推測

数学において、予想とは、証明なしに暫定的に提示された結論または命題である。^{[1] [2] [3]}リーマン予想やフェルマー予想（現在は定理となっているが、1995年にアンドリュー・ワイルズによって証明された）などの予想は、それを証明するために数学の新しい分野が開発されるにつれて、数学の歴史の多くを形成してきた。^[4]

形式数学は証明可能な真実に基づいています。数学では、普遍量化された予想を支持する事例がどれだけ多くても、予想の真実性を確立するには不十分です。なぜなら、1 つの反例で予想がすぐに覆される可能性があるからです。数学のジャーナルには、研究チームが反例の探索を以前よりもさらに広げた小さな結果が掲載されることがあります。たとえば、特定の整数列が終了するかどうかに関するコラッツ予想は、1.2 × 10 ¹² (1.2 兆)までのすべての整数についてテストされています。ただし、広範囲にわたる探索の後で反例が見つからなかったとしても、予想が正しいことの証明にはなりません。予想は間違っているかもしれませんが、非常に大きな最小の反例があるためです。

それにもかかわらず、数学者は、たとえまだ証明されていなくても、予想は証拠によって強く支持されているとみなすことが多い。その証拠は、予想の結果の検証や既知の結果との強い相互関係など、さまざまな種類がある。^[5]

推測は、それが誤りであることが論理的に不可能であることが示された場合にのみ証明されたとみなされます。証明にはさまざまな方法があります。詳細については、 数学的証明の方法を参照してください。

反例につながる可能性のあるケースが有限数しかない場合に適用される証明方法の 1 つに、「ブルート フォース」があります。この方法では、考えられるすべてのケースが検討され、反例が存在しないことが示されます。場合によっては、ケースの数が非常に多く、ブルート フォース証明では、すべてのケースを確認するためにコンピューター アルゴリズムの使用が実際問題として必要になることがあります。たとえば、1976 年と 1997 年にコンピューターによって行われた4 色定理のブルート フォース証明の有効性は当初は疑われていましたが、最終的には 2005 年に定理証明ソフトウェアによって確認されました。

予想が証明されると、それはもはや予想ではなく定理になります。幾何化定理（ポアンカレ予想を解決した）やフェルマーの最終定理など、多くの重要な定理はかつては予想でした。

反例によって反証された予想は、誤った予想と呼ばれることもあります(ポリア予想やオイラーの累乗和予想を参照)。後者の場合、n=4 の場合に最初に見つかった反例には数百万単位の数字が含まれていましたが、その後、最小の反例は実際にはもっと小さいことが判明しました。

すべての推測が最終的に真か偽かが証明されるわけではない。特定の無限集合の相対的な濃度を確かめようとする連続体仮説は、集合論のツェルメロ＝フランケル公理​​の一般に受け入れられている集合から独立していることが最終的に示された。したがって、この命題またはその否定を、一貫した方法で新しい公理として採用することが可能である（ユークリッドの平行線公理が幾何学の公理体系で真か偽かのどちらにも取れるのと同様）。

この場合、証明がこのステートメントを使用する場合、研究者は仮説を必要としない新しい証明を探すことがよくあります (ユークリッド幾何学のステートメントが中立幾何学の公理のみを使用して、つまり平行線公理なしで証明されることが望ましいのと同じように)。実際にはこれに対する唯一の大きな例外は選択公理であり、ほとんどの研究者は通常、結果が選択公理を必要とするかどうかを気にしません (特にこの公理を研究している場合を除く)。

予想は、他の結果の証明において仮定として頻繁に繰り返し使用される場合、仮説と呼ばれることがあります。たとえば、リーマン予想は数論からの予想であり、とりわけ素数の分布について予測します。リーマン予想が正しいことを疑う数論者はほとんどいません。実際、その最終的な証明を見越して、この予想が正しいことを条件とするさらなる証明の開発を進めた人もいます。これらは条件付き証明と呼ばれ、仮定された予想は、当面は定理の仮説に現れます。

しかし、仮説が誤りであることが判明した場合、これらの「証明」は崩壊してしまうため、このタイプの推測の真偽を検証することには大きな関心が寄せられています。

数論において、フェルマーの最終定理（特に古い文献ではフェルマー予想と呼ばれることもある）は、3 つの正の 整数 、、 は、2 より大きい 整数値に対して方程式を満たすことができないと述べています。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$${\displaystyle n}$

この定理は、1637年にピエール・ド・フェルマーが算数の本の余白に初めて推測したもので、フェルマーは余白に入りきらないほど長い証明があると主張した。^[6] 最初の成功した証明は、 1994年にアンドリュー・ワイルズによって発表され、数学者による358年間の努力の末、1995年に正式に出版された。この未解決の問題は、 19世紀の代数的整数論の発展と、 20世紀のモジュラリティ定理の証明を刺激した。これは数学史上最も注目すべき定理の一つであり、証明される前は「最も難しい数学の問題」としてギネス世界記録に載っていた。^[7]

