アーリヤバータ

アーリヤバタ
アーリヤバータの図
生まれる	西暦476年 クスマプラ /パータリプトラ、 グプタ帝国 (現在のインド、ビハール州パトナ) [ 1]
死亡	550年（73～74歳）[2]
学歴
影響	スーリヤ・シッダーンタ
学術研究
時代	グプタ朝
主な関心事	数学、天文学
主な作品	アーリャバティヤ、アーリヤ・シッダーンタ
注目すべきアイデア	月食と日食の説明、地球の自転、月による光の反射、正弦関数、一変数二次方程式の解、小数点以下4桁までのπの値、地球の直径、恒星年の長さの計算
影響を受けた	ララ、バスカーラ一世、ブラフマグプタ、ヴァラハミヒラ

アーリヤバータ（ISO : Āryabhaṭa）またはアーリヤバータ1世^{[3] [4]}（476-550年）^{[5] [6] は、}インド数学とインド天文学の古典時代における最初の主要な数学者・天文学者である。彼の著作には、アーリヤバーティヤ（紀元499年、3600年カリユガに彼が23歳であったと記されている） ^[7]やアーリヤ・シッダーンタがある。

運動の相対性について明確に言及したことにより、彼は初期の物理学者の主要な人物としても認められる。^[8]

「 bhatta 」という接尾辞を持つ他の名前との類推により、彼の名前を「Aryabhatta」と誤って綴る傾向がありますが、彼の名前は正しくはAryabhataと綴られます。すべての天文学のテキストでは彼の名前をこのように綴っており、^[9]ブラフマグプタが「100か所以上で名前で」彼に言及していることもその1つです。 ^[1]さらに、ほとんどの場合、「Aryabhatta」も韻律に合いません。^[9]

アーリヤバータは『アーリヤバーティヤ』の中で、カリユガから3600年後に23歳だったと述べているが、これはその時にテキストが書かれたことを意味するものではない。ここで言及されている年は西暦499年に相当し、彼が476年に生まれたことを示唆している。^{[6]アーリヤバータは自身をクスマプラまたは}パタリプトラ（現在のビハール州パトナ）の出身と称した。 ^[1]

バースカラ1世は、アーリヤバータを「アシュマカ国に属する者」、つまりアーシュマカ人として描写している。仏陀の時代、アシュマカ人の一部がインド中部のナルマダ川とゴダヴァリ川の間の地域に定住した。 ^{[9] [10]}

アーリヤバータが生まれたアシュマカ（サンスクリット語で「石」）は、現在のコドゥンガルールである可能性があると主張されている。コドゥンガルールは、古代ケーララ州の歴史的な首都ティルヴァンチクラムであった。^[11]これは、コトゥンガルルが以前はコトゥム・カル・ルル（「硬い石の街」）として知られていたという信念に基づいている。しかし、古い記録によると、この街は実際にはコトゥム・コルル（「厳格な統治の街」）であった。同様に、アーリヤバーティヤに関するいくつかの注釈がケーララ州から来ているという事実は、そこがアーリヤバータの主な生活と活動の場所であったことを示唆するために使用されているが、多くの注釈はケーララ州外から来ており、アーリヤシッダーンタはケーララ州ではまったく知られていなかった。^[9] K. チャンドラ・ハリは、天文学的証拠に基づいてケーララ仮説を主張している。^[12]

アーリヤバータは『アーリヤバーティヤ』の中で何度も「ランカ」について言及しているが、彼の言う「ランカ」は抽象的なものであり、ウジャイニと同じ経度の赤道上の地点を表している。^[13]

ある時点で、彼がより高度な研究のためにクスマプラに行き、しばらくそこに住んでいたことはほぼ確実である。^[14]ヒンドゥー教と仏教の伝統、そしてバースカラ1世（西暦629年）は、クスマプラをパータリプトラ、現代のパトナとしている。^[9]ある詩では、アーリヤバータがクスマプラの機関（クラパ）の長であったと述べられており、当時ナーランダー大学がパータリプトラにあったことから、アーリヤバータはナーランダー大学の長でもあったのではないかと推測されている。 ^{[9]アーリヤバータはビハール州}タレガナの太陽寺院に天文台を設置したとも言われている。^[15]

アーリヤバータは数学と天文学に関するいくつかの論文を著したが、現存するのは『アーリヤバーティヤ』のみである。^[16]

研究の多くは、天文学、数学、物理学、生物学、医学、その他の分野の主題を含んでいた。^{[17]数学と天文学の概要である} Aryabhatiya は、インドの数学文献で参照され、現代まで残っている。^[18] Aryabhatiyaの数学部分は、算術、代数、平面三角法、球面三角法をカバーしている。また、連分数、二次方程式、累乗級数、正弦表も含まれている。^[18]

