集合論的極限

数学において、集合の列（共通集合の部分集合）の極限とは、その要素が次の2つの同等な方法のいずれかで列によって決定される集合である。（1）同じ集合に単調収束する列の上限と下限による（実数値列の収束に類似）、および（2）それ自体が実数値である指示関数の列の収束による。他のオブジェクトの列の場合と同様に、収束は必要ではなく、通常でもありません。 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle X}$

より一般的には、実数値列と同様に、集合列のより制限の少ない極限下限と極限上限は常に存在し、収束を判断するために使用できます。極限下限と極限上限が同一である場合、極限が存在します。(以下を参照)。このような集合極限は、測度論と確率論において不可欠です。

ここで説明した極限の下限と上限には、集積点の集合、つまり、それぞれが何らかの に属する の集合が含まれるというのはよくある誤解です。これは、収束が離散計量によって決定される場合（つまり、すべての に対してとなるようなが存在する場合）にのみ当てはまります。この記事は、測度論と確率に関連する唯一の状況であるため、その状況に限定されています。以下の例を参照してください。（一方、異なる計量または位相の下で集積点を含む、より一般的な位相的な集合収束の概念もあります。） ${\displaystyle x=\lim _{k\to \infty }x_{k},}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle A_{n_{k}}.}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}=x}$${\displaystyle n\geq N}$

が集合のシーケンスであると 仮定します。2 つの同等の定義は次のとおりです。${\displaystyle \left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$

• 和集合と積集合を使用して、^{[1] [2]} を定義し、これら 2 つの集合が等しい場合、シーケンスの集合論的極限が存在し、その共通集合に等しくなります。上記のいずれかの集合を使用して極限を得ることができますが、極限を得るための他の手段もある可能性があります。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}}$$${\displaystyle A_{n}}$
• 指示関数の使用:の場合は を、それ以外の場合は を等しくします。^[1]とを定義します。ここで、右側の括弧内の式は、それぞれ実数値シーケンスの極限最小値と極限最大値です。また、これら 2 つのセットが等しい場合、シーケンスの集合論的極限が存在し、その共通セットに等しくなり、上記のいずれかのセットを使用して極限を取得できます。${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x\in A_{n},}$${\displaystyle 0}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}}}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}={\Bigl \{}x\in X:\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1{\Bigr \}},}$$${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x).}$${\displaystyle A_{n}}$

定義の同等性を確認するには、極限の下限について考えます。以下に示すド・モルガンの法則の使用により、これがなぜ極限の上限に十分であるかが説明されます。指示関数は のみ の値を取り、が有限回のみ の 値を取る場合のみ であるためです。同様 に、 が存在して、その要素が任意の に対してに含まれる場合のみ、つまり が有限回のみ の場合のみである ため、が に含まれる場合のみ、つまり が有限回以外すべて に含まれる場合のみ となります。このため、極限の下限の省略形は「 がを除くすべてに 含まれる」であり、通常は「 abfo 」と書きます。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1}$${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x)}$${\displaystyle 0}$${\textstyle x\in \bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle m\geq n,}$${\displaystyle x\not \in A_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A_{n}.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

同様に、がどれだけ大きくても、その要素が に含まれる が存在する場合、その要素は の上限の極限にあります。つまり、 がの上限の極限にあるのは、 が無限回に含まれる場合のみです。このため、 の上限の省略形は「が 無限回に含まれる」であり、通常は「 io 」 と書きます。${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle A_{m}.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A_{n}.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

言い換えると、極限の最小値は「最終的に永久に残る」（ある の後の各集合に含まれる）要素で構成され、極限の最大値は「永久に残ることはない」（各 の後の各集合に含まれる）要素で構成されます。または、より正式には次のようになります。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

それぞれに対して であるとき、数列は非増加であると言われ、それぞれに対して であるとき、非減少であると言われる。これらの各ケースには、集合の極限が存在する。例えば、非増加数列を考えてみよう。すると 、 これらから次のようになる。 同様に、が非減少である とき、${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$${\displaystyle A_{n+1}\subseteq A_{n}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle A_{n}\subseteq A_{n+1}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \left(A_{n}\right).}$$${\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}{\text{ and }}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=A_{n}.}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n\geq 1}\bigcap _{j\geq n}A_{j}=\bigcap _{j\geq 1}A_{j}=\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}A_{j}=\limsup _{n\to \infty }A_{n}.}$$${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{j\geq 1}A_{j}.}$$

