとしても、X を超えるより高い指数が存在し、その場合、主張は真実ではない可能性がある。(これは、スキューズ数など、過去のいくつかの予想の場合に当てはまり、この予想でも除外できなかった。)

楕円曲線との関連

フェルマーの最終定理の証明に最終的に成功した戦略は、1955年頃に提案された「驚異的な」 ^[138]^{: 211} 谷山・志村・ヴェイユ予想から生まれた。この予想は、多くの数学者が証明するのはほぼ不可能だと信じていたが、 ^[138]^{: 223} 1980年代にゲルハルト・フレイ、ジャン＝ピエール・セール、ケン・リベットによってフェルマーの等式と関連付けられた。1994年にこの予想の部分的な証明を達成したアンドリュー・ワイルズは、最終的にフェルマーの最終定理の証明に成功し、現在モジュラリティ定理として知られているものの完全な証明への道を開いた。

谷山・志村・ヴェイユ予想

1955年頃、日本の数学者志村五郎と谷山豊は、楕円曲線とモジュラー形式という、一見全く異なる2つの数学の分野の間につながりがあるかもしれないことに気づきました。その結果得られたモジュラー性定理（当時は谷山・志村予想と呼ばれていました）は、すべての楕円曲線はモジュラーであり、つまり、一意のモジュラー形式に関連付けることができると述べています。

この関連性は当初ありそうにない、あるいは非常に推測的なものだとして却下されたが、数論学者アンドレ・ヴェイユが証明はしなかったもののそれを支持する証拠を発見したことでより真剣に受け止められるようになった。その結果、この予想は谷山・志村・ヴェイユ予想として知られるようになった。^[138]^{: 211–215}

この予想は真剣に注目された後も、当時の数学者からは極めて困難、あるいは証明不可能とみなされていた。^[138]^{: 203–205, 223, 226}たとえば、ワイルズの博士課程の指導教官ジョン・コーツは「実際に証明するのは不可能に思えた」と述べており、^[138]^{: 226}また、ケン・リベットは「[この予想]が全く証明不可能だと信じている大多数の人々の一人」であると自認し、「アンドリュー・ワイルズはおそらく、実際に[この予想]を証明できると夢見る大胆さを持った地球上で数少ない人物の一人だっただろう」と付け加えている。^[138]^{: 223}

フレイ曲線に対するリベットの定理

1984年、ゲルハルト・フライはフェルマー方程式とモジュラリティ定理（当時はまだ推測だった）の関係を指摘した。フェルマー方程式が指数p > 2に対して何らかの解（a、b、c）を持つとすれば、半安定楕円曲線（現在ではフレイ＝ヘレグアルク曲線として知られている^[注3]）が

y ² = x ( x − a ^p )( x + b ^p )

フェルマーの最終定理は、非常に異常な性質を持つため、モジュラーである可能性は低い。^{[139]これは、すべての楕円曲線はモジュラーであると主張するモジュラー性定理と矛盾する。そのため、フレイは、谷山-志村-ヴェイユ予想の証明は、フェルマーの最終定理も同時に証明する可能性があると観察した。}^[140]^[141]対比により、フェルマーの最終定理の反証または反駁は、谷山-志村-ヴェイユ予想を反証することになる。

平易な言葉で言えば、フレイは、彼の方程式に関するこの直感が正しければ、フェルマーの最終定理を反証できる 4 つの数値 ( a、b、c、n ) の任意の集合は、谷山・志村・ヴェイユ予想を反証するためにも使用できることを示した。したがって、後者が正しい場合、前者は反証できず、また正しくなければならない。

この戦略に従うと、フェルマーの最終定理の証明には2つのステップが必要になった。まず、モジュラ性定理を証明するか、少なくともフレイ方程式を含む楕円曲線の種類（半安定楕円曲線として知られる）に対して証明する必要があった。これは当時の数学者によって証明不可能であると広く信じられていた。^[138]^{: 203–205, 223, 226}次に、フレイの直感が正しいことを示す必要があった。つまり、フェルマー方程式の解である数の集合を使用して楕円曲線をこのように構成した場合、結果として得られる楕円曲線はモジュラではないということである。フレイはこれがもっともらしいことを示したが、完全な証明までは至らなかった。欠けていた部分（いわゆる「イプシロン予想」、現在はリベットの定理として知られている）はジャン＝ピエール・セールによって特定され、ほぼ完全な証明も与えられ、フレイによって示唆された関連性は1986年にケン・リベットによって最終的に証明された。^[142]

