曲線短縮流

流れが明確に定義されるためには、与えられた曲線は連続的な曲率を持つほど十分に滑らかでなければなりません。しかし、流れが始まると、曲線は解析的になり、曲率が爆発する特異点に達するまでその状態が続きます。交差のない滑らかな曲線の場合、唯一起こりうる特異点は曲線が一点に縮退するときですが、埋め込み曲線には他の種類の特異点が存在する可能性があります。^{[ 5 ]} このような場合、注意深く行えば、曲線全体が一点に縮退するまで、これらの特異点を超えて流れを続けることができます。^{[ 6 ]}

単純な閉曲線の場合、レベルセット法に基づく流れの非滑らかな曲線への拡張を使用すると、可能性は 2 つしかありません。ルベーグ測度がゼロの曲線(すべての多角形と区分的に滑らかな曲線を含む) は、瞬時に滑らかな曲線に進化し、その後は他の滑らかな曲線と同様に進化します。しかし、測度がゼロでないオスグッド曲線は、代わりに面積がゼロでない滑らかな境界を持つ位相的環状領域に即座に進化します。^{[ 7 ]}位相幾何学者の正弦曲線は、局所的に連結していないにもかかわらず、瞬時に滑らかになる例です。このような例は、曲線短縮の流れの逆進化が、有限時間内に良好な曲線を複雑な特異点に導く可能性があることを示しています。^{[ 8 ]}

曲線短縮流、および曲線短縮流に関する多くの結果は、ユークリッド平面から任意の2次元リーマン多様体に一般化できます。追加の特異点を避けるためには、多様体が無限遠で凸であることが重要です。これは、測地線凸性を使用して定義されるように、すべてのコンパクト集合がコンパクトな凸包を持つことを意味します。曲線短縮流は曲線をその凸包から逸脱させることはできないため、この条件により、曲線の一部が多様体の境界に到達することが防止されます。^{[ 9 ]}

曲線短縮流は、3 次元ユークリッド空間の曲線についても研究されています。この場合の法線ベクトルは (平面の場合と同様に) 接線ベクトルを弧長で微分し、単位ベクトルに正規化したものとして定義できます。これは、フレネ・セレ フレームの成分の 1 つです。これは、曲率がゼロの点では適切に定義されませんが、曲率と法線ベクトルの積はこれらの点でも適切に定義されるため、曲線短縮流を定義できます。空間内の曲線は、この流れに従って互いに、または自身と交差する可能性があり、流れは曲線に特異点をもたらす可能性があります。すべての特異点は、平面に漸近します。^{[ 10 ]}ただし、球面曲線と、正則凸平面曲線に直交投影できる曲線は、単純のままであることが知られています。^{[ 11 ]}空間曲線の曲線短縮流は、平面曲線の特異点を通過する流れを定義する方法として使用されています。^{[ 12 ]}

流れの定義を曲線よりも一般的な入力に拡張することは可能であり、例えば、可測バリフォールドやレベルセット法を用いることができる。しかし、これらの拡張された定義では、曲線の一部が瞬時に消滅したり、面積がゼロでない集合に肥大化したりする可能性がある。^{[ 13 ]}

この問題のよく研究される変種は、内部的に互いに素な滑らかな曲線のネットワークで、3 つ以上の曲線が交わる接合部があります。接合部すべてに 2π/3 の角度で交わる曲線がちょうど 3 つある場合(最適なシュタイナー木や 2 次元の石鹸の泡に見られる条件と同じ)、流れは短期的には明確に定義されます。しかし、最終的には 4 つ以上の曲線が接合部で交わる特異な状態に達する可能性があり、そのような特異点を超えて流れを継続する方法は 1 つ以上ある可能性があります。^{[ 14 ]}