天文学上の計算に関する失われた著作である『アーリヤ・シッダーンタ』は、アーリヤバータと同時代のヴァラハミヒラや、ブラフマグプタ、バースカラ1世などの後代の数学者や注釈者の著作を通じて知られている。この著作は、より古い『スーリヤ・シッダーンタ』に基づいているようで、アーリヤバーティヤの日の出とは対照的に、真夜中の計算を使用している。^[10]また、いくつかの天文器具の説明も含まれていた。日時計（シャンク・ヤントラ）、影の器具（チャヤ・ヤントラ）、おそらくは半円形と円形の角度測定装置（ダヌール・ヤントラ/チャクラ・ヤントラ）、円筒形の棒状のヤスティ・ヤントラ、チャトラ・ヤントラと呼ばれる傘型の装置、そして少なくとも2種類の弓形と円筒形の水時計。 ^[10]

アラビア語訳で残っていると思われる3番目のテキストは、 Al ntfまたはAl-nanfです。これはAryabhataによる翻訳であると主張していますが、この作品のサンスクリット名は不明です。おそらく9世紀のもので、ペルシャの学者でインドの年代記作家であるAbū Rayhān al-Bīrūnīによって言及されています。^[10]

アーリヤバータの著作の直接的な詳細は、アーリヤバーティヤからのみ知られている。「アーリヤバーティヤ」という名前は、後代の注釈者によるものである。アーリヤバータ自身は、この著作に名前を付けなかった可能性がある。^[8]彼の弟子であるバースカラ1世は、この著作をアシュマカタントラ（またはアシュマカからの論文）と呼んでいる。また、この著作には108の詩節があるため、アーリヤ・シャタス・アシュタ（文字通り、アーリヤバータの108）と呼ばれることもある。^{[18] [8]この著作は、}経典文学に典型的な非常に簡潔な文体で書かれており、各行は複雑な体系を記憶するための助けとなっている。したがって、意味の解説は注釈者によるものである。この著作は、108の詩節と13の序文から成り、4つのパダ（章）に分かれている。

1. ギティカパダ: (13 節):カルパ、マンヴァントラ、ユガという大きな時間単位で、ラガダのヴェーダンガ ジョーティシャ(紀元前 1 世紀頃)などの以前の文献とは異なる宇宙論を提示しています。また、正弦波 (ジャ)の表も1 つの節で示されています。マハーユガ中の惑星の公転期間は432 万年とされています。
2. ガニタパダ（33節）：測量（kṣetra vyāvahāra）、算術および幾何級数、日輪（shanku - chhAyA）、単純方程式、二次方程式、連立方程式、不定方程式（kuṭṭaka）を扱っています。^[17]
3. カラクリヤパダ（25節）：様々な時間の単位と特定の日の惑星の位置を決定する方法、閏月（アディカムサ）に関する計算、シャヤ・ティティ、曜日の名前が付いた7日間の週。^[17]
4. ゴラパダ（50節）：天球の幾何学的・三角法的な側面、黄道の特徴、天の赤道、交点、地球の形状、昼と夜の原因、地平線上の黄道十二星座の昇り方など。 ^[17]さらに、いくつかのバージョンでは、最後に追加された奥付を引用し、作品の美点などを称賛しています。^[17]

アーリヤバーティヤは、数学と天文学における数々の革新を詩の形で提示し、何世紀にもわたって影響を与えた。テキストの極度の簡潔さは、弟子のバースカラ1世（バーシャ、西暦600年頃）の注釈と、ニラカンタ・ソマヤジのアーリヤバーティヤ・バーシャ（西暦1465年）で詳しく説明されている。^{[18] [17]}

アーリヤバーティヤは運動の相対性について述べたことでも有名です。彼はこの相対性を次のように表現しました。「前進する船に乗っている人が、（岸にある）静止した物体が後方に動いているのを見るのと同じように、地上の人々には静止した星が正確に西に向かって動いているのが見える。」^[8]

3世紀のバクシャーリー写本に初めて登場した位取り記数法は、彼の著作に明確に取り入れられていた。彼はゼロを表す記号を使用していなかったが、フランスの数学者ジョルジュ・イフラは、係数がゼロの10の累乗を表す場所として、ゼロの知識がアルヤバータの位取り記数法に暗黙的に含まれていたと主張している。[ 19 ^]

