複雑な分析

複素解析は、伝統的に複素変数の関数の理論として知られており、複素数の関数を研究する数学解析の分野です。代数幾何学、数論、解析的組合せ論、応用数学などの数学の多くの分野、および流体力学、熱力学、量子力学、ツイスター理論などの物理学の分野で役立ちます。さらに、複素解析の使用は、原子力、航空宇宙、機械工学、電気工学などの工学分野でも応用されています。^[1]

複素変数の微分可能関数はそのテイラー級数によって与えられる和関数に等しい（つまり解析的である）ため、複素解析は特に複素変数の解析関数、つまり正則関数に関係します。この概念は、複数の複素変数の関数に拡張できます。

複素解析は数学の古典的な一分野であり、その起源は 18 世紀とその直前に遡ります。複素数に関連する重要な数学者には、オイラー、ガウス、リーマン、コーシー、イェスタ・ミッタク＝レフラー、ワイエルシュトラスなど、20 世紀の多くの人々がいます。複素解析、特に共形写像の理論は、多くの物理的応用があり、解析的数論全体でも使用されています。現代では、複素力学や、反復する正則関数によって生成されるフラクタル図などの新たな推進力によって、非常に人気が高まっています。複素解析のもう 1 つの重要な応用は、量子場の理論における共形不変量を調べる弦理論です。

複素関数は、複素数から複素数への関数です。言い換えると、複素数の（必ずしも適切ではない）部分集合を定義域として持ち、複素数を共定義域として持つ関数です。複素関数は、一般に、複素平面の空でない開部分集合を含む定義域を持つものと想定されます。

任意の複素関数では、定義域の値と範囲内のその像は実部と虚部に分けられます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ and }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

すべて実数値です 。${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

言い換えれば、複雑な関数は次のように分解できる。 ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$そして${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,}$

つまり、2つの実変数（ 、 ）の2つの実数値関数（ 、）に変換されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

同様に、任意の集合X上の任意の複素数値関数f（はXと同型であり、したがってその意味ではXである）は、2つの実数値関数の順序付きペア（Re f、Im f）として考えることができる。あるいは、Xから ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

複素数値関数のいくつかの特性 (連続性など) は、2 つの実変数のベクトル値関数の対応する特性にほかなりません。微分可能性などの複素解析のその他の概念は、実関数の同様の概念を直接一般化したものですが、非常に異なる特性を持つ場合があります。特に、すべての微分可能な複素関数は解析的であり(次のセクションを参照)、ある点の近傍で等しい 2 つの微分可能関数は、それらの定義域の交点でも等しくなります (定義域が接続されている場合)。後者の特性は、解析接続の原理の基礎であり、これにより、すべての実解析関数を一意に拡張して、有限個の曲線弧を除いた複素平面全体を定義域とする複素解析関数を取得できます。複素指数関数、複素対数関数、三角関数など、多くの基本および特殊な複素関数がこのように定義されます。

複素平面の開集合上の任意の点で微分可能な複素関数は、上で正則関数と呼ばれる。複素解析の文脈では、におけるの導関数は次のように定義される^[2]。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

表面的には、この定義は、実関数の導関数の定義と形式的には類似している。しかし、複素導関数と微分可能関数は、実関数の場合と比べて大幅に異なる動作をする。特に、この極限が存在するためには、複素平面でどのように近づくかに関係なく、差分商の値が同じ複素数に近づく必要がある。その結果、複素微分可能性は実微分可能性よりもはるかに強い意味を持つ。たとえば、正則関数は無限に微分可能であるが、実関数の場合、 n次導関数の存在は( n + 1) 次導関数の存在を意味する必要はない。さらに、すべての正則関数は、より強い解析性条件 を満たし、これは関数がその定義域のすべての点で、局所的に収束するべき級数によって与えられることを意味する。本質的には、これは 上で正則な関数がのすべての点の近傍にある多項式によって任意によく近似できることを意味する。これは、微分可能な実関数とは著しい対照をなしている。どこにも解析的ではない無限微分可能な実関数が存在します。 「非解析的滑らかな関数」§「どこにも解析的ではない滑らかな関数」を参照してください。 ${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

指数関数、三角関数、すべての多項式関数など、ほとんどの基本関数は、関数 として適切に複素引数に拡張されると、複素平面全体で正則になり、完全関数になります。一方、有理関数( pとqが多項式) は、q が 0 である点を除いた領域で正則になります。孤立した点の集合を除くすべての点で正則なこのような関数は、有理型関数として知られています。一方、関数、、は、コーシー・リーマン条件 (以下を参照) を満たさないことからわかるように、複素平面上のどこでも正則ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle p/q}$${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