互いに分離した2つの滑らかな単純閉曲線が同時に曲線短縮流を受ける場合、流れが進むにつれてそれらは分離したままになります。その理由は、2つの滑らかな曲線が交差するように動く場合、最初の交差の時点では、曲線は交差することなく互いに接線を結んでいるからです。しかし、そのような状況では、接点における2つの曲線の曲率は、それらを交差させるために押し合わせるのではなく、必然的にそれらを引き離します。同じ理由で、1つの単純閉曲線がそれ自身と交差するように進化することはありません。この現象は回避原理として知られています。^{[ 15 ]}

回避原理によれば、滑らかな閉曲線は必ず最終的に特異点、例えば無限曲率点に到達しなければならない。なぜなら、与えられた滑らかな曲線C が円で囲まれている場合、両者が存在する限り、両者は分離したままとなるからである。しかし、囲んでいる円は曲率の流れによって縮小し、円形のまま崩壊するまでその状態が続く。そして回避原理によれば、C は円の中に収まらなければならない。したがって、C が特異点に到達しないとすれば、円が崩壊する時点で単一の点に閉じ込められることになるが、これは滑らかな曲線ではあり得ないことである。これは、Cを囲む最小の円の半径が、同じ流れを受ける円の半径の減少率と少なくとも同程度の速度で減少しなければならないことを観察することで定量化できる。^{[ 16 ]}

Huisken (1998) は、単一曲線の回避原理を、弧長 (2 つの弧のうち短い方)と点のペア間のユークリッド距離の比 (ストレッチ係数と呼ばれることもある) で定量化している。彼は、ストレッチ係数は、円の直径の両端の場合を除いて、その局所最大値で厳密に減少することを示している。この場合、ストレッチ係数はπで一定である。この単調性は回避原理を意味している。なぜなら、曲線が自分自身に接触すると、2 つの接触点でストレッチ係数が無限大になるからである。^{[ 17 ]}

曲線が曲線短縮流を受けると、その長さLは次の式で与えられる割合で減少する。

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int \kappa ^{2}\,ds,}$

ここで、積分は曲線全体にわたって行われ、κは曲率、sは曲線に沿った弧長です。被積分関数は常に非負であり、任意の滑らかな閉曲線に対して、被積分関数が厳密に正となる弧が存在するため、長さは単調に減少します。より一般的には、法線速度がfである曲線の任意の発展に対して、長さの変化率は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}=-\int f\kappa \,ds,}$

これは、与えられた進化と曲線短縮フローとの間の 負の内積として解釈できます。したがって、曲線短縮フローは、長さの勾配フロー、つまりフローのL ²ノルムに対して曲線の長さを（局所的に）できるだけ速く減少させるフローとして記述できます。この特性が、曲線短縮フローにその名前を与えています。^{[ 18 ]}

単純な閉曲線の場合、曲線で囲まれた面積は、曲線の種類に関係なく、単位時間あたり 2π 単位の面積という一定の割合で縮小します。したがって、曲線が一点に縮小するまでの合計時間は、初期形状に関係なく、その面積に比例します。[ ^{19 ]曲線} の面積は一定の割合で減少し、(等周不等式により) 円は与えられた長さの単純な閉曲線の中で最大の面積を持つため、曲線短縮流の下で一点に崩壊するのに最も遅い曲線は円であることがわかります。他のすべての曲線は、同じ長さの円よりも崩壊するのにかかる時間が短くなります。^{[ 20 ]}

面積減少率が一定であることは、曲線短縮流が満たす唯一の保存則である。これは、曲線が最終的に崩壊する「消失点」を、曲線上の任意の点とその導関数の積分として表現することはできないことを意味する。なぜなら、そのような表現は、禁じられた第二の保存則につながるからである。 ^{[ 21 ]}しかし、面積減少率が一定であることと回避原理を組み合わせることで、消失点は常に、最小外接円と同心円で、その面積が外接円と与えられた曲線の面積の差である円の内側にあることを証明できる。^{[ 22 ]}

