完璧なセット

一般位相幾何学では、位相空間の部分集合が完全であるとは、それが閉じていて孤立点を持たない場合を指します。同様に、集合 が完全であるとは 、のすべての極限点の集合を表す、つまり の導出集合のときです。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S=S'}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

完全集合では、すべての点は集合の他の点によって任意に近似できます。つまり、 の任意の点と点の任意の近傍が与えられた場合、近傍内に の別の点が存在します。さらに、 の点によってそのように近似できる空間の任意の点はに属します。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

完全空間という用語は、G _δ空間であるなど、位相空間の他の特性を指すために矛盾して使用されることに留意してください。別の混乱の原因として、完全集合特性を持つことは完全集合であることと同じではないこと にも注意してください。

実数直線 の完全部分集合の例としては、空集合、すべての閉区間、実数直線自体、カントール集合などがある。カントール集合は完全に分離されている点で注目に値する。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

集合が完全かどうか（そして閉じているかどうか）は、周囲の空間に依存します。たとえば、集合 は空間 の部分集合としては完全ですが、空間 の部分集合としては完全ではありません。後者では 閉じていないためです。${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

あらゆる位相空間は、完全集合と散在集合の互いに素な和集合として一意に表すことができる。^{[1] [2]}

カントールは、実数直線上のすべての閉部分集合は、完全集合と可算集合の互いに素な和集合として一意に表すことができることを証明した。これは、より一般にポーランド空間のすべての閉部分集合にも当てはまり、その場合の定理はカントール・ベンディクソンの定理として知られている。

カントールはまた、実数直線の空でない完全部分集合はすべて濃度 、つまり連続体の濃度 を持つことも示した。これらの結果は記述集合論において次のように 拡張される 。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

• X が孤立点のない完全な距離空間である場合、カントール空間2 ^ωはXに連続的に埋め込むことができます。したがって、Xの濃度は少なくとも です。Xが孤立点のない分離可能な完全な距離空間である場合、 Xの濃度はちょうど です。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• X が孤立点を持たない局所コンパクトな ハウスドルフ空間である場合、カントール空間からXへの単射関数（必ずしも連続ではない）が存在するため、X の濃度は少なくとも になります。${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

• それ自体が密集している
• 有限交差特性
• 部分空間トポロジー

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ベルリン：ヘルダーマン・フェルラーク。ISBN 3-88538-006-4。
• Kechris, AS (1995)、Classical Descriptive Set Theory、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 3540943749
• レヴィ、A.（1979）、Basic Set Theory、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag
• パール、エリオット編 (2007)、トポロジーにおける未解決問題 II、エルゼビア、ISBN 978-0-444-52208-5、MR  2367385