原始的な部分と内容

代数学では、整数係数を持つ（または、より一般的には、一意の因数分解領域内の係数を持つ）非ゼロ多項式の内容は、その係数の最大公約数です。このような多項式の原始部は、多項式をその内容で割った商です。したがって、多項式は原始部と内容の積であり、この因数分解は、内容を係数の環の単位に乗じるまで（および原始部に単位の逆数を乗じるまで） 一意です。

多項式の内容が 1 に等しい場合、その多項式は原始多項式です。したがって、多項式の原始部分は原始多項式です。

多項式に関するガウスの補題は、原始多項式（同じ一意の因数分解領域内の係数を持つ）の積も原始的であると述べています。これは、2 つの多項式の積の内容と原始部分が、それぞれ内容の積と原始部分の積であることを意味します。

最大公約数の計算は一般に多項式因数分解よりもはるかに簡単なので、多項式因数分解アルゴリズムの最初のステップは一般にその原始部分-内容因数分解の計算です（多項式の因数分解 § 原始部分-内容因数分解を参照）。次に、因数分解問題は内容と原始部分を別々に因数分解するように簡略化されます。

内容と原始部分は、有理数上の多項式、さらに一般的には、一意の因数分解領域の分数体上の多項式に一般化できます。これにより、最大公約数の計算と、整数上の多項式と有理数上の多項式の最大公約数の因数分解 の問題は本質的に同等になります。

整数係数を持つ多項式の場合、その内容は係数の最大公約数またはその加法逆数のいずれかになります。選択は任意であり、通常は原始部の先頭の係数が正であるというさらなる規則に依存する場合があります。

例えば、2は-12、30、-20の最大公約数なので、 のコンテンツは2または-2のいずれかになります。 コンテンツとして2を選択した場合、この多項式の原始部分は ${\displaystyle -12x^{3}+30x-20}$

${\displaystyle -6x^{3}+15x-10={\frac {-12x^{3}+30x-20}{2}},}$

そして原始部分内容分解は

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=2(-6x^{3}+15x-10).}$

美観上の理由から、負のコンテンツ（ここでは−2）を選択することが好まれることが多い。これは、原始部分コンテンツ分解を与える。

${\displaystyle -12x^{3}+30x-20=-2(6x^{3}-15x+10).}$

この記事の残りの部分では、一意の因数分解領域 R上の多項式について考察します。Rは通常、整数の環、または体上の多項式環です。R では、最大公約数は明確に定義されており、 Rの単位による乗算まで一意です。

Rに係数を持つ多項式Pの内容c ( P )は 、その係数の最大公約数であり、単位を掛けるまで定義されます。Pの原始部分pp( P )は、 Pをその内容で割った商P / c ( P )です。これは、単位を掛けるまで一意であるRに係数を持つ多項式です。内容が単位uの掛け算によって変更される場合、 P の原始部分内容因数分解と呼ばれる等式を維持するために、原始部分を同じ単位で割って変更する必要があります 。 $${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp} (P),}$$

コンテンツと原始部分の主な特性は、2 つの原始多項式の積が原始的であると主張するガウスの補題の結果です。ここで、多項式が原始的であるのは、その係数の最大公約数が 1 である場合です。これは次のことを意味します。

• 多項式の積の内容は、それらの内容の積です。$${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}$$
• 多項式の積の原始部分は、それらの原始部分の積です。$${\displaystyle \operatorname {pp} (P_{1}P_{2})=\operatorname {pp} (P_{1})\operatorname {pp} (P_{2}).}$$
• 多項式の最大公約数の内容は、その内容の最大公約数（ R内）です。$${\displaystyle c(\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (c(P_{1}),c(P_{2})).}$$
• 多項式の最大公約数の原始部分は、それらの原始部分の最大公約数（ R内）です。$${\displaystyle \operatorname {pp} (\operatorname {gcd} (P_{1},P_{2}))=\operatorname {gcd} (\operatorname {pp} (P_{1}),\operatorname {pp} (P_{2})).}$$
• R上の多項式の完全な因数分解は、 R内の内容の因数分解と、多項式環内の原始部分の因数分解の積です。