滑らかな曲線の全絶対曲率は、曲線の弧長に沿った曲率の絶対値の積分である。

${\displaystyle K=\int |\kappa |\,ds.}$

また、連続する変曲点のペアにおける法線ベクトル間の角度の合計としても表すことができます。凸曲線の場合は 2π であり、非凸曲線の場合はそれよりも大きくなり、曲線の非凸性の尺度として機能します。^{[ 23 ]}

曲線短縮の流れによって新たな変曲点が生成されることはありません。^{[ 24 ]} 総絶対曲率を合計として表した各角度は、連続する 2 つの変曲点が互いに同じ角度または位置に達して両方とも消滅する瞬間を除いて、単調に減少します。したがって、曲線が進化するにつれて総絶対曲率が増加することはありません。凸曲線の場合は 2π で一定であり、非凸曲線の場合は単調に減少します。^{[ 25 ]}

滑らかな単純閉曲線が曲線短縮流を受けると、自己交差することなく滑らかに埋め込まれた状態を維持します。最終的には凸になり、一度凸になると凸のままになります。その後、曲線のすべての点が内側に移動し、曲線全体が一点に縮むにつれて曲線の形状は円に収束します。この挙動は、すべての単純閉曲線が「丸い点」に縮むと要約されることがあります。^{[ 26 ]}

この結果は、Michael Gage、Richard S. Hamilton、および Matthew Graysonによるものです。Gage ( 1983、1984 )は、一点に収縮する凸曲線が円に収束することを証明しました。より具体的には、Gage は、等周比(曲線の長さの二乗と面積の比、円の場合は 4π、その他の凸曲線の場合はそれより大きい値)が単調かつ急速に減少することを示しました。GageとHamilton (1986)は、すべての滑らかな凸曲線は最終的に他の特異点を形成することなく一点に収縮することを証明し、Grayson (1987)は、すべての非凸曲線は最終的に凸になることを証明しました。^{[ 27 ]} AndrewsとBryan (2011) は、伸縮係数の単調性に基づいて、Grayson の結果のより簡単な証明を提供しています。 

同様の結果は、閉曲線から局所リプシッツ条件を満たす非有界曲線に拡張できます。このような曲線の場合、曲線の両側が無限の面積を持つ場合、進化した曲線は、常に滑らかで特異点のないままです。しかし、非有界曲線の片側が有限の面積を持ち、曲線が有限の絶対曲率を持つ場合、その進化は、曲線の有限面積側の面積に比例する時間で特異点に達し、特異点の近くでは曲率が非有界になります。^{[ 28 ]}十分に良好な振る舞いをする関数のグラフである曲線の場合、各方向の光線に漸近すると、解は形状が収束して、同じ光線に漸近する一意の形状になります。^{[ 29 ]} 同一線上の互いに素な 2 つの光線と、それらの光線の端点を結ぶ 2 つの滑らかな曲線によって形成されるネットワークについては、ゲージ-ハミルトン-グレイソン定理の類似物が成り立ち、2 つの曲線の間の領域は凸状になり、その後、魚の形に収束する。^{[ 30 ]}

自己交差を持つ曲線は、一点に収縮する前に特異点に達することがあります。たとえば、レムニスケート（ 8の字や無限大記号に似た、1つの交差を持つ滑らかな埋め込み曲線）の2つの葉の面積が異なる場合、最終的には小さい方の葉が一点に収縮します。しかし、2つの葉の面積が等しい場合、曲線の進化全体を通して面積は等しく保たれ、曲線が特異点に収縮するにつれて等周比は発散します。^{[ 4 ]}

局所凸の自己交差曲線が、そのループの 1 つが縮小するにつれて特異点に近づくとき、それは自己相似的に縮小するか、縮小するにつれて漸近的に死神曲線 (後述) に近づきます。ループが特異点に崩壊するとき、失われる全絶対曲率の量は、少なくとも 2πまたはちょうどπです。^{[ 31 ]}

