等角写像

リーマン球面からそれ自身への写像が等角写像であるのは、それがメビウス変換である場合に限る。

メビウス変換の複素共役は角度を保持しますが、向きを反転します。たとえば、円の反転は です。

平面幾何学では、等角写像で保存される可能性のある角度には 3 種類あります。^{[ 3 ]}それぞれが、通常の複素数、分割複素数、および双対数という独自の実代数によって保持されます。等角写像は、それぞれの場合において線形分数変換によって記述されます。 ^{[ 4 ]}

リーマン幾何学では、2つのリーマン計量${\displaystyle g}$そして${\displaystyle h}$滑らかなマニホールド上${\displaystyle M}$等角的に等価であるとは、${\displaystyle g=uh}$ある正の関数に対して${\displaystyle u}$の上${\displaystyle M}$. 機能$\displaystyle {\sqrt {u}}}$これは共形因子と呼ばれます。

2つのリーマン多様体間の微分同相写像は、引き戻された計量が元の計量と等角的に等価である場合、等角写像と呼ばれる。例えば、球面を無限遠点を追加した平面に立体投影したものは等角写像である。

滑らかな多様体上の共形構造は、共形的に等価なリーマン計量のクラスとして定義することもできる。

ジョセフ・リウヴィルの古典的な定理によれば、高次元の等角写像は2次元の場合よりもはるかに少ない。ユークリッド空間の開部分集合から3次元以上の同じユークリッド空間への等角写像は、相似変換、等長変換、および特別な等角変換の3種類の変換から構成される。線形変換の場合、等角写像は相似変換と等長変換のみから構成され、等角線形変換と呼ばれる。

地図製作において、メルカトル図法や立体図法など、いくつかの名称のある地図投影法は正角投影法である。方位が正確に保持されるため、これらの投影法は航海において有用である。

等角写像は、複素変数の関数で表現できるものの、扱いにくい形状を示す工学や物理学の問題を解決する上で非常に貴重です。適切な写像を選択することで、解析者は扱いにくい形状をはるかに扱いやすい形状に変換できます。たとえば、電場を計算したい場合、${\displaystyle E(z)}$ある角度で隔てられた 2 つの導体平面の角付近に位置する点電荷から生じる (${\displaystyle z}$は 2 次元空間における点の複素座標です。この問題自体は閉じた形で解くのは非常に面倒です。しかし、非常に単純な等角写像を用いることで、不都合な角度は正確に のいずれかに写像されます。${\displaystyle \pi }$ラジアン、つまり2つの平面の角が直線に変換されることを意味します。この新しい領域では、問題（導体壁の近くにある点電荷によって生じる電場を計算する問題）は非常に簡単に解決できます。この領域では、解は次のようになります。${\displaystyle E(w)}$そして、次の点に注意して元のドメインにマッピングし直した。${\displaystyle w}$関数として得られた（すなわち、${\displaystyle E}$そして${\displaystyle w}$） の${\displaystyle z}$そこから${\displaystyle E(w)}$次のように見なすことができる${\displaystyle E(w(z))}$これは、${\displaystyle z}$、元の座標基底。この応用は、等角写像が角度を保存するという事実と矛盾するものではないことに注意してください。等角写像は、その領域の内部の点に対してのみ角度を保存し、境界では保存しません。別の例として、タンク内の液体の揺動の境界値問題を解くための等角写像技術の応用があります。^{[ 19 ]}

関数が調和関数である場合（つまり、ラプラス方程式を満たす場合）${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$平面領域 (2 次元) 上の関数が、共形写像によって別の平面領域に変換される場合、その変換も調和的です。このため、ポテンシャルによって定義される関数は、共形写像によって変換されても、依然としてポテンシャルによって支配されます。物理学におけるポテンシャルによって定義される方程式の例としては、電磁場、重力場、流体力学におけるポテンシャル流などがあります。ポテンシャル流は、一定密度、ゼロ粘性、非回転流を仮定した流体流の近似です。共形写像の流体力学への応用例の 1 つは、ジュコフスキー翼型の周囲の流れ場を調べるために使用できるジュコフスキー変換です。

等角写像は、特定の形状における非線形偏微分方程式を解く際にも有用です。このような解析解は、支配方程式の数値シミュレーションの精度を検証するのに役立ちます。例えば、半無限壁の周りの非常に粘性の高い自由表面流れの場合、領域を半平面に写像することで、解を一次元にして簡単に計算できます。^{[ 20 ]}

離散システムの場合、NouryとYangは、幾何学におけるよく知られた等角写像（別名反転写像）を通して、離散システムの根軌跡を連続根軌跡に変換する方法を提示した。^{[ 21 ]}

マクスウェル方程式は、円回転と双曲回転を含む群を形成するローレンツ変換によって保存されます。後者は、円回転と区別するためにローレンツブーストと呼ばれることもあります。双曲回転は双曲角（ラピディティと呼ばれる）を保存し、その他の回転は円角を保存するため、これらの変換はすべて等角です。ポアンカレ群に並進を導入すると、再び角度が保存されます。

マクスウェル方程式の解を関連付ける共形写像のより大きなグループは、エベネザー・カニンガム（1908年）とハリー・ベイトマン（1910年）によって特定されました。ケンブリッジ大学での彼らの訓練により、彼らはイメージ電荷法と、球面と反転の関連イメージ法に精通していました。アンドリュー・ワーウィック（2003年）の理論の達人： ^{[ 22 ]}で述べられているように。

それぞれの4次元解は、擬似半径の4次元超球で反転できる。${\displaystyle K}$新しい解決策を生み出すために。

ウォーリックはこの「新しい相対性理論」をアインシュタインに対するケンブリッジ大学の応答として強調し、ジェームズ・ホップウッド・ジーンズの教科書『電気と磁気の数学理論』に見られるような、反転法を用いた演習に基づいていると述べている。

一般相対性理論において、共形写像は最も単純で、したがって最も一般的な因果変換の一種です。物理的には、これらは、同じ事象や相互作用が（因果的に）依然として可能であるものの、それを実現するために新たな追加的な力が必要となる異なる宇宙を記述します（つまり、同じ軌道をすべて複製するには、計量テンソルが異なるため、測地線運動からの逸脱が必要となります）。これは、曲率特異点を超えて拡張可能なモデルを作成するためによく用いられ、例えば、ビッグバン以前の宇宙を記述することを可能にするためにも使用されます。