最後の特性は、多項式の原始部分内容因数分解の計算により、その完全な因数分解の計算が内容と原始部分の個別の因数分解に削減されることを意味します。これは一般に興味深いことです。なぜなら、原始部分内容因数分解の計算には、Rでの最大公約数の計算のみが必要であり、これは通常因数分解よりもはるかに簡単だからです。

原始部分内容因数分解は、次のように有理係数を持つ多項式に拡張できます。

有理係数を持つ多項式Pが与えられたとき、その係数を同じ共通分母 dで書き直すと、 Pは次のよ​​うに 書き直すことができる。

${\displaystyle P={\frac {Q}{d}},}$

ここでQ は整数係数の多項式である。Pの内容はQの内容をdで割った値であり、

${\displaystyle c(P)={\frac {c(Q)}{d}},}$

Pの原始部分はQの原始部分である。

${\displaystyle \operatorname {pp} (P)=\operatorname {pp} (Q).}$

この定義は共通分母の選択に依存せず、原始部分内容因数分解が有効であることを示すのは簡単です。

${\displaystyle P=c(P)\operatorname {pp} (P).}$

これは、有理数上のすべての多項式が整数上の一意の原始多項式に関連付けられており、ユークリッドのアルゴリズムによってこの原始多項式の計算が可能になることを示しています。

結果として、有理数で多項式を因数分解することは、整数で原始多項式を因数分解することと同等です。体係数の多項式は整数係数の多項式よりも一般的であるため、この同等性は整数係数の多項式を因数分解するために使用できると思われるかもしれません。実際には、真実はまったく逆です。有理数係数の多項式を因数分解する既知の効率的なアルゴリズムはすべて、この同等性を使用して、ある素数p を法として問題を簡約します(多項式の因数分解を参照)。

この等価性は多項式の最大公約数の計算にも使用されますが、ユークリッドのアルゴリズムは有理係数の多項式に対して定義されています。実際、この場合、ユークリッドのアルゴリズムでは多くの分数の約数を計算する必要があり、このためユークリッドのアルゴリズムは整数上の多項式のみを扱うアルゴリズムよりも効率が低くなります ( 「多項式の最大公約数」を参照)。

前のセクションの結果は、整数環と有理数体をそれぞれ任意の一意の因数分解領域 Rとその分数体 Kに置き換えた場合でも有効です。

これは通常、多変数多項式を因数分解する場合や、一意の因数分解領域上の多項式環が一意の因数分解領域でもあることを 証明する場合に使用されます。

体上の多項式環は一意の因数分解領域です。一意の因数分解領域上の多項式環についても同様です。これを証明するには、一変数の場合を考えれば十分です。一般的な場合は不定数の個数に関する帰納法で演繹できるからです。

一意の因数分解特性は、ユークリッドの補題から直接導かれます。つまり、既約元が積を割り切る場合、その既約元は因数の 1 つを割り切るということです。体上の単変数多項式の場合、これはベズーの恒等式から得られ、ベズーの恒等式自体はユークリッドの互除法から得られます。

そこで、R を体ではない一意の因数分解領域とし、R [ X ] をR上の一変数多項式環とします。 R [ X ]の既約元rは、 Rの既約元または既約原始多項式のいずれかです。

rがRに含まれ、2 つの多項式の積を割り切る場合、その内容も割り切ることになります。したがって、 Rにおけるユークリッドの補題により、内容の 1 つ、つまり多項式の 1 つを割り切ることになります。 ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$${\displaystyle c(P_{1}P_{2})=c(P_{1})c(P_{2}).}$

rがRでない場合、それは原始多項式です（既約であるため）。すると、R [ X ]におけるユークリッドの補題は、K [ X ]におけるユークリッドの補題から直接得られます。ここで、 K はRの分数体です。

多変数多項式を体または整数上で因数分解する場合、それを、不定値が 1 つ少ない多項式環の係数を持つ単変数多項式として考えることができます。この場合、因数分解は、原始部分と内容を別々に因数分解することに簡略化されます。内容は不定値が 1 つ少ないため、この方法を再帰的に適用することで因数分解できます。原始部分を因数分解する場合、標準的な方法は、残りの変数の次数を変更しない方法で係数の不定値に整数を代入し、結果として得られる単変数多項式を因数分解し、結果を原始部分の因数分解に持ち上げることから構成されます。

• 有理根定理

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