リーマン多様体上では、任意の滑らかな単純閉曲線は、ユークリッドの場合と同様に、時間経過とともに滑らかで単純なままになります。有限時間内に一点に縮退するか、永遠に滑らかで単純なままになります。後者の場合、曲線は必ず曲面の閉測地線に収束します。 ^{[ 32 ]}

リーマン多様体上の埋め込み曲線は、有限個の自己交差を持ち、離散的な時間集合でのみ自己接線となり、その各時間集合で交差が1つ失われます。結果として、自己交差点の数は増加しません。^{[ 33 ]}

球面上の曲線短縮は、テニスボール定理の証明の一部として使用できます。この定理は、球面を2つの等しい領域に分割する球面上のすべての滑らかな単純閉曲線（テニスボールの縫い目など）は、少なくとも4つの変曲点を持つ必要があると述べています。証明は、曲線短縮が曲線の滑らかさと面積二等分特性を保持し、変曲点の数を増やさないという観察に基づいています。したがって、この問題は、曲線短縮の極限形状である大円に近い曲線の問題に還元できます。^{[ 34 ]}

Huiskenの単調性公式によれば、時間反転した熱核と変化する曲線の畳み込みは非増加である。この結果は、変化の特異点を分析するために使用できる。^{[ 35 ]}

他のすべての単純閉曲線は円に収束するため、円は曲線短縮流の下で形状を維持する唯一の単純閉曲線です。しかし、単純でない（自己交差を含む）または閉じていない（無限に伸びる）曲線で形状を維持する例は他にもたくさんあります。特に、^{[ 36 ]}

• 曲線短縮の流れによって変化しない線は、直線のみです。曲線短縮の流れの影響を受けない曲線は直線のみですが、 ^{[ 36 ]}平面の六角形タイル張りなど、より複雑で安定した曲線のネットワークも存在します。
• 死神曲線y = − log cos x は、形状を変えずに上方に移動します。同様に、死神曲線に似た曲線は、曲線短縮流によって平行移動され、形状や向きを変えることなく、曲線の対称軸の方向にシフトします。この性質を持つ曲線は死神曲線だけです。^{[ 36 ]}物理学の文献では、ヘアピンモデルとも呼ばれています。 ^{[ 37 ]}
• トーラス結び目の射影から得られる自己交差閉曲線の族は、相似的に縮小するが、曲線短縮流の下では自己相似性を維持する。^{[ 36 ]}これらは、 Abresch & Langer (1986)の研究にちなんでAbresch–Langer 曲線として知られるようになったが、^{[ 38 ]} Mullins (1956)によって以前に言及され、 Epstein & Weinstein (1987)によって独立に再発見された。これらの曲線は局所的に凸であるため、そのサポート関数によって記述できる。これらのサポート関数の適切なスケーリングバージョンは、微分方程式に従う。

  ${\displaystyle h''+h={\frac {1}{h}},}$

これは、 πと の間にある任意の周期に対して正の周期解 (自己相似的な発展を持つ曲線に対応) を持つ。${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$[ ^{38 ]​}

• 無限螺旋を含むその他の曲線は、回転や回転、収縮または膨張、並進の組み合わせを含むより複雑な運動で自己相似性を維持します。^{[ 36 ]}
• 滑らかな曲線のネットワークで、2 π /3 の角度で接合部で 3 つずつ交わる場合、自己相似な縮小解には、2 つの等しい領域を囲む二重の泡、2 つの合同な円弧と、レンズの角に頂点を持つ 2 つの共線光線で囲まれたレンズ形状 ( vesica piscis )、線分、2 つの光線、凸曲線で囲まれた「魚形」ネットワークが含まれます。他の自己相似な縮小ネットワークには、より多くの曲線が含まれます。^{[ 39 ]}別のネットワークのファミリーは相似的に成長し、自己相似性を維持します。これらは、3 つの接合部で 2 π /3の角度で交わる木のような曲線のネットワークで、共​​通の端点で交わる2 つ以上の光線の扇形に漸近します。これらの形状の 2 つの光線の場合、無限の滑らかな曲線になります。 3 つ以上の光線の場合、これらの形状の進化は、バリフォールドの場合のような曲線短縮フローの一般化された変種を使用して定義できます。4 つ以上の光線の特定のファンは、この種の複数の異なる解に漸近する可能性があるため、これらの解は、光線のファンから始まる曲線短縮フローの一意の定義を提供しません。^{[ 40 ]}