フレイ、セール、リベットの研究によれば、状況は次のようになった。

フェルマーの最終定理は、素数であるすべての指数nに対して証明する必要がありました。
モジュラリティ定理が半安定楕円曲線に対して証明されれば、すべての半安定楕円曲線はモジュラでなければならないということになります。
リベットの定理は、素数に対するフェルマー方程式の任意の解を使用して、モジュラー化できない半安定楕円曲線を作成できることを示しました。
これら 2 つのステートメントが両方とも真となる唯一の方法は、フェルマーの方程式に解が存在しない(その場合、そのような曲線を作成できないため) 場合であり、これはフェルマーの最終定理が述べていることです。リベットの定理はすでに証明されているため、モジュラリティ定理の証明は、フェルマーの最終定理も真であることを自動的に証明することを意味しました。

ワイルズの一般的な証明

1986年にリベットがイプシロン予想を証明したことで、フレイが提唱した2つの目標のうち最初の目標が達成された。リベットの成功を聞いたイギリスの数学者アンドリュー・ワイルズは、子供の頃からフェルマーの最終定理に魅了され、楕円曲線の研究もしていたが、後半の目標、つまり半安定楕円曲線に対するモジュラリティ定理（当時は谷山・志村予想と呼ばれていた）の特殊なケースの証明に全力を注ぐことを決意した。^[143]^[144]

ワイルズは6年間、ほぼ完全な秘密裏にその仕事に取り組み、以前の研究を小さな断片に分けて別々の論文として発表し、妻にのみ打ち明けることで自分の努力を隠蔽した。[ ^138]^{: 229–230}彼の最初の研究では帰納法による証明が示唆され、^[138]^{: 230–232, 249–252}彼は最初の研究と最初の重要なブレークスルーをガロア理論に基づいていたが^{[138] :}^{251–253, 259、} 1990年から1991年頃には、問題に対処する適切なアプローチが存在しないと思われたため、水平方向の岩澤理論を帰納的議論に拡張する試みに切り替えた。 ^[138]^{: 258–259}しかし、1991年半ばまでに、岩澤理論も問題の中心的な問題に到達していないようであった。^[138]^{: 259–260}^[145]^[146]これに応えて、彼は同僚に最先端の研究や新しい技術のヒントを探し、ヴィクトル・コリヴァギンとマティアス・フラッハが最近開発したオイラーシステムを発見した。これは彼の証明の帰納的部分に「ぴったり」のようだった。^[138]^{: 260–261}ワイルズはこのアプローチを研究して拡張し、うまくいった。彼の研究は数学にとってもワイルズにとっても新しいこのアプローチに大きく依存していたため、1993年1月に彼はプリンストン大学の同僚ニック・カッツに、彼の推論に微妙な誤りがないかチェックするのを手伝ってくれるよう頼んだ。彼らの当時の結論は、ワイルズが使用した技術は正しく機能しているようだというものだった。^[138]^{: 261–265}^[147]^[148]

1993年5月中旬までに、ワイルズはフェルマーの最終定理の証明を解いたと思うことを妻に告げる準備ができており、^[138]^{: 265}そして6月までには、1993年6月21日から23日にかけてアイザック・ニュートン数学研究所で行われた3回の講義で自分の結果を発表するのに十分な自信が持てるようになった。^[149]^[150]具体的には、ワイルズは半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想の証明を提示した。これは、イプシロン予想のリベットの証明と合わせて、フェルマーの最終定理を暗示するものであった。しかし、査読中に、証明の重要な点が間違っていることが明らかになった。特定の群の位数に関する境界に誤りが含まれていた。この誤りは、ワイルズの原稿を査読していた数人の数学者によって発見され、その中には査読者としてのカッツも含まれていた^[151] 。カッツは1993年8月23日にワイルズに警告した^[152]。

この誤りによって彼の研究が無価値になったわけではなかった。ワイルズの研究の各部分は、彼が研究の過程で生み出した多くの開発や技術と同様、それ自体で非常に重要かつ革新的であり、影響を受けたのはそのうちの1つの部分だけだった。^[138]^{: 289, 296–297}しかし、この部分が証明されなければ、フェルマーの最終定理の実際の証明はなかった。ワイルズは、最初は一人で、その後はかつての教え子リチャード・テイラーと共同で、ほぼ1年をかけて証明の修正を試みたが、成功しなかった。^[153]^[154]^[155] 1993年末までに、精査の結果ワイルズの証明が失敗したという噂が広まったが、どの程度深刻なのかは不明であった。数学者たちは、ワイルズが何とか成し遂げたものをより広いコミュニティが探求し利用できるように、完成しているかどうかにかかわらず彼の研究を開示するように圧力をかけ始めていた。しかし、当初は軽微と思われていた問題は解決されるどころか、今では非常に重大で、はるかに深刻で、解決が容易ではないものとなっているようでした。^[156]

