地球の半径

地球の半径
1984 年の世界測地系改訂版で定義された赤道 ( a )、極 ( b )、算術平均地球半径(縮尺は一定ではありません)
その他の名前	地上半径
一般的な記号	R 🜨、R E、a、b、a E、b E、R e E、R p E
SI単位	メートル
SI基本単位では	メートル
座標変換における動作	スカラー
寸法	${\displaystyle {\mathsf {L}}}$
価値	赤道半径: a = (6 378 137 .0 m ) 極半径: b = (6 356 752 .3 メートル)

公称地球半径
地球内部の断面図
一般情報
単位系	天文学、地球物理学
単位	距離
シンボル	${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$、、 ​${\displaystyle {\mathcal {R}}_{e\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{p\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$
コンバージョン
1 インチ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$	...は...に等しい
SI基本単位	6.3781 × 10 6 メートル[1]
メートル法	6,357～6,378 km
英語単位	3,950～3,963マイル

地球の半径（ R🜨またはR _Eと表記）は_、地球の中心から地球表面上または表面近くの点までの距離です。地球の形を地球球体（扁平楕円体）で近似すると、半径は最大（赤道半径、aと表記）の約6,378 km（3,963 mi）から最小（極半径、bと表記）の約6,357 km（3,950 mi）までの範囲になります。

地球全体の平均値は通常、以下の理由により 6,371 キロメートル (3,959 マイル) で、変動は 0.3% (±10 km) であると考えられています。国際測地学地球物理学連合(IUGG) は、3 つの基準値を提供しています。2つの赤道点と 1 つの極で測定された 3 つの半径の平均半径( R ₁ ) 、同じ表面積を持つ球の半径である正積半径( R ₂ )、および楕円体と同じ体積を持つ球の半径である体積半径( R ₃ ) です。^[2]これら 3 つの値はいずれも約 6,371 キロメートル (3,959 マイル) です。

地球の半径を定義および測定する他の方法としては、回転楕円体の曲率半径または実際の地形のいずれかが関係します。いくつかの定義では、局所的な影響を考慮しているため、極半径と赤道半径 の範囲外の値が生成されます。

公称地球半径（と表記）は、天文学や地球物理学において測定単位として使用されることがあります。これは、惑星の特性を一定の地球半径の倍数または分数として表すときに使用される変換係数です。赤道半径と極半径の選択が明確でない場合は、国際天文学連合（IAU）の推奨に従い、赤道半径が想定されます。^[1]${\displaystyle {\mathcal {R}}_{\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$

地球の自転、内部の密度の変化、外部の潮汐力により、地球の形状は完全な球体から系統的にずれています。^[a]局所的な地形により変動が大きくなり、その結果、表面は非常に複雑になります。地球表面の説明は、扱いやすくするために、現実よりも単純でなければなりません。したがって、私たちは地球表面の特性を近似するモデルを作成し、通常はニーズに合った最も単純なモデルに依存します。

一般的に使用されている各モデルには、幾何学的な半径の概念が何らかの形で含まれています。厳密に言えば、球は半径を持つ唯一の立体ですが、地球のモデルを扱う分野を含む多くの分野では、より広い意味での「半径」という用語が一般的に使用されています。以下は、地球の表面のモデルの一部で、正確なものからより近似したものの順に並べたものです。

• 地球の実際の表面
• ジオイドは、実際の地表上の各点の平均海面によって定義される^[b]
• 回転楕円体とも呼ばれる球体。地球全体をモデル化するために地心円状に、あるいは地域的な作業のために測地線状に描かれる^[c]
• 球体​

ジオイドと楕円体の場合、モデル上の任意の点から指定された中心までの固定距離は、「地球の半径」または「その点における地球の半径」と呼ばれます。^[d]球面モデルの平均半径を「地球の半径」と呼ぶことも一般的です。一方、地球の実際の表面を考慮する場合、「半径」を参照することは一般的ではありません。これは、通常、実用的な必要がないためです。むしろ、海面からの標高または海面下の標高が役立ちます。