流れの問題に対する古代の解は、特異点を持たずにすべての時間にわたって進化を遡及できる曲線です。拡大するのではなく縮小するか同じサイズを維持する自己相似解はすべて、この意味で古代の解です。これらは、順方向の曲線短縮の流れによって受ける自己相似変換を逆転させることで遡及できます。したがって、たとえば、円、死神曲線、アブレッシュ・ランガー曲線はすべて古代の解です。^{[ 41 ]}

自己相似ではない例も存在する。具体的な例としては、Angenent (1992)の研究に基づくAngenent楕円解が挙げられる。この曲線群は、接線角の関数として曲率を指定することでパラメータ化できる。

${\displaystyle k(\theta ,t)={\sqrt {\cos 2\theta -\operatorname {coth} 2t}}}$

そして、逆進化における極限形状は、反対方向から互いに近づく一対の死神曲線となる。^{[ 42 ]}デカルト座標系 では、それらは陰関数曲線方程式で与えられる可能性がある^{[ 43 ]。}

${\displaystyle \cosh ye^{-t}\cos x=0.}$

物理学の文献では、同じ形状はペーパークリップモデルとして知られています。^{[ 37 ]}

アンジェネント楕円解と収縮円解は、時間スライスが有界凸集合を囲む唯一の古代解である。^{[ 41 ]}グリムリーパー解、静止半空間解、静止ストリップ解は、時間スライスが非有界凸集合を囲む唯一の例である。^{[ 44 ]}さらに多くの（非埋め込み）局所凸例と、さらに多くの（非凸）埋め込み例が存在する。 ^{[ 45 ] [ 46 ]}

フロントトラッキング法は、流体力学において、異なる材料間の境界、気象前線などの材料特性の急勾配、または単一材料内の衝撃波の動きをモデル化および追跡するために長年使用されてきました。これらの方法は、境界の運動方程式を導出し、それを使用して境界の動きを直接シミュレートすることを含み、基礎となる流体をシミュレートして境界を流体の創発特性として扱うことはありません。^{[ 47 ]}同じ方法は、流れを受ける曲線が境界や衝撃波でない場合でも、曲線短縮流をシミュレートするためにも使用できます。

曲線短縮のフロントトラッキング法では、進化する曲線は多角形として離散化されます。有限差分法を使用して、多角形の各頂点における近似法線ベクトルと曲率の式を導出し、これらの値を使用して各時間ステップで各頂点をどのように移動させるかを決定します。^{[ 48 ]}曲線短縮フローは、曲線がそれ自身に垂直に動くことによって定義されますが、曲線短縮フローのいくつかのパラメータ化では、曲線を近似する頂点が非垂直に移動することを許可できます。事実上、これにより、曲線が進化するにつれて頂点が曲線に沿って移動することができます。慎重な再パラメータ化を選択すると、垂直移動によって頂点が密集してしまう状況で、頂点を曲線に沿ってより均等に再分配するのに役立ちます。^{[ 49 ]}メリマン、ベンス、オシャー（1992）は、これらの方法は高速かつ正確であるが、単純な閉曲線よりも複雑な入力に適用できる曲線短縮フローのバージョンに拡張するのははるかに複雑であり、特異点やトポロジーの変化に対処する必要があると述べている。