ワイルズは、1994 年 9 月 19 日の朝、あきらめかけ、失敗したことを認め、他の人がその上に立って誤りを修正できるように自分の研究を発表することにほとんど諦めかけていたと述べている。彼は、自分のアプローチがうまくいかなかった根本的な理由を理解しようと最後の検討をしていたとき、突然ひらめいたと付け加えている。コリヴァギン-フラッハのアプローチが直接うまくいかなかった特定の理由は、コリヴァギン-フラッハのアプローチから得た経験を使って強化すれば、岩澤理論を使った当初の試みもうまくいく可能性があることを意味していた。一方のアプローチをもう一方のアプローチのツールで修正すれば、彼の査読済み論文で証明されていないすべてのケースで問題が解決するだろう。^[153]^[157]彼は後に、岩澤理論とコリヴァギン-フラッハのアプローチはそれぞれ単独では不十分だが、一緒にすればこの最後のハードルを乗り越えるのに十分なほど強力になる可能性があると述べた。^[153]

私は自分のデスクに座って、コリヴァギン・フラッハ法を調べていました。うまく機能すると信じていたわけではありませんが、少なくともうまく機能しない理由を説明できると思っていました。突然、信じられないような啓示を受けました。コリヴァギン・フラッハ法は機能していないが、3年前に私が考案したオリジナルの岩沢理論を機能させるために必要なのはそれだけだということに気づいたのです。コリヴァギン・フラッハ法の灰の中から、問題の真の答えが浮かび上がったように思えました。それは言葉では言い表せないほど美しく、とてもシンプルでエレガントでした。どうしてそれを見逃していたのか理解できず、20分間、信じられない気持ちでただ見つめていました。そして、日中は部署内を歩き回り、まだそこにあるのか確認するために何度も自分のデスクに戻りました。まだそこにありました。興奮を抑えきれず、とても興奮しました。それは私の仕事人生で最も重要な瞬間でした。二度とこれほど意味のあることは何もないでしょう。
— アンドリュー・ワイルズ、サイモン・シンの引用^[158]

1994年10月24日、ワイルズは「モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理」^[159]^[160]と「特定のヘッケ代数の環論的性質」^[161]という2つの論文を提出した。後者はテイラーとの共著で、主論文の修正手順を正当化するために必要な特定の条件が満たされていることを証明した。2つの論文は精査され、1995年5月の Annals of Mathematics誌にまとめて掲載された。モジュラー性持ち上げ定理を証明するために変形環をヘッケ代数と同一視する証明方法 (現在ではR=T 定理と呼ばれている) は、代数的整数論に大きな影響を与えた。

これらの論文は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理を確立し、フェルマーの最終定理が推測されてから 358 年後にその証明の最後のステップとなりました。

その後の展開

谷山・志村・ヴェイユ予想は、最終的にダイアモンド（1996）^[10] 、コンラッドら（1999）^[11]、ブレイユら（2001）^[12]によって証明されました。彼らは、ワイルズの研究を基に、残りのケースを徐々に解決していき、最終的に完全な結果が証明されました。これで完全に証明された予想は、モジュラリティ定理として知られるようになりました。

フェルマーの最終定理に似た数論における他のいくつかの定理も、モジュラ性定理を使用した同じ推論から導かれます。たとえば、立方体は、互いに素な 2 つの n 乗 ( n ≥ 3 )の和として表すことはできません。( n = 3の場合は、すでにオイラーによって知られていました。)

他の問題との関係と一般化

フェルマーの最終定理は、フェルマー方程式 $a n + b n = c n$ $の解を考察します。ここで、 a$ 、 $b$ 、 $c は$ 正の整数で、 $n$ は2 より大きい整数です。フェルマー方程式には、指数 $n を$ 負の整数または有理数にしたり、3 つの異なる指数を考慮したりできる、より一般的な方程式への一般化がいくつかあります。

一般化されたフェルマー方程式

一般化されたフェルマー方程式は、フェルマーの最終定理の記述を、 a、b、c、m、n、kの正の整数解が^[162]を満たすことを考慮することによって一般化したものである。

