擬テンソル

物理学や数学では、擬テンソルは通常、方向を保持する座標変換（例えば、適切な回転）の下ではテンソルのように変換するが、方向を反転する座標変換（例えば、不適切な回転）の下では符号が変化する量である。不適切な回転とは、適切な回転の後に鏡映を行うことで表現できる変換である。これは擬ベクトルの一般化である。テンソルまたは擬テンソルの符号を評価するには、回転が行われる空間に属する、そのランクと同じ数のベクトルと縮約する必要がある。このとき、テンソルの座標は変化しない（基底変換の場合とは異なる）。不適切な回転の下では、同じランクの擬テンソルと適切なテンソルは、ランクが偶数か奇数かによって異なる符号を持つ。擬テンソルの挙動を確認するために、不適切な回転の例として軸の反転が用いられることがあるが、これはベクトル空間の次元が奇数の場合にのみ有効であり、そうでない場合は反転は鏡映を伴わない適切な回転となる。

擬テンソル（および擬ベクトル）には、一般相対性理論に限定された第二の意味があります。テンソルは厳密な変換法則に従いますが、この意味での擬テンソルはそのような制約を受けません。したがって、擬テンソルの形式は、一般に、参照系が変化すると変化します。応力・エネルギー・運動量擬テンソルなど、ある参照系で成り立つ擬テンソルを含む方程式は、別の参照系では必ずしも成り立つとは限りません。このため、擬テンソルが現れる方程式は形式的に不変ではないため、擬テンソルの意義は限定的になります。

1980年代の数学的発展により、擬テンソルはジェット束の断面として理解されるようになった。

異なる文脈において、全く異なる2つの数学的対象が擬テンソルと呼ばれることがある。

最初の文脈は、本質的には符号因子を掛けたテンソルであり、通常のテンソルでは符号が変わらないのに、擬テンソルでは鏡映の下で符号が変わる。ある定義によれば、擬テンソルPは次のようになる。${\displaystyle (p,q)}$は、任意の基底における成分が列挙される幾何学的オブジェクトである。${\displaystyle (p+q)}$インデックスは変換ルールに従う $${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}}=(-1)^{A}A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{q}}{}_{k_{q}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{p}}{}_{j_{p}}P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$$ 基準変更の下で。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ここ${\displaystyle {\hat {P}}_{\,j_{1}\ldots j_{p}}^{i_{1}\ldots i_{q}},P_{l_{1}\ldots l_{p}}^{k_{1}\ldots k_{q}}}$はそれぞれ、新基底と旧基底における擬テンソルの成分である。${\displaystyle A^{i_{q}}{}_{k_{q}}}$は反変インデックスの遷移行列であり、${\displaystyle B^{l_{p}}{}_{j_{p}}}$は共変インデックスの遷移行列であり、${\displaystyle (-1)^{A}=\mathrm {sign} \left(\det \left(A^{i_{q}}{}_{k_{q}}\right)\right)=\pm {1}.}$ この変換規則は、通常のテンソルの規則と因子が存在する点のみが異なる。${\displaystyle (-1)^{A}.}$

「擬テンソル」という言葉が使われる2つ目の文脈は、一般相対性理論です。この理論では、重力場のエネルギーと運動量をエネルギー・運動量テンソルで記述することはできません。その代わりに、制限された座標変換に関してのみテンソルとして振る舞うオブジェクトを導入します。厳密に言えば、そのようなオブジェクトはテンソルではありません。そのような擬テンソルの有名な例として、ランダウ・リフシッツ擬テンソルが挙げられます。

向き付け不可能な多様体では、向き付け不可能性のため、体積形式を全体的に定義することはできませんが、形式的には密度である体積要素を定義することはできます。これは、符号のねじれ（符号束とのテンソル化）が加わるため、擬似体積形式とも呼ばれます。最初の定義によれば、体積要素は擬似テンソル密度です。

多次元積分における変数変換は、ヤコビ行列の行列式の絶対値を係数として導入することで実現できます。絶対値を用いることで、積分（体積）要素を正に保つという慣例を補正するために、不適切な座標変換に対して符号反転が生じます。そのため、被積分関数は、最初の定義によれば擬テンソル密度の例となります。

多様体上のアフィン接続のクリストッフェル記号は、ベクトル場の座標表現の座標に関する偏微分に対する補正項と考えることができ、それによってベクトル場の共変微分となる。アフィン接続自体は座標の選択に依存しないが、そのクリストッフェル記号は座標の選択に依存するため、第2の定義によれば擬テンソル量となる。

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• 擬似ベクトル– 不適切な回転によって符号が変化する物理量 
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• Mathworldにおける擬似テンソルの説明。