モデルに関係なく、これらの地心半径はいずれも、極域の最小値約 6,357 km と赤道域の最大値約 6,378 km (3,950 ～ 3,963 マイル) の間にあります。したがって、地球は完全な球体からわずか 3 分の 1 パーセントしか外れておらず、ほとんどの状況で球体モデルが支持され、「地球の半径」という用語が正当化されます。具体的な値は異なりますが、この記事の概念はどの主要な惑星にも一般化できます。

惑星の自転により、惑星は赤道で膨らみ、北極と南極で平らになる扁平楕円体/回転楕円体に近似するため、赤道半径aは極半径bよりも約aqだけ大きくなります。扁平定数qは次のように与えられます 。

${\displaystyle q={\frac {a^{3}\omega ^{2}}{GM}}\,,}$

ここでωは角周波数、Gは重力定数、M は惑星の質量です。^[e]地球の場合⁠1/q⁠ ≈ 289 、これは測定された逆平坦化 に近い⁠1/ふ⁠ ≈ 298.257。さらに、赤道の膨らみはゆっくりと変化しています。膨らみは減少していましたが、1998年以降は膨らみが増加しており、これは海流による海洋質量の再分配によるものと考えられます。 ^[4]

密度と地殻の厚さの変動により、地表全体と時間にわたって重力が変化するため、平均海面は楕円体と異なります。この差がジオイド高で、楕円体の上または外側は正、下または内側は負になります。地球上のジオイド高の変動は110メートル（360フィート）未満です。ジオイド高は、地震（スマトラ・アンダマン地震など）や氷塊の減少（グリーンランドなど）により急激に変化することがあります。^[5]

すべての変形が地球内部で発生するわけではありません。月や太陽の引力により、特定の地点における地球の表面は、約 12 時間にわたって 10 分の 1 メートル変化することがあります (地球の潮汐を参照)。

地表の高さに対する局所的かつ一時的な影響を考慮して、以下に定義される値は「汎用」モデルに基づいており、基準楕円体の高さの 5 メートル (16 フィート) 以内、平均海面の 100 メートル (330 フィート) 以内 (ジオイドの高さは無視) で可能な限りグローバルに正確に調整されています。

さらに、半径は、地球のある地点での曲率から推定できます。トーラスと同様に、ある地点での曲率は、1 つの方向 (地球の南北方向) で最大 (最もきつい) になり、それと垂直な方向 (東西方向) では最小 (最も平坦) になります。対応する曲率半径は、その地点からの測定位置と方向によって異なります。結果として、赤道での真の地平線までの距離は、東西方向よりも南北方向の方がわずかに短くなります。

要約すると、地形の地域的な変化により、単一の「正確な」半径を定義することはできません。採用できるのは理想化されたモデルだけです。エラトステネスによる推定以来、多くのモデルが作成されてきました。歴史的には、これらのモデルは地域的な地形に基づいており、調査対象地域に最適な参照楕円体を提供していました。衛星リモートセンシング、特に全地球測位システムの重要性が高まるにつれて、地域的な作業にはそれほど正確ではありませんが、地球全体を最もよく近似する真の地球モデルが開発されました。

以下の半径は、世界測地系1984 ( WGS-84 )の基準楕円体から算出されています。^[6]これは理想化された表面であり、計算に使用される地球の測定値は、赤道および極の両方の次元で ±2 m の不確実性があります。^{[7]特定の場所の地形の変化によって生じる追加の不一致は、重大な場合があります。観測可能な場所の位置を特定する場合、WGS-84 半径のより正確な値を使用しても、それに応じた}精度の向上が得られない可能性があります。^{[説明が必要]}

WGS-84 では、赤道半径の値は 0.1 m 単位で定義されています。このセクションの極半径の値は 0.1 m 単位で切り上げられており、ほとんどの用途で十分であると考えられます。極半径のより正確な値が必要な場合は、WGS-84 楕円体を参照してください。

• 地球の赤道半径 a、または長半径^{[8] ：11は}地球の中心から赤道までの距離であり、6,378.1370 km（3,963.1906 mi）に相当します。^{[9]赤道半径は、地球を他の}惑星と比較するためによく使用されます。