しかし、アーリヤバータはブラーフミー数字を使用しませんでした。ヴェーダ時代からのサンスクリットの伝統を引き継ぎ、アルファベットの文字を使用して数字を表記し、記憶術の形で正弦表などの量を表現しました。^[20]

アーリヤバータは円周率(π)の近似値の研究をし、π は無理数であるという結論に達した可能性がある。アーリヤバーティヤムの第 2 部( gaṇitapāda 10) で、彼は次のように書いている。

caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām
ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ。

「100に4を足し、8を掛け、さらに62,000を足す。この法則で直径20,000の円の円周に近づくことができる。」^[21]

これは、直径が20000の円の場合、円周は62832になることを意味します。

つまり、 = = で あり、これは100万分の2の精度である。^[22]${\displaystyle \pi}$${\displaystyle 62832 \over 20000}$${\displaystyle 3.1416}$

アーリヤバータが「アーサナ（近づく）」という言葉を使ったのは、これが近似値であるだけでなく、その値が通約不可能（または無理数）であることを意味していたと推測される。これが正しければ、これは非常に洗練された洞察である。なぜなら、円周率（π）の無理数は、ヨーロッパでは1761年にランバートによって初めて証明されたからである。^[23]

アーリヤバティーヤがアラビア語に翻訳された後（紀元820年頃）、この近似はアル＝フワーリズミーの代数学の本で言及されました。^[10]

Ganitapada 6 では、アリヤバータは三角形の面積を次のように与えています。

tribhujasya phalaśarīraṃ samalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ

これは「三角形の場合、半辺に垂直に引いた結果が面積となる」と訳される。^[24]

アーリヤバータは、その著作の中で、正弦の概念を「半弦」を意味する「ardha-jya 」という名前で論じた。簡略化のため、人々はそれを「jya」と呼び始めた。アラビアの著述家が彼の著作をサンスクリット語からアラビア語に翻訳したとき、彼らはそれを「jiba 」と呼んだ。しかし、アラビア語の著述では母音が省略され、「jb 」と省略された。後の著述家はそれを「ポケット」または「（衣服の）折り目」を意味する「jaib」に置き換えた。（アラビア語では、 「jiba」は意味のない単語である。）12世紀後半、クレモナのゲラルドがこれらの著作をアラビア語からラテン語に翻訳したとき、彼はアラビア語の「 jaib」をラテン語の「sinus 」に置き換えた。sinusは「入り江」または「湾」を意味する。そこから英語の「 sine」という単語が生まれた。^[25]

古代からインドの数学者にとって大きな関心事となっている問題は、 ax + by = c という形式のディオファントス方程式の整数解を見つけることです。(この問題は古代中国の数学でも研究されており、その解は通常、中国の剰余定理と呼ばれています。) これは、バースカラのアーリヤバティーヤ注釈からの例です。

8で割った余りが5、9で割った余りが4、7で割った余りが1となる数を求めよ。

つまり、N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1 を求めます。N の最小値は 85 であることがわかります。一般に、このようなディオファントス方程式は非常に難しいことで有名です。これらは古代のヴェーダのテキストであるSulba Sutrasで広範に議論されており、その古い部分は紀元前 800 年にまで遡ります。このような問題を解く Aryabhata の方法は、紀元後 621 年に Bhaskara によって詳しく説明され、kuṭṭaka (कुट्टक) 法と呼ばれています。Kuṭṭakaは「粉砕する」または「小さな断片に分割する」を意味し、この方法では元の因数を小さな数値で記述するための再帰アルゴリズムが使用されます。このアルゴリズムはインド数学における一階ディオファントス方程式を解く標準的な方法となり、当初は代数学の分野全体がkuṭṭaka-gaṇitaまたは単にkuṭṭakaと呼ばれていました。^[26]

アリヤバータは、『Aryabhatiya』で、一連の正方形と立方体の合計の洗練された結果を提供しました: ^[27]

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}}$

そして

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}}$（二乗三角数を参照）

アーリヤバータの天文学体系はアウダヤカ体系と呼ばれ、日数はランカまたは「赤道」の夜明けであるウダイから数えられる。彼の後期の天文学に関する著作の一部は明らかに第2のモデル（またはアルダ・ラートリカ、真夜中）を提案していたが、失われているが、ブラフマグプタのカンダカディヤカの議論から部分的に再構成することができる。いくつかの文献では、彼は天体の見かけの動きを地球の自転に帰しているようだ。彼は惑星の軌道が円形ではなく楕円形であると信じていたのかもしれない。 ^{[28] [29]}