数学における四色定理、あるいは四色地図定理とは、平面を連続する領域に分割して地図と呼ばれる図形を作成する場合、地図の領域を着色するのに4色以上は必要ではなく、隣接する2つの領域が同じ色になることはないということを述べています。2つの領域が隣接しているとは、3つ以上の領域が共有する点である角以外の共通の境界を共有している場合です。^[8]たとえば、アメリカ合衆国の地図では、ユタ州とアリゾナ州は隣接していますが、アリゾナ州とコロラド州にも属する点を共有しているだけのユタ州とニューメキシコ州は隣接していません。

メビウスは1840年に講義でこの問題に言及している。^[9]この予想が初めて提唱されたのは1852年10月23日^[10]で、フランシス・ガスリーがイングランドの地図を色分けしようとした際に、必要な色は4色だけであることに気づいた。5色定理は、地図を色分けするには5色あれば十分であると述べており、19世紀後半に証明されたが^[11]、4色で十分であることを証明するのは非常に困難であることが判明した。1852年に4色定理が初めて述べられて以来、数多くの誤った証明や誤った反例が現れている。

四色定理は、1976年にケネス・アペルとヴォルフガング・ハーケンによって最終的に証明されました。これは、コンピュータを使用して証明された最初の主要な定理でした。アペルとハーケンのアプローチは、1,936個のマップの特定のセットが存在し、そのそれぞれが四色定理の最小サイズの反例の一部になることはできない（つまり、それらが現れたとしても、より小さな反例を作ることができる）ことを示すことから始まりました。アペルとハーケンは、専用のコンピュータプログラムを使用して、これらのマップのそれぞれがこの特性を持っていることを確認しました。さらに、反例になる可能性のあるマップには、これら1,936個のマップのいずれかのように見える部分が必要です。何百ページにも及ぶ手作業による分析でこれを示したアペルとハーケンは、最小の反例は存在しないと結論付けました。なぜなら、どのマップにもこれら1,936個のマップのいずれかが含まれていなければならないが、同時に含まれていないからです。この矛盾は、反例がまったく存在せず、したがって定理が正しいことを意味します。当初、彼らの証明は数学者には全く受け入れられなかった。なぜなら、コンピュータ支援による証明は人間が手作業で確認するのは不可能だったからだ。 ^[12]しかし、その後、証明はより広く受け入れられるようになったが、疑問は依然として残っている。^[13]

幾何学的位相幾何学における主予想（ドイツ語で「主要予想」）とは、三角形分割可能な空間の任意の2つの三角形分割には、その両方の分割である単一の三角形分割という共通の細分化が存在するという予想である。これは1908年にシュタイニッツとティーツェによって最初に定式化された。^[14]

この予想は現在では誤りであることが分かっています。非多様体バージョンは1961年にジョン・ミルナー^{[15]によって}ライデマイスターねじれを用いて反証されました。

多様体バージョンは次元 m ≤ 3で真である。m = 2と3のケースは、それぞれ1920年代と1950年代に Tibor RadóとEdwin E. Moise ^[16]によって証明された。

数学において、ヴェイユ予想は、有限体上の代数多様体上の点の数を数えることから導かれる生成関数（局所ゼータ関数として知られる）に関するアンドレ・ヴェイユ （1949年）による非常に影響力のある提案でした。

q個の元を持つ有限体上の多様体Vには、有限個の有理点と、その体を含むq ^k個の元を持つすべての有限体上の点があります。生成関数には、 q ^k個の元を持つ (本質的に一意の) 体上の点の数N _kから導かれる係数があります。

ヴェイユは、そのようなゼータ関数は有理関数であり、関数方程式の形式を満たし、零点が限られた場所にあるはずだと予想した。最後の2つの部分は、リーマンゼータ関数とリーマン予想を意図的にモデル化した。有理性はドゥワーク（1960年）によって証明され、関数方程式はグロタンディーク（1965年）によって証明され、リーマン予想の類似物はドリーニュ（1974年）によって証明された。

数学 において、ポアンカレ予想は、 4次元空間で単位球を囲む超球である3次元球面の特徴に関する定理です。この予想は、次のことを述べています。

すべての単連結な閉じた3次元多様体は3 次元球面に同相です。

この予想の同値な形式には、ホモトピー同値と呼ばれる同値性の同値性よりも粗い形式が含まれます。つまり、3 次元多様体が3 次元球面にホモトピー同値である場合、その多様体は必然的に 3 次元球面に同相です。