• 地球の極半径 b、または半短軸^{[8] ：11は、}地球の中心から北極と南極までの距離であり、6,356.7523 km（3,949.9028マイル）に相当します。

地心半径は、地球の中心から測地緯度 φにある球面上の点までの距離であり、次の式で与えられる： ^[10]

${\displaystyle R(\varphi )={\sqrt {\frac {(a^{2}\cos \varphi )^{2}+(b^{2}\sin \varphi )^{2}}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}},}$

ここで、 aとb はそれぞれ赤道半径と極半径です。

楕円体上の極値地心半径は、赤道半径および極半径と一致します。これらは楕円の 頂点であり、曲率半径の最小値および最大値とも一致します。

主な曲率半径は、子午線に沿ったものと主鉛直法線に沿ったものの2 つです。

特に、地球の子午線曲率半径（南北方向）はφで次のようになる：^[11]

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {(ab)^{2}}{{\big (}(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}{\big )}^{\frac {3}{2}}}}={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi )^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1-e^{2}}{a^{2}}}N(\varphi )^{3}\,.}$

ここで、地球の離心率は です。これはエラトステネスが円弧測定で測定した半径です。 ${\displaystyle e}$

一方の点がもう一方の点の真東に現れた場合、東西方向のおおよその曲率が求められます。^[f]

この地球の主垂直曲率半径は、地球の横方向曲率半径とも呼ばれ、測地緯度φ ^[g]でMに垂直（直交）に定義され、次の式で表される。^[11]

${\displaystyle N(\varphi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Nは幾何学的には楕円体表面から極軸までの法線距離として解釈することもできる。 ^[12]緯線 の半径はで与えられる。^{[13] [14]}${\displaystyle p=N\cos(\varphi )}$

地球の赤道における子午線曲率半径は、子午線の半緯度直角に等しい。

私_e = ⁠b2 ^.../1つの⁠  = 6,335.439 km

地球の赤道における主垂直曲率半径は赤道半径N _e = aに等しくなります。

地球の極曲率半径（子午線または垂直線）は次のとおりです。

M _p = N _p = ⁠2^つ/b⁠  = 6,399.594 km

地球の方位角（北から時計回りに測る）αと緯度φにおける地球の法線断面に沿った地球の方位曲率半径は、オイラーの曲率公式から次のように導かれる： ^{[16] ：97}

${\displaystyle R_{\mathrm {c} }={\frac {1}{{\dfrac {\cos ^{2}\alpha }{M}}+{\dfrac {\sin ^{2}\alpha }{N}}}}\,.}$

上記の主曲率半径を非方向性な方法で組み合わせることが可能です。

緯度φにおける地球のガウス曲率半径^は[16]である。

${\displaystyle R_{\mathrm {a} }(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {K}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }R_{\mathrm {c} }(\alpha )\,d\alpha \,={\sqrt {MN}}={\frac {a^{2}b}{(a\cos \varphi )^{2}+(b\sin \varphi )^{2}}}={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}}{1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

ここで、K はガウス曲率です。${\displaystyle K=\kappa _{1}\,\kappa _{2}={\frac {\det \,B}{\det \,A}}}$

緯度φにおける地球の平均曲率半径は^{[16] ：97}

${\displaystyle R_{\mathrm {m} }={\frac {2}{{\dfrac {1}{M}}+{\dfrac {1}{N}}}}\,\!}$

地球は球体としてモデル化できる方法が数多くある。このセクションでは一般的な方法について説明する。ここで導出される様々な半径は、 WGS-84楕円体から導出された地球の上記の表記法と寸法を使用している。^[6]すなわち、

赤道半径: a = (6 378 .1370 km )

極半径: b = (6 356 .7523 km )

球体は回転楕円体の大まかな近似であり、回転楕円体自体もジオイドの近似であるため、ここでは測地学に適したミリメートルの解像度ではなく、キロメートル単位で単位が与えられます。

地球物理学では、国際測地学地球物理学連合（IUGG）は地球の算術平均半径（R ₁と表記）を次のように定義している^[2]