こうした方法のほとんどについて、Cao (2003)は「安定性の条件は簡単には決定できず、時間ステップはアドホックに選択する必要がある」と警告している。^{[ 50 ]} Crandall & Lions (1996)による別の有限差分法では、各頂点の曲率の式にラプラス演算子に基づく小さな項を追加することで修正している。この修正は楕円正則化と呼ばれ、一般化フローの存在を証明するのに役立つだけでなく、その数値シミュレーションにも使用できる。^{[ 51 ]}これを使用すると、Crandall と Lions の方法は収束することが証明でき、Cao が挙げている数値法の中で収束率の上限を備えている唯一の方法である。^{[ 52 ]}前進オイラー法、後退オイラー法、およびより正確なCrank–Nicolson有限差分法の経験的比較については、 Balažovjech & Mikula (2009)を参照のこと。

モフタリアンとマックワース（1992）は、曲線短縮流の近似値を計算する数値的手法を提案しており、この手法は曲線の離散的な近似値を維持し、2つのステップを交互に繰り返す。

• 正規化された弧長で測定した均一な間隔で新しいサンプル点を配置することにより、現在の曲線を再サンプリングします。
• 各点の位置を、標準偏差の小さいガウス関数で畳み込みます。これにより、各点の位置は、曲線上の近傍点の位置の加重平均（ガウス重み付き）に置き換えられます。ガウス関数の標準偏差は、この処理後もサンプル点の間隔がほぼ均一になるように十分に小さく選択する必要があります。

彼らが示すように、この方法は、サンプル点の数が増え、畳み込み半径の正規化された弧長が縮小する極限において、曲線短縮分布に収束します。^{[ 53 ]}

Merriman、Bence 、 Osher（1992）は、2次元の正方形グリッド（実質的にはピクセルの配列）上で動作するスキームについて説明しています。進化させる曲線は、曲線の外側のピクセルに値0（黒）、曲線の内側のピクセルに値1（白）を割り当てることで表現され、曲線の内側の指示関数を与えます。この表現は、2つのステップを交互に繰り返すことで更新されます。

• ピクセル化された画像を熱カーネルで畳み込み、短い時間ステップにおける熱方程式の下での画像の変化をシミュレートします。結果として得られるのは、画像のガウスぼかし、あるいは同等に、時間ステップの平方根に比例する半径を持つ指示関数のワイエルシュトラス変換です。
• 数値が1/2未満のすべてのピクセルを0に設定し、数値が1/2より大きいすべてのピクセルを1に設定して、画像を新しい位置で元の値に閾値処理します。

この方式が正確であるためには、時間ステップは、曲率が低い点でも曲線が少なくとも 1 ピクセル移動するのに十分な大きさである必要があり、かつ、ぼかしの半径が最小曲率半径よりも小さくなるように十分小さくなければなりません。したがって、ピクセルのサイズはO (min κ /max κ ² )でなければならず、適切な中間時間ステップを選択できるほど十分に小さくなければなりません。^{[ 54 ]}

この方法は、各領域に同じ方法を同時に適用することで、接合部で交わり平面を 3 つ以上の領域に分割する曲線のネットワークの進化に一般化できます。^{[ 54 ]} ぼかしと閾値処理の代わりに、この方法は、各ピクセルにガウス重みを持つメディアンフィルタを適用するものとして説明することもできます。熱カーネル以外のカーネルを使用したり、曲線の近くでは高解像度でありながら、結果に寄与しない曲線から遠いピクセルに時間とメモリを浪費しないようにグリッドを適応的に細分化することも可能です。^{[ 55 ]}ピクセル化された画像の 2 つの値だけを使用する代わりに、ピクセル値が曲線までの符号付き距離を表す画像を使用するこの方法のバージョンでは、サブピクセル精度を達成し、より低い解像度で済みます。^{[ 56 ]}

ウィリアム・W・マリンズ（1956 ）による曲線短縮流に関する初期の言及は、熱処理によって結晶化した金属の粒界が移動するアニーリングという物理的プロセスのモデルとして、この流れを動機づけている。空気圧の差によって一定の平均曲率の表面になる石鹸膜とは異なり、アニーリングにおける粒界は局所的な影響のみを受け、平均曲率の流れに従って移動する。この流れの一次元の場合、曲線短縮流は、粒界が実質的に二次元になり、その境界が一次元になるほど薄い金属板をアニーリングすることに対応する。^{[ 57 ]} 

