バリフォールド

数学において、多様体とは、大まかに言えば、微分幾何学で通常見られる一般的な代数構造を維持しながら、微分可能性の要件を整流可能集合によって提供される要件に置き換えることによって、微分可能多様体の概念を測度論的に一般化したものである。多様体は、整流可能電流の考え方を一般化し、幾何学的測度論で研究される。

バリフォールドは、ローレンス・チザム・ヤングによって「一般化曲面」という名前で初めて導入されました(Young 1951)。 ^{[1] [2]} フレデリック・J・アルムグレン・ジュニアは、謄写版のノート (Almgren 1965) で定義をわずかに修正し、バリフォールドという名前を作りました。彼は、これらのオブジェクトが変分法の問題における通常の多様体の代わりであることを強調したかったのです。^[3]この理論に対する現代的なアプローチは、アルムグレンのノート^[4]に基づいており、ウィリアム・K・アラードの論文 (Allard 1972) で確立されました。

ユークリッド空間の開集合が与えられたとき、上のm次元可変体は集合上の ラドン測度として定義される。${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle \Omega \times G(n,m)}$

ここで、 はn次元ベクトル空間のすべてのm次元線形部分空間のグラスマン多様体です。グラスマン多様体は、集合 の近似接空間におけるベクトル場への双対として微分形式に類似したものを構築できるようにするために使用されます。 ${\displaystyle G(n,m)}$${\displaystyle \オメガ}$

修正可能変域の特別なケースは、m修正可能集合M （ m次元ハウスドルフ測度に関して測定可能）と、 M上で定義される密度関数（ m次元ハウスドルフ測度に関して測定可能かつ局所積分可能な正関数 θ ）のデータである。これは、グラスマンバンドル上のラドン測度V を定義する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle V(A):=\int _{\Gamma _{M,A}}\!\!\!\!\!\!\!\theta (x)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{m}(x)}$

どこ

• ${\displaystyle \Gamma _{M,A}=M\cap \{x:(x,\mathrm {Tan} ^{m}(x,M))\in A\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{m}(x)}$は−次元ハウスドルフ測度である${\displaystyle m}$

整流可能変種は局所整流可能カレントよりも弱いオブジェクトです。つまり、いかなる方向も持ちません。Mをより正規の集合に置き換えると、微分可能部分多様体が整流可能多様体の特殊なケースであることが簡単にわかります。

方向付けがないため、可変長体の空間には 境界演算子は定義されません。

• 現在
• 幾何測度理論
• グラスマン
• プラトーの問題
• ラドン測定

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