ガウス曲率フロー

微分幾何学と幾何解析の数学の分野において、ガウス曲率フローは、リーマン多様体の有向超曲面に対する幾何フローである。2次元多様体における曲線の場合、これは曲線短縮フローと同一である。平均曲率フローは、曲線短縮フローを特殊なケースとして持つ、異なる幾何フローである。

S を滑らかなn次元多様体とし、 ( M , g )をn + 1次元の滑らかなリーマン多様体とする。 SのMへの浸漬fと、 fに沿った単位法線ベクトル場が与えられると、fの第二基本形式はS上の対称 2 テンソル場とみなすことができる。第一基本形式を介して、 S上の (1,1) テンソル場とみなすこともでき、ここでは形状演算子と呼ばれる。fのガウス曲率またはガウス・クロネッカー曲率はKで表され、形状演算子の点ごとの行列式として定義するか、または同等に (局所座標を基準として) 第二基本形式の行列式を第一基本形式の行列式で割ったものとして定義することができる。

ガウス曲率流を定義する方程式は

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}=-K\nu .}$

したがって、ガウス曲率フローは、滑らかな多様体S、1 次元大きい滑らかなリーマン多様体M 、 SからMへの 1 パラメータの浸漬族、および各浸漬に沿った滑らかな単位法線ベクトル場から構成され、上記の式が満たされます。

ガウス曲率フローの適切性は、Sが閉じている場合に決定されます。次に、nが 1 より大きく、滑らかな単位法線ベクトル場が選択された所定の浸漬が正定値の 2 番目の基本形式を持つ場合、「初期データ」fを持つガウス曲率フローの一意の解があります。^[1] nが 1 に等しく、曲線短縮フローの設定内にある場合、2 番目の基本形式の条件は不要です。^[2]

上記の存在定理と一意性定理により、ガウス曲率フローは、基本的に曲線短縮フローの場合と、高次元の閉じた凸超曲面の場合でのみ研究されてきました。次元に関係なく、( M、g )がユークリッド空間 ℝ ^{n + 1}である場合に最も広く研究されてきました。

曲線短縮フローの場合、マイケル・ゲージとリチャード・ハミルトンは、円の平面への凸埋め込みは有限時間内に点に変形し、フロー内の曲線の再スケーリングが円に滑らかに近づくことを示した。^[3]これは、マシュー・グレイソンが平面に埋め込まれた円は凸埋め込みに変形し、その時点でゲージとハミルトンの結果が適用されることを示す結果によって強化された。^[4]それ以来、凸性と非凸性の2つのケースを別々に扱わない証明が見つかっている。^[5]グレイソンは、無限大付近で一定の凸性を持つ完全な2次元リーマン多様体のより一般的な設定で、閉じた測地線または丸い点への収束を証明した。^[6]

ツォ・カイシンは、ミンコフスキー問題の解決法であるシュウ・ユエン・チェンとシン・トン・ヤウの手法を応用して、ゲージとハミルトンの結果の高次元版を研究した。^[7]特に、彼はガウス曲率フローを超曲面のサポート関数の放物線モンジュ・アンペール方程式として表現した。彼は、存在の最大時間は初期超曲面によって囲まれた体積の明示的な定数倍であり、フロー内の各超曲面は滑らかで厳密に凸であり、時間が最大値に近づくにつれて直径がゼロに収束することを示すことができた。^[8]

1999年、ベン・アンドリュースは、 よく知られたファイアリー予想の証明に成功し、 ℝ ³の凸面の場合、ツォの結果の面を再スケールして、丸い球に滑らかに収束できることを示した。^[9]彼の証明の鍵は、最大原理を量H ² − 4 Kに適用し、形状演算子の2つの固有値の点ごとの差の最大サイズが時間とともに増加できないことを示したことだった。アンドリュースによるユークリッド空間の凸超曲面に関する以前の結果と、ベネット・チョウによって発見されたリー・ヤウ・ハルナック不等式を適用して、流れを構成する面に対する均一な幾何学的制御を実現した。^[10]球への完全な収束には、クリロフ・サフォノフの定理が利用された。^[11]

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