画像処理とコンピュータビジョンにおいて、Mokhtarian & Mackworth (1992)は、デジタル画像から得られた形状の輪郭に曲線短縮フローを適用することで、形状からノイズを除去し、異なる解像度レベルで形状を簡略化した記述を提供するスケール空間を実現することを提案している。Mokhtarian と Mackworth の手法は、曲線短縮フローを計算し、フローに沿って曲線の変曲点を追跡し、変曲点の位置を時間パラメータに対して曲線の周囲にプロットしたグラフを描画することを含む。曲線が凸になるにつれて（Gage–Hamilton–Grayson の定理に従って）、変曲点は通常ペアで曲線から除去され、点のペアの寿命は形状の特徴の顕著性に対応する。曲線短縮フローの数値近似を計算するために彼らが説明するリサンプリング畳み込み法のため、彼らはこの手法をリサンプリング曲率スケール空間と呼んでいる。彼らは、このスケール空間が与えられた形状のユークリッド変換の下で不変であることを観察し、形状を一意に決定し、形状の小さな変化に対して頑健であると主張している。彼らは、形状のスケール空間の関連するいくつかの代替定義と実験的に比較し、再サンプリングされた曲率スケール空間は計算負荷が少なく、不均一なノイズに対してより頑健であり、小さなスケールの形状の違いによる影響が少ないことを発見した。^{[ 58 ]}

アレン・カーン方程式でモデル化された反応拡散系では、高速反応、低速拡散、および互いに同じエネルギーレベルを持つ2つ以上の局所的エネルギー最小値の場合の極限挙動は、システムが異なる局所的最小値の領域に落ち着くことであり、これらの領域間の境界を区切る前線は曲線短縮流に従って進化します。^{[ 59 ]}

セルオートマトンでは、無限のセルグリッド内の各セルは有限個の状態のいずれかを持ち、すべてのセルは隣接する少数のセルの構成のみに基づいて同時に状態を更新します。生命のようなセルオートマトン規則とは、グリッドが無限の正方格子であり、セルの状態が正確に2つあり、各セルの隣接セルの集合がムーア近傍の8つの隣接セルであり、更新規則がそれらの状態のより複雑な関数ではなく、2つの状態それぞれを持つ隣接セルの数のみに依存する規則です。ジェラール・ヴィクニアックによって導入され、ねじれ多数決規則または焼きなまし規則と呼ばれる特定の生命のような規則では、更新規則は、各セルの新しい値を、そのセルと8つの隣接セルによって与えられる9つのセルのうちの多数派に設定します。ただし、これらのセルが1つの状態を持つ4つと他の状態を持つ5つに分かれている場合は、セルの新しい値は多数派ではなく少数派になります。この規則の詳細なダイナミクスは複雑で、小さな安定構造の存在も含まれます。^{[ 60 ]}しかし、全体としては（すべての細胞がランダムな状態から開始した場合）、互いに同じ状態にある細胞の大きな領域が形成される傾向があり、これらの領域間の境界は曲線短縮の流れに従って進化します。^{[ 61 ]}

曲線短縮フローは、放物面のように、ガウス曲率が原点からの距離の非増加関数である曲面の等周不等式を証明するために使用できます。このような曲面では、任意の面積と、その面積に対する最小周長を持つ滑らかなコンパクト集合は、必ず原点を中心とする円になります。証明では、曲線短縮フローを2つの曲線、計量円と他の任意のコンパクト集合の境界に適用し、フローによって両方とも一点に縮小されるときの2つの曲線の周長の変化を比較します。^{[ 62 ]}曲線短縮フローは、 3つの測地線の定理、つまり、位相的に球と等価なすべての滑らかなリーマン多様体には、単純な閉曲線を形成する3つの測地線がある ことを証明するためにも使用できます。^{[ 63 ]}