アーリヤバータは、地球は毎日自転しており、星の見かけの動きも地球の自転による相対的な動きであると主張しました。これは、当時支配的だった天体が回転しているという見解とは対照的です。^{[22]これは}アーリヤバーティヤの最初の章で示されており、そこで彼はユガにおける地球の自転回数を示しています。^{[30]そして}ゴラの章でより明確に述べています。 ^[31]

船に乗って前進している人が、動かない物体が後退しているのを見るのと同じように、赤道上にいる人は、動かない星が一様に西に向かって進んでいるのを見ます。昇ったり沈んだりする原因は、星の球体が惑星と一緒に赤道で真西に回転し、常に宇宙の風に押されているためです。

アリヤバータは太陽系の地動モデルを説明した。太陽と月はそれぞれ周転円によって運ばれ、地球の周りを回る。このモデルは『パイターマハシッダーンタ』（紀元425年頃）にも見られるが、惑星の運動はそれぞれ2つの周転円、すなわち小さいマンダ（遅い）と大きいシーグラ（速い）によって支配されている。^[32]地球からの距離による惑星の順序は、月、水星、金星、太陽、火星、木星、土星、そしてアステリズムである。^[10]

惑星の位置と周期は、均一に動く点を基準にして計算された。水星と金星の場合、それらは太陽と同じ平均速度で地球の周りを回る。火星、木星、土星の場合、それらは特定の速度で地球の周りを回り、各惑星の黄道帯での動きを表している。ほとんどの天文学の歴史家は、この2つの周転円モデルはプトレマイオス朝以前のギリシャ天文学の要素を反映していると考えている。^[33]アリヤバータのモデルの別の要素である太陽に対する基本的な惑星周期であるシグロッカは、一部の歴史家によって、根底にある太陽中心モデルの兆候と見なされている。^[34]

日食と月食は、アリヤバータによって科学的に説明されました。彼は、月と惑星は太陽光の反射によって輝くと述べています。日食はラーフとケートゥ（擬似惑星の月の交点として特定）によって引き起こされるという当時の宇宙論とは異なり、彼は日食を地球に投げかけられた影と地球に落ちる影の観点から説明しています。したがって、月食は月が地球の影に入るときに発生します（詩 gola.37）。彼は地球の影の大きさと範囲について長々と説明し（詩 gola.38–48）、次に日食中の日食部分の計算と大きさを示しています。後のインドの天文学者が計算を改良しましたが、アリヤバータの方法が核心を提供しました。彼の計算パラダイムは非常に正確で、18世紀の科学者ギヨーム・ル・ジャンティはインドのポンディシェリを訪れた際に、 1765年8月30日の月食の継続時間に関するインドの計算が41秒短いことを発見した。一方、彼の図表（トビアス・マイヤー、1752年）は68秒長かった。^[10]

現代のイギリスの時間単位で考えると、アリヤバタは恒星回転（恒星を基準とした地球の自転）を23時間56分4.1秒と計算した。^{[35]現代の値は23:56:4.091である。同様に、}恒星年の長さを365日6時間12分30秒（365.25858日）^[36]と計算したが、これは1年の長さ（365.25636日）に対して3分20秒の誤差である。^[37]

前述のように、アリヤバータは地球が自転するという天文学モデルを提唱した。彼のモデルでは、天空の惑星の速度を太陽の平均速度で補正（シーグラ異常）も行われた。そのため、アリヤバータの計算は、惑星が太陽の周りを回るという太陽中心モデルに基づいていたと示唆されているが、 ^{[38] [39] [40]}、これは反論されている。^{[41]また、アリヤバータのシステムの側面は、インドの天文学者が知らなかった、おそらくプトレマイオス朝以前の}ギリシャの太陽中心モデルから派生した可能性があると示唆されているが、 ^[42]証拠は乏しい。^[43]一般的な見解としては、（太陽の位置に依存する）朔望異常は物理的に太陽中心の軌道を意味するものではなく（そのような修正は後期バビロニアの天文学の文献にも存在する）、アリヤバタの体系は明確に太陽中心ではなかったということである。^[44]

アリヤバータの著作はインドの天文学の伝統に大きな影響を与え、翻訳を通じて近隣のいくつかの文化にも影響を与えました。イスラムの黄金時代(紀元 820 年頃)のアラビア語への翻訳は特に大きな影響力がありました。彼の研究結果の一部はアル・フワーリズミーによって引用されており、10 世紀にはアル・ビールーニーが、アリヤバータの信奉者たちは地球が自転していると信じていたと述べています。

彼が定義した正弦（jya）、余弦（kojya）、正弦（utkrama-jya）、逆正弦（otkram jya ）は三角法の誕生に影響を与えました。また、0°から90°までの3.75°間隔で小数点以下4桁の精度で正弦と正弦（1 − cos  x ）の表を初めて規定しました。

