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代数学において、整数係数を持つ非零多項式（より一般的には、一意の因数分解領域に属する係数を持つ多項式）の内容は、その係数の最大公約数である。このような多項式の原始部分は、多項式をその内容で割った商である。したがって、多項式はその原始部分とその内容の積であり、この因数分解は、内容に係数環の単位元を掛ける（および原始部分に単位元の逆元を掛ける）ことを除いて一意である。
多項式の内容が1に等しい場合、その多項式は原始多項式である。したがって、多項式の原始部分は原始多項式である。
ガウスの多項式の補題によれば、原始多項式（係数が同じ一意分解領域に属するもの）の積もまた原始多項式となる。これは、2つの多項式の積の内容と原始部分は、それぞれ内容の積と原始部分の積に等しいことを意味する。
最大公約数の計算は一般的に多項式の因数分解よりもはるかに容易であるため、多項式の因数分解アルゴリズムの最初のステップは、通常、その原始部分と内容の因数分解を計算することです（「多項式の因数分解」§ 「原始部分と内容の因数分解」を参照）。すると、因数分解の問題は、内容と原始部分を別々に因数分解することに帰着します。
内容と原始部分は、有理数体上の多項式、さらに一般的には、一意の因数分解領域を持つ分数体上の多項式へと一般化できる。これにより、整数体上の多項式と有理数体上の多項式の最大公約数計算と因数分解の問題は、本質的に同等となる。
整数係数を持つ多項式の場合、その内容は係数の最大公約数か、その加法逆元のいずれかになります。どちらを選ぶかは任意であり、さらに別の慣例によって決まる場合もありますが、一般的には原始部分の最高次係数は正であるとされています。
例えば、−12、30、−20の最大公約数は2なので、2または−2のいずれかになります。内容として2を選択した場合、この多項式の原始部分は次のようになります。
したがって、原始部分内容の因数分解は
美的理由から、負の値（ここでは-2）を選択することが好まれる場合が多く、これにより原始部分の内容の因数分解が得られます。
この記事の残りの部分では、一意の因数分解領域R上の多項式を考察します。R は通常、整数環、または体上の多項式環です。R では、最大公約数は明確に定義されており、 Rの単位元による乗算を除いて一意です。
係数がRである多項式Pの内容c ( P )は、その係数の最大公約数であり、したがって、1 倍を除いて定義されます。Pの原始部分pp ( P )は、 Pの内容で割ったP / c ( P )の商です。これは、係数がRである多項式であり、1 倍を除いて一意です。内容が単位uを掛けて変更された場合、等式を維持するために、原始部分も同じ単位で割って変更する必要があります。 これはP の原始部分内容分解と呼ばれます。
内容と原始部分の主な性質はガウスの補題の結果であり、2つの原始多項式の積は原始的であると主張する。ここで、多項式は、その係数の最大公約数が1である場合に原始的である。これは次のことを意味する。
最後の性質は、多項式の原始部分内容の因数分解を計算すると、その完全な因数分解の計算が内容と原始部分の個別の因数分解に帰着することを意味します。これは一般的に興味深いことです。なぜなら、素部分内容の因数分解の計算には、 Rにおける最大公約数の計算のみが必要であり、これは通常、因数分解よりもはるかに容易だからです。
原始部分内容分解は、次のように有理係数を持つ多項式に拡張できます。
有理係数を持つ多項式Pが与えられたとき、その係数を同じ共通分母dで書き換えることで、 P を次のように書き換えることができる。
ここで、Q は整数係数の多項式です。P の内容は Qの内容をdで割った商です。
そして、Pの原始部分はQの原始部分である。
この定義が共通分母の選択に依存しないこと、そして原始部分内容分解が依然として有効であることを示すのは容易である。
これは、有理数上のすべての多項式が整数上の一意な原始多項式と関連付けられており、ユークリッドの互除法によってこの原始多項式を計算できることを示している。
その結果、有理数体上の多項式の因数分解は、整数体上の原始多項式の因数分解と等価になります。体上の係数を持つ多項式は整数係数を持つ多項式よりも一般的であるため、この等価性は整数係数を持つ多項式の因数分解にも使えるように思えるかもしれません。しかし実際には、真実は正反対です。有理数係数を持つ多項式の因数分解に関する既知の効率的なアルゴリズムはすべて、この等価性を利用して問題をある素数 p で割った余りに縮小しています( 「多項式の因数分解」を参照)。
この等価性は、多項式の最大公約数を計算する際にも使用されますが、ユークリッドの互除法は有理係数を持つ多項式に対して定義されています。実際、この場合、ユークリッドの互除法では多くの分数の既約形を計算する必要があり、そのため、整数上の多項式のみを扱うアルゴリズムよりも効率が悪くなります（ 「多項式の最大公約数」を参照）。
整数環と有理数体がそれぞれ任意の一意分解領域Rとその分数体Kに置き換えられた場合でも、前の節の結果は有効です。
これは通常、多変数多項式の因数分解や、一意な因数分解領域上の多項式環が一意な因数分解領域であることを証明するために用いられます。
体上の多項式環は一意分解領域である。一意分解領域上の多項式環についても同様である。これを証明するには、単変数の場合を考察すれば十分であり、一般の場合は不定元数に関する帰納法によって証明できる。
一意分解の性質は、ユークリッドの補題の直接的な帰結である。すなわち、既約元が積を割り切るならば、その元は因数のいずれかを割り切る。体上の一変数多項式の場合、これはベズーの恒等式から導かれ、ベズーの恒等式自体はユークリッドの互除法から導かれる。
そこで、R を体ではない一意分解領域とし、R [ X ]をR上の一変数多項式環とする。R [ X ]の既約元rは、Rの既約元か、または既約原始多項式のいずれかである。
rがR の要素であり、積を割り切る場合2 つの多項式のしたがって、 Rにおけるユークリッドの補題により、それは内容の 1 つを割り切り、したがって多項式の 1 つを割り切る。
rがRでない場合、それは原始多項式です (既約であるため)。すると、R [ X ]におけるユークリッドの補題は、K [ X ]におけるユークリッドの補題から直ちに得られます。ここで、 KはRの分数体です。
体上または整数上の多変数多項式を因数分解する場合、それを不定元が 1 つ少ない多項式環の係数を持つ単変数多項式とみなすことができます。すると、因数分解は原始部分と内容を別々に因数分解することに帰着します。内容は不定元が 1 つ少ないため、再帰的に方法を適用して因数分解できます。原始部分を因数分解するための標準的な方法は、残りの変数の次数を変えないように係数の不定元に整数を代入し、結果として得られる単変数多項式を因数分解し、その結果を原始部分の因数分解に持ち上げることからなります。
