2乗の差

因数分解の恒等式の証明は簡単である。右辺から始めて、分配法則を適用すると、 $${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$交換法則 により、真ん中の2つの項は相殺される。 $${\displaystyle ba-ab=0}$$ 去る^{[ 1 ]}$${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}.}$$ 得られた恒等式は、数学において最もよく用いられるものの1つである。多くの用途の中でも、2変数におけるAM-GM不等式の簡単な証明を与えるものとして用いられる。

この証明は数だけでなく、任意の可換環の要素にも当てはまります。逆に、この恒等式が環Rにおいてすべての要素aとb のペアに対して成り立つならば、Rは可換環です。これを確認するには、等式の右辺に分配法則を適用して、次の式を得ます。 $${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$これ が等しくなるためには${\displaystyle \textstyle a^{2}-b^{2}}$⁠、私たちは $${\displaystyle ba-ab=0}$$ すべてのペアa、bに対して、Rは可換である。

2 つの正方形の差は、平面上の 2 つの正方形の面積の差として幾何学的に表すこともできます。図では、影付き部分は 2 つの正方形の面積の差を表しています。${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$影付き部分の面積は、2つの長方形の面積を足し合わせることで求められます。${\displaystyle a(ab)+b(ab)}$は、次のように因数分解できます。${\displaystyle (a+b)(ab)}$。 したがって、${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$。

別の幾何学的証明は次のように進みます。まず、下の最初の図に示す図形、つまり大きな正方形から小さな正方形を取り除いた図形から始めます。全体の正方形の一辺の長さは a、取り除かれた小さな正方形の一辺の長さは b です。したがって、影付き部分の面積は次のようになります。${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$2番目の図に示すように、領域を2つの長方形に分割する切り込みを入れます。上側の大きい方のピースは幅a、高さabです。下側の小さい方のピースは幅ab、高さbです。ここで、小さい方のピースを切り離し、回転させて、大きい方のピースの右側に配置します。下の最後の図に示すこの新しい配置では、2つのピースが合わさって幅が1つの長方形を形成します。${\displaystyle a+b}$そしてその身長は${\displaystyle ab}$この長方形の面積は${\displaystyle (a+b)(ab)}$この長方形は元の図形を並べ替えてできたものなので、元の図形と同じ面積を持つはずです。したがって、${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$[ ^{2 ]​}

2 乗の差の公式は、最初の量の 2 乗から 2 番目の量の 2 乗を引いたものを含む多項式の因数分解に使用できます。たとえば、多項式${\displaystyle x^{4}-1}$次のように因数分解できます。

$${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1).}$$

2番目の例として、${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy}$因数分解すると${\displaystyle (x+y)(xy)}$つまり、次のようになります。 $${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy=(x+y)(xy)+xy=(xy)(x+y+1).}$$ さらに、この公式は式の簡略化にも使用できます。 $${\displaystyle (a+b)^{2}-(ab)^{2}=(a+b+ab)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab.}$$

2つの平方数の差は、複素数係数を用いて、2つの平方数の和の線形因数を求めるために利用できる。

例えば、${\displaystyle z^{2}+4}$係数を導入することで見つけることができる${\displaystyle -i^{2}=1}$そして、2乗の差を用いると：

$${\displaystyle {\begin{aligned}z^{2}+4&=z^{2}-4i^{2}\\&=z^{2}-(2i)^{2}\\&=(z+2i)(z-2i).\\\end{aligned}}}$$

したがって、線形因子は${\displaystyle (z+2i)}$そして${\displaystyle (z-2i)}$。

この方法で得られる 2 つの因数は複素共役であるため、これを逆に利用して複素数を乗算して実数を得る方法にすることができます。これは複素分数の実数分母を得るために使用されます。^{[ 3 ]}

2 乗の差は、逆向きに無理分母の有理化にも使用できます。^{[ 4 ]}これは、平方根を含むいくつかの組み合わせによる除算に適用して、式から無理数を取り除く（または少なくとも移動させる）方法です。

例えば、分母は${\displaystyle {\frac {5}{4+{\sqrt {3}}}}}$以下のように合理的に説明できる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}&={\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}\times {\dfrac {4-{\sqrt {3}}}{4-{\sqrt {3}}}}\\[10mu]&={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{4^{2}-{\sqrt {3}}^{2}}}={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{16-3}}={\frac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{13}}.\end{aligned}}}$$

ここで、無理数分母${\displaystyle 4+{\sqrt {3}}}$合理化されて${\displaystyle 13}$。

2つの数の平方の差は、計算の近道としても利用できます。2つの数の平均値が簡単に2乗できる場合、それらの積は2つの数の平方の差として書き換えることができます。例： $$27×33=(30-3)(30+3)=30²-3²=891。$$

連続する2つの平方数の差は、2つの底nとn +1の和になります。これは次のように表すことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{2}-n^{2}&=((n+1)+n)((n+1)-n)\\[5mu]&=2n+1.\end{aligned}}}$$

したがって、連続する2つの平方数の差は奇数になります。同様に、任意の2つの平方数の差は次のように計算されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+k)^{2}-n^{2}&=((n+k)+n)((n+k)-n)\\[5mu]&=k(2n+k).\end{aligned}}}$$

したがって、偶数の平方数の差は4の倍数であり、奇数の平方数の差は8の倍数である。

連続する平方数の差から派生したガリレオの奇数の法則は、重力が一定で抵抗なく落下する物体が、連続する等しい時間間隔で移動する距離は、奇数に比例するというものである。つまり、静止状態から落下する物体が任意の時間間隔で一定の距離を移動した場合、その後の同じ長さの時間間隔では、その距離の3倍、5倍、7倍などとなる。

等速直線運動の式から、移動距離は $$s=ut+1/2at²$$ 初速の場合${\displaystyle u=0,}$一定の加速度${\displaystyle a}$（空気抵抗のない重力による加速度）と経過時間${\displaystyle t,}$したがって、距離は${\displaystyle s}$に比例する$t²$（記号で、${\displaystyle s\propto t^{2}}$)したがって、開始点からの距離は、経過時間の整数値に対応する連続した正方形になります。 ^{[ 5 ]}

数論や暗号学におけるいくつかのアルゴリズムは、平方差を用いて整数の因数を見つけ、合成数を検出する。簡単な例として、数列を考慮するフェルマー因数分解法がある。${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$、 のために${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$. もし${\displaystyle x_{i}}$平方数に等しい${\displaystyle b^{2}}$、 それから${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$は、(潜在的に非自明な) 因数分解である。${\displaystyle N}$。

このトリックは次のように一般化できます。${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$モジュール${\displaystyle N}$そして${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$モジュール${\displaystyle N}$、 それから${\displaystyle N}$非自明な要素と複合している${\displaystyle \gcd(ab,N)}$そして${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$これはいくつかの因数分解アルゴリズム（二次篩法など）の基礎を形成し、フェルマー素数判定法と組み合わせることで、より強力なミラー・ラビン素数判定法が得られます。

aとbが可換環の2つの要素である場合、 ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}$$

2番目の因子は、${\displaystyle (a+b)^{n-1}}$ただし、二項係数は含まれません。${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$⁠ .