特に、指数m、n、k は等しい必要はありませんが、フェルマーの最終定理では $m = n = k の場合を考慮します。$

ビール予想は、モールディン予想^[163]やティデマン・ザギエ予想^[164]^[165]^{[166]としても知られ、正の整数}a、b、c、m、n、kにおいて、 a、b、cが互いに素であり、 m、n、kのすべてが2より大きい場合、一般化フェルマー方程式の解は存在しないことを述べています^。[167]

フェルマー・カタラン予想は、フェルマーの最終定理をカタラン予想の考え方で一般化したものである。^[168]^[169]この予想は、一般化されたフェルマー方程式には、異なる三つ組の値 ( a ^m、b ⁿ、c ^k ) を持つ有限個の解( a、b、c、m、n、k ) しか存在しないことを述べている。ここで、a、b、c は互いに素な正の整数であり、m、n、k は次を満たす正の整数である。

この文は、解の集合が有限であるということに関するもので、既知の解は10個ある。^[162]

逆フェルマー方程式

指数 $n を$ 整数の逆数、つまりある整数 $mに対して$ $n = 1/ m$ とすると、逆フェルマー方程式a ^1/^m + b ^1/^m = c ^1/^mが得られる。この方程式のすべての解は、1992年にヘンドリック・レンストラによって計算された。^[170]m乗根が実数かつ正であることが要求される場合、すべての解は次のように与えられる。^[171]

a=rs^{m}

b=rt^{m}

c=r(s+t)^{m}

正の整数r、s、tについて、 sとt は互いに素である。

有理指数

ディオファントス方程式a ^{n / m} + b ^{n / m} = c ^{n / m} （ nは1ではない）について、ベネット、グラス、セーケイは2004年にn > 2に対して、nとmが互いに素であれば、6がmを割り切る場合にのみ整数解が存在し、a ^{1/ m}、b ^{1/ m}、c ^{1/ m}が同じ実数の異なる複素6乗根であることを証明した。^[172]

負の整数指数

ん= −1

光学方程式a ⁻¹ + b ⁻¹ = c ⁻¹のすべての原始整数解（つまり、 a、b、cのすべてに共通する素因数を持たないもの）は次のように表される^[173]。

a=mk+m^{2},

b=mk+k^{2},

c=mk

互いに素な正の整数m、kの場合。

ん= −2

n = −2の場合も解は無限にあり、これらは整数辺と整数斜辺の高さを持つ直角三角形として幾何学的に解釈できる。^[174]^[175]a ⁻² + b ⁻² = d ⁻²のすべての原始解は次のように与えられる。

a=(v^{2}-u^{2})(v^{2}+u^{2}),

b=2uv(v^{2}+u^{2}),

d=2uv(v^{2}-u^{2}),

互いに素な整数u、v（v > u ）について。幾何学的解釈では、aとb は直角三角形の整数辺であり、d は斜辺までの整数の高さである。すると斜辺自体は整数である。

c=(v^{2}+u^{2})^{2},

したがって、( a、b、c )はピタゴラスの数です。

ん< −2

整数n < −2に対して、 a ⁿ + b ⁿ = c ⁿの整数解は存在しません。もし存在するとしたら、この式にa ^|ⁿ^|b ^|ⁿ^|c ^|ⁿ^|を掛けて( bc ) ^|ⁿ^| + ( ac ) ^|ⁿ^| = ( ab ) ^|ⁿ^|を得ることができますが、これはフェルマーの最終定理により不可能です。

ABC予想

abc予想は、大まかに言えば、3つの正の整数a、b、c（これが名前の由来）が互いに素で、a + b = cを満たす場合、abcの根号 dは通常cよりそれほど小さくない、というものである。特に、abc予想の最も標準的な定式化は、nが十分に大きい場合、フェルマーの最終定理を意味する。^[176]^[177]^[178]修正されたスピロ予想はabc予想と同等であり、したがって同じ意味を持つ。 ^[179]^[178] abc予想の有効バージョン、または修正されたスピロ予想の有効バージョンは、フェルマーの最終定理を直接的に意味する。^[178]

賞品と誤った証明

1816年と1850年に、フランス科学アカデミーはフェルマーの最終定理の一般的な証明に対して賞を授与した。^[180]^[181] 1857年、アカデミーはクンマーに理想数に関する研究に対して3,000フランと金メダルを授与したが、クンマーは賞に応募していなかった。^[180] 1883年にはブリュッセルアカデミーから別の賞が授与された。^[182]