この定理は、もともと1904 年にアンリ ポアンカレによって予想されたもので、局所的には普通の 3 次元空間のように見えるが、連結され、サイズが有限で、境界がない空間 (閉じた 3 次元多様体) に関するものです。ポアンカレ予想は、そのような空間が、空間内の各ループを連続的に 1 点に引き締めることができるという追加の特性を持つ場合、その空間は必然的に 3 次元球面になると主張しています。高次元では、同様の結果が以前から知られています。

数学者によるほぼ1世紀に及ぶ努力の末、グリゴリー・ペレルマンは2002年と2003年にarXivで公開された3つの論文でこの予想の証明を提示した。この証明は、リチャード・S・ハミルトンがリッチフローを用いてこの問題を解決しようとしたプログラムに続くものだった。ハミルトンは後に、標準リッチフローの修正版であるリッチフローを導入したが、これは特異領域が発達するにつれてそれを制御された方法で系統的に切除する手術を伴うものだったが、この方法が3次元で「収束」することを証明することはできなかった。^[17] ペレルマンは証明のこの部分を完成させた。数人の数学者チームがペレルマンの証明が正しいことを検証した。

ポアンカレ予想は、証明される前は、位相幾何学における最も重要な未解決問題の一つでした。

数学において、リーマン予想は、ベルンハルト・リーマン(1859) によって提唱され、リーマンゼータ関数の 非自明な零点はすべて実部が 1/2 であるという予想である。この名前は、有限体上の曲線に対するリーマン予想など、いくつかの密接に関連する類似物にも使用される。

リーマン予想は素数の分布に関する結果を示唆する。適切な一般化とともに、一部の数学者はこれを純粋数学における最も重要な未解決問題であると考えている。^[18]リーマン予想は、ゴールドバッハ予想とともに、デイヴィッド・ヒルベルトの23の未解決問題のリストにおけるヒルベルトの8番目の問題の一部であり、クレイ数学研究所ミレニアム賞問題の一つでもある。

P対NP問題は、コンピュータサイエンスにおける未解決の主要問題である。非公式には、コンピュータによって解決が迅速に検証できるすべての問題は、コンピュータによって迅速に解決できるかどうかを問うものであり、答えはノーであると広く推測されている。この問題は、1956年にクルト・ゲーデルがジョン・フォン・ノイマンに書いた手紙の中で本質的に初めて言及された。ゲーデルは、あるNP完全問題が2次時間または線形時間で解決できるかどうかを尋ねた。^[19] P = NP問題の正確な記述は、1971年にスティーブン・クックによって彼の独創的な論文「定理証明手順の複雑さ」^[20]で導入され、多くの人にこの分野で最も重要な未解決問題であると考えられている。^{[21]これは、}クレイ数学研究所によって選ばれた7つのミレニアム懸賞問題の1つであり、最初の正しい解に100万ドルの賞金がかけられている。

• ゴールドバッハの予想
• 双子素数予想
• コラッツ予想
• マニン予想
• マルダセナ予想
• オイラー予想は18世紀にオイラーによって提唱されたが、20世紀半ば以降にいくつかの指数（n=4から始まる）に対する反例が発見された。
• ハーディ・リトルウッド予想は素数の分布に関する一対の予想であり、最初の予想は前述の双子素数予想を拡張したものである。どちらも証明も反証もされていないが、両方が同時に真であることはできない（つまり、少なくとも一方は偽である）ことが証明されている。どちらが偽であるかは証明されていないが、最初の予想は真であり、2番目の予想は偽であると広く信じられている。^[22]
• ラングランズ・プログラム^[23]は、数学の異なる分野（例えば、数論とリー群の表現論の間）を結びつける「統一予想」というアイデアの広範囲にわたる網である。これらの予想のいくつかはその後証明された。

カール・ポパーは科学哲学において「推測」という用語の使用を開拓した。^{[24]推測は}仮説と関連しており、科学においては仮説は検証可能な推測を指す。

• 大胆な仮説
• 未来研究
• 仮説
• 推測のリスト
• ラマヌジャンマシン

• Deligne、Pierre (1974)、「La conjecture de Weil. I」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、43 (43): 273–307、doi :10.1007/BF02684373、ISSN  1618-1913、MR  0340258、S2CID  123139343
• ドワーク、バーナード(1960)、「代数多様体のゼータ関数の合理性について」、アメリカ数学ジャーナル、82 (3)、アメリカ数学ジャーナル、第82巻、第3号: 631–648、doi :10.2307/2372974、ISSN  0002-9327、JSTOR  2372974、MR  0140494
• Grothendieck、Alexander (1995) [1965]、「Formule de Lefschetz etrationité des fonctions L」、Séminaire Bourbaki、vol. 9、パリ:フランス数学協会、41–55 ページ、MR  1608788

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