実際、現代の用語「サイン」と「コサイン」は、アリヤバータが導入したjyaとkojyaの誤転写である。前述のように、これらはアラビア語でjibaとkojibaと翻訳され、その後、クレモナのジェラルドがアラビア語の幾何学のテキストをラテン語に翻訳する際に誤解した。彼は、jiba がアラビア語のjaibであり、これは「衣服のひだ」を意味するラテン語sinus (1150 年頃) であると想定した。^[45]

アリヤバータの天文計算方法も非常に影響力がありました。三角関数表とともに、イスラム世界で広く使用されるようになり、多くのアラビアの天文表 ( zijes ) の計算に使用されました。特に、アラビアのスペインの科学者アル・ザルカリ(11 世紀) の著作にある天文表は、ラテン語に翻訳されてトレドの表(12 世紀) となり、何世紀にもわたってヨーロッパで使用された最も正確な天体暦として残りました。

アーリヤバータとその追随者らが考案した暦計算は、パンチャンガム（ヒンドゥー暦）を確定する実用的な目的でインドで継続的に使用されてきた。イスラム世界では、それらは1073年にオマール・カイヤームを含む天文学者のグループによって導入されたジャラリ暦の基礎となり、 [ 46 ^{]そのバージョン（1925年に修正）は現在}イランとアフガニスタンで使用されている国家暦である。ジャラリ暦の日付は、アーリヤバータ暦やそれ以前のシッダーンタ暦と同様に、実際の太陽の通過に基づいている。このタイプの暦では、日付を計算するために天体暦が必要である。日付の計算は困難であったが、季節による誤差はグレゴリオ暦よりもジャラリ暦の方が少なかった。 [^要出典]

パトナのアーリヤバッタ ナレッジ大学(AKU) は、彼に敬意を表して、技術、医療、管理、および関連する専門教育に関する教育インフラの開発と管理を目的としてビハール州政府によって設立されました。この大学は、2008 年ビハール州立大学法によって運営されています。

インド初の衛星アリヤバタと月のクレーター アリヤバタはどちらも彼にちなんで名付けられており、アリヤバタ衛星はインドの2ルピー紙幣の裏面にも描かれている。天文学、天体物理学、大気科学の研究を行う研究所が、インドのナイニタール近郊にあるアリヤバタ観測科学研究所（ARIES）である。学校対抗アリヤバタ数学コンテストも彼にちなんで名付けられている^[47]。また、2009年にISROの科学者が成層圏で発見した細菌の一種であるバチルス・アリヤバタも彼にちなんで名付けられている。 ^{[48] [49]}

• アーリヤバタ記数法
• アーリヤバタの正弦表
• インドの数学
• インドの数学者一覧

• クック、ロジャー（1997）。数学の歴史：簡単なコース。ワイリー・インターサイエンス。ISBN 0-471-18082-3。
• クラーク、ウォルター・ユージン(1930)。『アーリヤバタのアーリヤバティヤ: 数学と天文学に関する古代インドの著作』シカゴ大学出版局、再版: Kessinger Publishing (2006) 。ISBN 978-1-4254-8599-3。
• Kak, Subhash C. (2000)。「インド天文学の誕生と初期の発展」。Selin , Helaine編 (2000)。『文化を超えた天文学：非西洋天文学の歴史』。ボストン：Kluwer。ISBN 0-7923-6363-9。
• シュクラ、クリパ・シャンカール。アリヤバータ：インドの数学者、天文学者。ニューデリー: インド国立科学アカデミー、1976 年。
• サーストン、H. (1994)。初期天文学。Springer -Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-94107-X。

ウィキメディア・コモンズには、アリヤバータに関連するメディアがあります。

Wikiquote にAryabhataに関する引用があります。

• 1930 年の『アーリヤバーティヤ』の英訳がインターネット アーカイブにさまざまな形式で保存されています。
• オコナー、ジョン・J.ロバートソン、エドマンド F.、「Aryabhata」、MacTutor 数学史アーカイブ、セント アンドリュース大学
• Achar, Narahari (2007)。「Āryabhaṭa I」。Thomas Hockey 他編『天文学者の伝記百科事典』。ニューヨーク: Springer。p. 63。ISBN 978-0-387-31022-0。（PDF版）
• 「アリヤバータとディオファントスの息子」、ヒンドゥスタン・タイムズ・ストーリーテリング・サイエンス・コラム、2004 年 11 月
• スーリヤ・シッダーンタの翻訳