因数定理

代数学において、因数定理は多項式の因数を多項式の根に結び付ける。具体的には、が多項式であれば、はの因数であり、その場合のみ となる（つまり、 は多項式の根である）。この定理は多項式剰余定理の特殊なケースである。^{[1] [2]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle xa}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a}$

この定理は、加算と乗算の基本的な性質から生じます。したがって、係数と元が体だけでなく任意の可換環に属する場合にも、この定理は成立します。 ${\displaystyle a}$

特に、多変数多項式は変数の 1 つに関して単変数と見なすことができるため、次の一般化が成り立ちます。 およびが多変数多項式であり、が に依存しない場合、が の因数となるのは が零多項式である場合に限ります。 ${\displaystyle f(X_{1},\ldots,X_{n})}$${\displaystyle g(X_{2},\ldots,X_{n})}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots,X_{n})}$${\displaystyle f(X_{1},\ldots,X_{n})}$${\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}$

因数定理がよく適用される 2 つの問題は、多項式の因数分解と多項式方程式の根を求める問題です。これらの問題は本質的に同等であるというのが、この定理の直接的な帰結です。

因数定理は、多項式から既知の零点を取り除き、未知の零点をそのまま残すためにも使用され、零点を見つけやすい低次多項式を生成する。抽象的には、この方法は以下の通りである。^[3]

1. 多項式の最高係数と定数項から、多項式の零点候補を演繹します。（有理根定理を参照してください。）${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{0}}$
2. 因数定理を使用して、が の因数であることを結論付けます。${\displaystyle (xa)}$${\displaystyle f(x)}$
3. たとえば、多項式長除算または合成除算を使用して、多項式を計算します。${\textstyle g(x)={\dfrac {f(x)}{(xa)}}}$
4. の任意の根はの根であると結論付けます。の多項式次数はの多項式次数より 1 小さいため、 を調べることによって残りのゼロを見つける方が「簡単」です。${\displaystyle x\neq a}$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

多項式が完全に因数分解されるまでこの処理を続けます。因数分解されると、多項式のすべての因数はまたは上で既約になります。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$

の因数を見つける${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}$

解答:上記の多項式を ${\displaystyle p(x)}$

定数項 = 2

係数${\displaystyle x^{3}=1}$

2 のすべての可能な因数はとです。 を代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \pm 2}$${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0}$

つまり、 はの因数である。 で割ると、 ${\displaystyle (x-(-1))}$${\displaystyle (x+1)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle (x+1)}$

商 =${\displaystyle x^{2}+6x+2}$

したがって、${\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}$

これらのうち、二次因数は二次方程式の公式を使用してさらに因数分解することができ、二次方程式の根として次の式が得られる。したがって、元の多項式の3つの既約因数は、およびである。${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.}$${\displaystyle x+1,}$ ${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),}$${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}$

ここでは定理のいくつかの証明を示します。

が の因数である場合、であることが直ちにわかります。したがって、以下ではその逆のみが証明されます。 ${\displaystyle xa}$${\displaystyle f(x),}$${\displaystyle f(a)=0.}$

この証明は、 に対するステートメントを検証することから始まります。つまり、となる任意の多項式に対して、となる多項式が存在することを示します。そのためには、明示的に と書きます。ここで、 となるので、 となることに留意してください。したがって、となります。これで、このケースが証明されました。 ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}}$${\displaystyle 0=f(0)=c_{0}}$${\displaystyle c_{0}=0}$${\displaystyle f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)}$

残っているのは、の場合に還元することによって一般の の定理を証明することです。そのためには、が に根を持つ多項式であることに注目してください。上で示したことから、何らかの多項式 に対してが成り立ちます。最後に、です。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle f(x+a)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)=f((xa)+a)=(xa)\cdot g(xa)}$

まず、と が任意の可換環（同じ環）に属するときは常に、恒等式が真であることに注目してください。これは、括弧を掛け合わせることで示されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(xy)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2} y^{1}+x^{n-1})}$

が任意の可換環である場合、係数の列 を と書きます。ある を仮定します。すると となります。上で説明した形式の式の因数分解により、各加数は を因数として持つことがわかります。したがって、は の因数であると結論付けます。 ${\displaystyle f(X)\in R\left[X\right]}$${\displaystyle R}$${\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}}$${\displaystyle (c_{i})_{i}}$${\displaystyle f(a)=0}$${\displaystyle a\in R}$${\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})}$${\displaystyle Xa}$${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$${\displaystyle Xa}$${\displaystyle f(X)}$

この定理は、多項式のユークリッド除算を使用して証明できます。をでユークリッド除算してを取得します。 なので、 は定数であることがわかります。最後に、 であることがわかります。したがって です。 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle (xa)}$${\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)+R(x)}$${\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)}$${\displaystyle \deg(R)<\deg(xa)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 0=f(a)=R}$${\displaystyle f(x)=(xa)Q(x)}$

上記のユークリッド除算は、が単項多項式であるため、すべての可換環で実行可能であり、したがって、多項式長除算アルゴリズムには係数の除算は含まれません。 ${\displaystyle (xa)}$

これは多項式剰余定理の系でもありますが、逆にそれを示すために使用することもできます。

多項式が多変数であっても、係数が代数的に閉じた体を形成する場合、Nullstellensatzは重要かつ深い一般化となります。