1908年、ドイツの実業家でアマチュア数学者のパウル・ヴォルフスケルは、フェルマーの最終定理の完全な証明に対する賞金として、当時としては巨額であった10万金マルクをゲッティンゲン科学アカデミーに遺贈した。 ^[183]^[184] 1908年6月27日、アカデミーは賞を授与するための9つの規則を発表した。とりわけ、これらの規則には、証明は査読のある学術誌に掲載されること、賞は発表から2年後に授与されること、そしてコンテスト開始から約1世紀後の2007年9月13日以降は賞が授与されないことが求められていた。^[185]ワイルズは1997年6月27日、当時5万ドル相当のヴォルフスケル賞を受賞した。 ^[186 ] 2016年3月、ワイルズは「半安定楕円曲線のモジュラリティ予想を通じてフェルマーの最終定理を驚くべき方法で証明し、数論の新時代を開いた」として、ノルウェー政府から60万ユーロのアーベル賞を受賞した。^[187]

ワイルズの証明以前には、何千もの誤った証明がヴォルフスケル委員会に提出され、その長さはおよそ10フィート (3.0 メートル) に及んだ。^[188]最初の年 (1907-1908) だけでも、621 の証明未遂が提出されたが、1970 年代までには提出率は 1 か月あたりおよそ 3-4 件にまで減少した。一部の主張によると、エドモンド・ランダウはそのような証明に特別な印刷済みフォームを使用する傾向があり、最初の間違いの場所は空白のままにして、大学院生の 1 人が埋めるようにしていたという。^[189]ヴォルフスケルの評論家 F. シュリヒティングによると、証明のほとんどは学校で教えられる初歩的な方法に基づいており、「技術教育は受けたがキャリアに失敗した人々」によって提出されることが多かった。^{[190]数学史家}ハワード・イヴスの言葉によれば、「フェルマーの最終定理は、最も多くの誤った証明が発表された数学の問題であるという特異な特徴を持っている。」^[182]

大衆文化において

この定理は科学の分野以外でも人気があり、「数学的に最も稀な賞賛、つまりポップカルチャーにおけるニッチな役割」を獲得したと評されている。^[191]

アーサー・ポージェスの1954年の短編小説「悪魔とサイモン・フラッグ」には、悪魔がフェルマーの最終定理を24時間以内に証明できないと取引する数学者が登場する。 ^[192]

シンプソンズのエピソード「エバーグリーンテラスの魔法使い」で、ホーマー・シンプソンは黒板に3987 ¹² + 4365 ¹² = 4472 ¹²という式を書くが、これはフェルマーの最終定理の反例のように見える。この式は間違っているが、有効数字10桁の計算機に入力すると正しいように見える。^[193]

『スタートレック：新世代』のエピソード「ザ・ロワイヤル」で、ピカード艦長は24世紀になってもこの定理は証明されていないと述べている。証明はエピソードが最初に放送されてから5年後に発表された。^[194]

参照

脚注

^ 指数n が素数でも 4 でもない場合には、n を2 つの小さい整数の積 ( n = PQ ) として表すことも可能であり、ここでP は2 より大きい素数であり、a、b、cのそれぞれについてa ⁿ = a ^PQ = ( a ^Q ) ^Pとなります。つまり、nより小さい素数累乗Pに対しても同等の解が存在する必要があります。あるいは、n が4より大きい2 の累乗であるため、 n = 4 Qと書くと、同じ議論が成り立ちます。
^ たとえば、(( j ^r + 1) ^s ) ^r + ( j ( j ^r + 1) ^s ) ^r = ( j ^r + 1) ^{rs +1}。
^ この楕円曲線は1960年代にイヴ・エルグーアルク [de]によって初めて提案されたが、彼はその非モジュラ性については言及しなかった。詳細については、Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles . Academic Press. ISBNを参照のこと。 978-0-12-339251-0。

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[5] 指数n が素数でも 4 でもない場合には、n を2 つの小さい整数の積 ( n = PQ ) として表すことも可能であり、ここでP は2 より大きい素数であり、a、b、cのそれぞれについてa ⁿ = a ^PQ = ( a ^Q ) ^Pとなります。つまり、nより小さい素数累乗Pに対しても同等の解が存在する必要があります。あるいは、n が4より大きい2 の累乗であるため、 n = 4 Qと書くと、同じ議論が成り立ちます。

[30] たとえば、(( j ^r + 1) ^s ) ^r + ( j ( j ^r + 1) ^s ) ^r = ( j ^r + 1) ^{rs +1}。

[141] この楕円曲線は1960年代にイヴ・エルグーアルク [de]によって初めて提案されたが、彼はその非モジュラ性については言及しなかった。詳細については、Hellegouarch, Yves (2001). Invitation to the Mathematics of Fermat-Wiles . Academic Press. ISBNを参照のこと。 978-0-12-339251-0。

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概要