漸近曲線

曲面の微分幾何学において、漸近曲線とは、曲面の漸近方向（存在する場合）に常に接する曲線のことである。必ずしも直線である必要はないが、漸近線と呼ばれることもある。

漸近方向、またはそれと同等の漸近曲線には、同等の定義がいくつかあります。

• 漸近方向は、双曲点を通るデュパンの指示曲線の双曲線の漸近線、または放物点を通る唯一の漸近線と同じです。 ^[1]

• 漸近方向とは、法線曲率がゼロになる方向です。つまり、その方向とその点における表面の法線が張る平面を取ります。その点における平面と表面の交差曲線の曲率はゼロになります。
• 漸近曲線とは、各点において、表面に接する平面が曲線の接触面となるような曲線です。

漸近方向は、ガウス曲率が負（またはゼロ）の 場合にのみ発生します。

負のガウス曲率を持つすべての点には、主方向によって二等分される 2 つの漸近方向があります。ガウス曲率がゼロのすべての点には、1 つまたは複数の漸近方向があります。

表面が最小で平坦でない場合、漸近方向は互いに直交します (2 つの主方向と 45 度)。

可展面の場合、漸近線は母線のみになります。

直線が表面に含まれている場合、それは表面の漸近曲線です。

関連する概念は曲率線であり、これは常に主方向に接する曲線です。

• Weisstein、Eric W.「漸近曲線」。MathWorld。
• 曲率線、測地線のねじれ、漸近線
• 「曲面の漸近線」（Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables）（フランス語）