カントール集合は次のように定義されます。

• の極限が無限大になる場合、はすべて に対して存在します。それ以外の場合、 の極限は存在しません。${\displaystyle \mathbb {1} _{A_{n}}(x),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\left\{x\in X:\lim _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=1\right\}.}$$${\displaystyle \left(A_{n}\right)}$
• 極限の最小値は極限の最大値に含まれていることが示せます。たとえば、有限回数を除いてすべてが無限回数を意味することを観察するだけでそれが示せます。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}\subseteq \limsup _{n\to \infty }A_{n},}$$${\displaystyle x\in A_{n}}$${\displaystyle x\in A_{n}}$
• の単調性およびの単調性を利用して${\textstyle B_{n}=\bigcap _{j\geq n}A_{j}}$${\textstyle C_{n}=\bigcup _{j\geq n}A_{j},}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcap _{j\geq n}A_{j}\quad {\text{ and }}\quad \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\lim _{n\to \infty }\bigcup _{j\geq n}A_{j}.}$$
• ド・モルガンの法則を補集合 とともに 2 回使用すると、つまり、有限回数を除いてすべては有限回数と同じになります。${\displaystyle A^{c}:=X\setminus A,}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\left(\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}A_{j}^{c}\right)^{c}=\left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}^{c}\right)^{c}.}$$${\displaystyle x\in A_{n}}$${\displaystyle x\not \in A_{n}}$
• 上記の2番目の定義と実数値列の極限下限値と極限上限値の定義から、$${\displaystyle \mathbb {1} _{\liminf _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\liminf _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\sup _{n\geq 1}\inf _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x)}$$$${\displaystyle \mathbb {1} _{\limsup _{n\to \infty }A_{n}}(x)=\limsup _{n\to \infty }\mathbb {1} _{A_{n}}(x)=\inf _{n\geq 1}\sup _{j\geq n}\mathbb {1} _{A_{j}}(x).}$$
• が の部分集合の𝜎-代数であるとする。つまり、 は空でなく、補集合と可算な数の集合の和集合および積集合に対して閉じている。すると、上記の最初の定義により、それぞれが ならば、と は両方ともの要素である。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

• それでは​${\displaystyle A_{n}=\left(-{\tfrac {1}{n}},1-{\tfrac {1}{n}}\right].}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left[0,1-{\tfrac {1}{n}}\right]=[0,1)}$$ そして 存在し ます。 $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left(-{\tfrac {1}{j}},1-{\tfrac {1}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{n}},1\right)=[0,1)}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=[0,1)}$

• 前の例を次のように変更します。${\displaystyle A_{n}=\left({\tfrac {(-1)^{n}}{n}},1-{\tfrac {(-1)^{n}}{n}}\right].}$

$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n}\bigcap _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcup _{n}\left({\tfrac {1}{2n}},1-{\tfrac {1}{2n}}\right]=(0,1)}$$ したがって 、区間の左端と右端がそれぞれ 0 と 1 に収束する にもかかわら ず、存在しません。$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n}\bigcup _{j\geq n}\left({\tfrac {(-1)^{j}}{j}},1-{\tfrac {(-1)^{j}}{j}}\right]=\bigcap _{n}\left(-{\tfrac {1}{2n-1}},1+{\tfrac {1}{2n-1}}\right]=[0,1],}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

• それでは​${\displaystyle A_{n}=\left\{0,{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {2}{n}},\ldots ,{\tfrac {n-1}{n}},1\right\}.}$

$${\displaystyle \bigcup _{j\geq n}A_{j}=\mathbb {Q} \cap [0,1]}$$は 0 から 1 までのすべての有理数 の集合です。 に対しても であり、 は上記の要素であるためです。 したがって、 一方で、は次を意味します 。 この場合、シーケンスには極限がありません。 は累積点の集合ではないことに注意してください。累積点の集合は、通常のユークリッド距離に従って、区間全体になります。 ${\displaystyle j<n}$${\displaystyle 0\leq k\leq j,}$ ${\displaystyle {\tfrac {k}{j}}={\tfrac {nk}{nj}}}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\mathbb {Q} \cap [0,1].}$$$${\displaystyle \bigcap _{j\geq n}A_{j}=\{0,1\},}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\{0,1\}.}$$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$${\displaystyle [0,1]}$

集合の極限、特に下限極限と上限極限は、確率論と測度論にとって不可欠です。このような極限は、他のより目的のある集合の確率と測度を計算（または証明）するために使用されます。以下では、は確率空間であり、つまり はのサブセットのσ-代数であり、はその σ-代数上で定義された確率測度です。 σ-代数内の集合はイベントとして知られています。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

が単調なイベントシーケンスである場合、が存在し、 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$$${\displaystyle \mathbb {P} \left(\lim _{n\to \infty }A_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right).}$$

確率論では、2つのボレル・カンテリの補題は、一連の事象の終局確率が1か0であることを示すのに役立つ。最初の（元の）ボレル・カンテリの補題の主張は、

2番目のボレル-カンテリの補題は部分的な逆である:

確率の最も重要な応用の 1 つは、一連のランダム変数のほぼ確実な収束を示すことです。一連のランダム変数が別のランダム変数に収束するイベントは、正式には次のように表現されます。ただし、これを単にイベントの limsup と書くのは間違いです。つまり、これはイベントではありません。代わりに、イベントの 補集合は、 したがって、 ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},\ldots }$${\displaystyle Y}$${\textstyle \left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}.}$${\textstyle \limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|=0\right\}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}&=\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|>{\frac {1}{k}}{\text{ for some }}k\right\}\\&=\bigcup _{k\geq 1}\bigcap _{n\geq 1}\bigcup _{j\geq n}\left\{\left|Y_{j}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\\&=\lim _{k\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \mathbb {P} \left(\left\{\limsup _{n\to \infty }\left|Y_{n}-Y\right|\neq 0\right\}\right)=\lim _{k\to \infty }\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }\left\{\left|Y_{n}-Y\right|>{\tfrac {1}{k}}\right\}\right).}$$

• 集合の同一性と関係の一覧 – 集合の組み合わせの等式
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