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既約分数（または最小分数、最も単純な形、約分数）は、分子と分母が1（負の数の場合は-1）以外の公約数を持たない整数である分数です。 [1]言い換えれば、分数1つの/b は、aとb が互いに素である場合、つまり、aとbの最大公約数が1 である場合に限り、既約です。高等数学では、「既約分数」は、分子と分母が互いに素な多項式である有理分数を指すこともあります。[2]すべての有理数は、正の分母を持つ既約分数として正確に 1 つの方法で表すことができます。[3]
同等の定義が役に立つこともある。aとbが整数の場合、分数は1つの/b は、他の等しい分数が存在しない場合にのみ、既約であるc/dつまり、| c | < | a |または| d | < | b |となります。ここで、| a | はaの絶対値を意味します。[4]（2つの分数1つの/bとc/d は、 ad = bcの場合にのみ等しいか同等 です。
例えば、1/4、5/6、および−101/100 はすべて既約分数です。一方、2/4はと等しい値なので、約分可能です。1/2 、およびの分子1/2 はの分子より小さい2/4 .
約分可能な分数は、分子と分母の両方を共通の因数で割ることで約分できます。両方を最大公約数で割ると、最小の項まで完全に約分できます。[5]最大公約数を見つけるには、ユークリッドの互除法または素因数分解を使用できます。ユークリッドの互除法は、分子と分母が大きすぎて簡単に因数分解できない分数を約分できるため、一般的に好まれています。[6]
例
最初のステップでは、両方の数字が120と90に共通する因数である10で割られました。2番目のステップでは、3で割られました。最終結果は、4/3 は、4 と 3 には 1 以外の共通因数がないので、既約分数です。
元の分数は、90と120の最大公約数である30を使って1ステップで約分することもできます。120 ÷30= 4、90 ÷30=3なので、
「手作業」でどちらの方法の方が速いかは、分数と共通因数の見つけやすさによって異なります。分母と分子が大きすぎて、検査によって互いに素であることが確認できない場合は、分数が実際に約分不可能であることを確認するために、いずれにしても最大公約数の計算が必要になります。
ユニークさ
あらゆる有理数は、正の分母を持つ既約分数として一意に表現される[3]（ただし、2/3 = −2/−3 （両方とも既約ではないが）。一意性は、整数の一意な素因数分解の結果である。1つの/b = c/d はad = bcを意味するので、後者の両辺は同じ素因数分解を共有する必要がありますが、 aとb は素因数を共有しないため、 aの素因数集合 (重複あり) はcの素因数集合の部分集合であり、その逆も同様です。つまり、 a = cであり、同じ議論によりb = dです。
アプリケーション
あらゆる有理数が既約分数として一意に表現されるという事実は、2の平方根やその他の無理数の無理数のさまざまな証明に利用されています。たとえば、ある証明では、√2が整数の比として表現できる場合、特に完全に簡約された表現を持つと指摘しています。1つの/bここで、aとbは可能な限り小さい値です。しかし、1つの/b は√ 2に等しいので、 も同様です。2 b − a/a − b （これをと掛け合わせると1つの/b はそれらが等しいことを示しています。a > b なので（√ 2 は 1 より大きいため）、後者は 2 つの小さい整数の比です。これは矛盾であるため、 2 の平方根が 2 つの整数の比として表現できるという前提は誤りです。
一般化
既約分数の概念は、任意の一意な因数分解領域の分数体に一般化される。そのような体の任意の元は、分母と分子を最大公約数で割ることによって、分母と分子が互いに素である分数として表すことができる。[7]これは、体上の有理式に特に当てはまる。与えられた元の既約分数は、分母と分子に同じ可逆な元を乗じない限り一意である。有理数の場合、これは、任意の数に、分子と分母の両方の符号の変化によって関連付けられた2つの既約分数があることを意味する。この曖昧さは、分母が正であることを要求することによって排除できる。有理関数の場合、分母は同様に単項多項式であることが要求される。[8]
参照
- 異常なキャンセル。元の既約形式の数字をキャンセルすることで、正しい既約分数を生成する誤った算術手順。
- ディオファントス近似、有理数による実数の近似。
参考文献
- ^ Stepanov, SA (2001) [1994]、「分数」、数学百科事典、EMS Press
- ^ たとえば、ラウダル、オラフ・アーンフィンを参照。 Piene、Ragni (2004)、The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial、オスロ、2002 年 6 月 3 ～ 8 日、Springer、p. 155、ISBN 9783540438267
- ^ ab スコット、ウィリアム（1844）、算術と代数の要素：王立陸軍士官学校用、大学の教科書、サンドハースト。王立陸軍士官学校、第1巻、ロングマン、ブラウン、グリーン、ロングマンズ、p。75。
- ^ スコット（1844）、74ページ。
- ^ サリー、ジュディス D.、サリー、ポール J. ジュニア(2012)、「9.1. 分数の最小項への縮約」、整数、分数、算術: 教師向けガイド、MSRI 数学サークル ライブラリ、第 10 巻、アメリカ数学会、pp. 131–134、ISBN 9780821887981。
- ^ Cuoco, Al; Rotman, Joseph (2013)、「Learning Modern Algebra」、アメリカ数学協会教科書、アメリカ数学協会、p. 33、ISBN 9781939512017。
- ^ ギャレット、ポール B. (2007)、抽象代数、CRC プレス、p. 183、ISBN 9781584886907。
- ^ グリエ、ピエール・アントワーヌ（2007）、抽象代数、数学の大学院テキスト、第242巻、シュプリンガー、Lemma 9.2、p. 183、ISBN 9780387715681。
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「約分分数」。MathWorld。