正則関数の重要な性質は、実数部と虚数部の偏微分の関係であり、コーシー・リーマン条件として知られています。 が で定義され、 が領域上で正則である場合、すべての に対して、 ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}\in \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{where }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

関数の実部uと虚部 vに関して言えば、これは方程式のペアとに相当します。ここで、下付き文字は偏微分を表します。ただし、コーシー・リーマン条件は、追加の連続条件がなければ、正則関数を特徴付けるものではありません (ローマン・メンホフの定理を参照)。 ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

正則関数には注目すべき特徴がいくつかあります。たとえば、ピカールの定理によれば、関数 の値域は、 、 、または （ただし、 は一部）の 3 つの形式のみを取ります。言い換えると、2つの異なる複素数と が関数 の値域にない場合、は定数関数になります。さらに、連結開集合上の正則関数は、空でない開部分集合への制限によって決まります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$${\displaystyle \{z_{0}\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

数学において、等角写像とは、局所的に角度を保存する関数ですが、長さは必ずしも保存されません。

より正式には、とを の開集合とします。関数がを通る有向曲線間の角度を保存し、向きも保存する場合、その関数は点で共形 (または角度保存) と呼ばれます。共形写像は、角度と無限小図形の形状の両方を保存しますが、必ずしもそのサイズや曲率を保存するとは限りません。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

共形性は、座標変換のヤコビアン微分行列によって記述できる。各点のヤコビアンが正のスカラー×回転行列（行列式1と直交）である場合、変換は共形である。共形性には、ヤコビアンが任意のスカラー×任意の直交行列として表される向き反転マッピングが含まれると定義する著者もいる。^[3]

2 次元のマッピングの場合、(方向を保持する) 等角マッピングは、まさに局所的に可逆な複素解析関数です。3 次元以上では、リウヴィルの定理により、等角マッピングはいくつかのタイプに厳しく制限されます。

共形性の概念は、リーマン多様体または半リーマン多様体 間の写像に自然に一般化されます。

複素解析における中心的なツールの 1 つが線積分です。閉経路で囲まれた領域内のどこでも正則である関数の閉経路の周りの線積分は常に 0 であり、これはコーシーの積分定理によって述べられています。円板内のこのような正則関数の値は、円板の境界上の経路積分によって計算できます (コーシーの積分公式に示されているように)。複素平面での経路積分は、複雑な実積分を決定するためによく使用され、ここでは留数の理論などが適用できます (輪郭積分法 を参照)。関数の「極」(または孤立した特異点) は、関数の値が無制限になる、つまり「爆発」する点です。関数にこのような極がある場合、そこで関数の留数を計算でき、それを使用して関数を含む経路積分を計算できます。これが強力な留数定理の内容です。本質的な特異点付近での正則関数の注目すべき動作は、ピカールの定理によって説明されます。極のみを持ち、本質的な特異点を持たない関数は有理型と呼ばれます。ローラン級数はテイラー級数の複素数値版ですが、多項式などのよりよく理解されている関数の無限和を通じて、特異点付近の関数の挙動を調べるために使用できます。

複素平面全体で正則な有界関数は定数でなければならない。これがリウヴィルの定理である。これは、複素数体が代数的に閉じているという代数の基本定理を自然かつ簡潔に証明するために使用できる。

関数が連結な領域全体で正則である場合、その値は任意のより小さな部分領域上の値によって完全に決定される。より大きな領域上の関数は、より小さな領域上の値から解析的に接続されていると言われる。これにより、リーマンゼータ関数などの関数の定義を、最初は限られた領域でのみ収束する無限和で定義され、複素平面のほぼ全体に拡張することができる。自然対数の場合のように、複素平面上の単連結でない領域に正則関数を解析的に接続することが不可能な場合があるが、リーマン面と呼ばれる密接に関連した面上の正則関数に拡張することは可能である。

これらはすべて、1 変数の複素解析に関するものです。また、複素次元が 1 つ以上ある場合の複素解析の非常に充実した理論もあり、この理論では、べき級数展開などの解析特性は継承されますが、1 つの複素次元の正則関数の幾何学的特性 (共形性など) のほとんどは継承されません。複素平面内の特定の領域の共形関係に関するリーマン写像定理は、1 次元理論で最も重要な結果である可能性がありますが、高次元では劇的に当てはまりません。

特定の複素空間の主な応用は、量子力学における波動関数としてです。

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• Wolfram Research の MathWorld 複素解析ページ