絶対曲率合計

微分幾何学では、滑らかな曲線の絶対曲率の合計は、曲線の周りの曲率の絶対値を積分することによって定義される数値です。これは、曲線の相似変換に対して不変な無次元量であり、曲線が凸曲線からどれだけ離れているかを測定するために使用できます。^[1]

曲線が弧の長さによってパラメータ化されている場合、絶対曲率の合計は次の式で表すことができます。

\int |\kappa (s)|ds,

ここで $s$ は弧長パラメータ、 $κは$ 曲率である。これは全曲率の式とほぼ同じだが、符号付き曲率の代わりに絶対値を使用する点が異なっている。^[2]

ユークリッド平面における単純閉曲線の全曲率は常にちょうど 2 $π$ であるため、単純閉曲線の全絶対曲率も常に少なくとも2 $π$ である。これは凸曲線の場合はちょうど 2 $π$ であり、曲線に非凸部分がある場合は常に 2 $πより大きくなる。$ ^{[2]滑らかな単純閉曲線が}曲線短縮フローを受けると、その全絶対曲率は曲線が凸になるまで単調に減少し、その後曲線が点に収束するまで全絶対曲率は 2 $π$ で固定されたままになる。^[3]^[4]

絶対曲率の合計は、3次元ユークリッド空間の曲線に対しても定義できます。この場合も、少なくとも 2 $π$ ですが(これはフェンチェルの定理です)、それよりも大きくなることもあります。空間曲線が球で囲まれている場合、球の絶対曲率は、球の任意の点に接する平面への曲線の中心射影の期待値に等しくなります。 ^[5]ファリー・ミルノールの定理によれば、すべての非自明な滑らかな結び目は、絶対曲率が 4 $π$ より大きくなければなりません。^[2]

参考文献

^ Brook, Alexander; Bruckstein, Alfred M.; Kimmel, Ron (2005)、「類似性不変公平性尺度について」、Kimmel, Ron ; Sochen, Nir A.; Weickert, Joachim (編)、Scale Space and PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005、Hofgeismar、ドイツ、2005 年 4 月 7 ～ 9 日、議事録、Lecture Notes in Computer Science、vol. 3459、Springer-Verlag、pp. 456 ～ 467、doi :10.1007/11408031_39、ISBN 978-3-540-25547-5。
^ abc Chen, Bang-Yen (2000)、「リーマン部分多様体」、微分幾何学ハンドブック、第1巻、第1巻、北ホラント、アムステルダム、pp. 187–418、doi :10.1016/S1874-5741(00)80006-0、ISBN 978-0-444-82240-6、MR 1736854特にセクション21.1「曲線の回転指数と全曲率」（359～360ページ）を参照してください。
^ Brakke, Kenneth A. (1978)、「平均曲率による表面の運動」(PDF)、数学ノート、第20巻、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、付録B、命題2、p. 230、ISBN 0-691-08204-9、MR 0485012。
^ チョウ・カイセン、チュー・シピン（2001）、曲線短縮問題、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、補題5.5、p. 130、およびセクション6.1、pp. 144–147、doi：10.1201/9781420035704、ISBN 1-58488-213-1、MR 1888641。
^ バンチョフ、トーマス F. (1970)、「曲線の全中心曲率」、デューク数学ジャーナル、37 (2): 281–289、doi :10.1215/S0012-7094-70-03736-1、MR 0259815。

[1] Brook, Alexander; Bruckstein, Alfred M.; Kimmel, Ron (2005)、「類似性不変公平性尺度について」、Kimmel, Ron ; Sochen, Nir A.; Weickert, Joachim (編)、Scale Space and PDE Methods in Computer Vision: 5th International Conference, Scale-Space 2005、Hofgeismar、ドイツ、2005 年 4 月 7 ～ 9 日、議事録、Lecture Notes in Computer Science、vol. 3459、Springer-Verlag、pp. 456 ～ 467、doi :10.1007/11408031_39、ISBN 978-3-540-25547-5。

[chen-2] Chen, Bang-Yen (2000)、「リーマン部分多様体」、微分幾何学ハンドブック、第1巻、第1巻、北ホラント、アムステルダム、pp. 187–418、doi :10.1016/S1874-5741(00)80006-0、ISBN 978-0-444-82240-6、MR 1736854特にセクション21.1「曲線の回転指数と全曲率」（359～360ページ）を参照してください。

[3] Brakke, Kenneth A. (1978)、「平均曲率による表面の運動」(PDF)、数学ノート、第20巻、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、付録B、命題2、p. 230、ISBN 0-691-08204-9、MR 0485012。

[4] チョウ・カイセン、チュー・シピン（2001）、曲線短縮問題、フロリダ州ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、補題5.5、p. 130、およびセクション6.1、pp. 144–147、doi：10.1201/9781420035704、ISBN 1-58488-213-1、MR 1888641。

[5] バンチョフ、トーマス F. (1970)、「曲線の全中心曲率」、デューク数学ジャーナル、37 (2): 281–289、doi :10.1215/S0012-7094-70-03736-1、MR 0259815。