${\displaystyle R_{1}={\frac {2a+b}{3}}\,\!}$

2という係数は、三軸楕円体の特殊化である地球の球体の二軸対称性を説明するものである。地球の場合、算術平均半径は6,371.0088 km（3,958.7613 mi）である。^[17]

地球の正積半径（「等面積」を意味する）は、基準楕円体と同じ表面積を持つ仮想的な完全な球の半径である。IUGGは正積半径をR ₂と表記する。^[2] 回転楕円体には閉じた形の解が存在する：^[8]

${\displaystyle R_{2}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(a^{2}+{\frac {b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{b/a}}\right)}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}{\frac {\tanh ^{-1}e}{e}}}}={\sqrt {\frac {A}{4\pi }}}\,,}$

ここで、⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{\big /}a}$は離心率、⁠ ⁠ は${\displaystyle A}$回転楕円体の表面積です。

地球の場合、正積半径は6,371.0072 km（3,958.7603 mi）である。^[17]

正積半径は、楕円体の表面上のガウス曲率 を平均化して得られる（全体的）平均曲率 の半径にも対応する。ガウス・ボネの定理を用いると、次の式が得られる。 ${\displaystyle R_{2}}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\frac {\int K\,dA}{A}}={\frac {4\pi }{A}}={\frac {1}{R_{2}^{2}}}.}$

もう一つの球体モデルは、地球の体積半径によって定義されます。これは、楕円体と等しい体積の球の半径です。IUGGは体積半径をR ₃と表します。^[2]

${\displaystyle R_{3}={\sqrt[{3}]{a^{2}b}}\,.}$

地球の場合、体積半径は6,371.0008km（3,958.7564マイル）である。^[17]

もう一つの地球全体の半径は地球の平行半径で、楕円体の任意の極断面で描かれる楕円の周囲に等しい円周を持つ球を与えます。これを求めるには、極半径と赤道半径が与えられている場合、楕円積分が必要です。

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {{a^{2}}\cos ^{2}\varphi +{b^{2}}\sin ^{2}\varphi }}\,d\varphi \,.}$

修正半径は子午線平均に等しく、Mの平均値として定義される：^[8]

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\!M(\varphi )\,d\varphi \,.}$

積分限界[0, ⁠π/2⁠ ]、偏向半径と平均半径の積分は同じ結果となり、地球の場合、6,367.4491 km (3,956.5494 マイル) となります。

子午線平均は、2つの軸の半三次平均によってよく近似される。^{[引用が必要]}

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx \left({\frac {a^{\frac {3}{2}}+b^{\frac {3}{2}}}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\,,}$

^{これは正確な結果と1μm（4} × 10−5インチ）未満しか違わない 。2つの軸の平均は、

${\displaystyle M_{\mathrm {r} }\approx {\frac {a+b}{2}}\,,}$

約6,367.445 km（3,956.547 mi）も使用できます。

上記の数式は、楕円体の表面に適用されます。以下のケースでは、基準楕円体の上または下にある地球の地形を考慮します。したがって、これらは地形的な地心距離R _tであり、緯度だけに依存するものではありません。

• 最大R _t :チンボラソ山の山頂は地球の中心から 6,384.4 km (3,967.1 マイル) 離れています。
• 最小R _t :北極海の海底は地球の中心から6,352.8 km (3,947.4 mi) 離れている。^[18]

地形平均地心距離は、あらゆる場所の標高を平均し、その結果、IUGG平均半径、正積半径、体積半径より230m大きい。この地形平均は6,371.230km（3,958.899マイル）で、不確実性は10m（33フィート）である。^[19]

地球の直径は、地球の半径の 2 倍です。たとえば、赤道直径(2 a ) と極直径(2 b ) です。WGS84 楕円体の場合、それぞれ次のようになります。

• 2 a = 12,756.2740 km (7,926.3812 マイル)、
• 2 b = 12,713.5046 km (7,899.8055 マイル)。

地球の円周は周囲の長さに等しい。赤道円周は単純に円周で、赤道半径aに関してC _e =2 πaである。極円周はC _p =4 m _pで、四分の一子午線m _p = aE ( e ) の 4 倍である。ここで極半径b は離心率e =(1− b ² / a ² ) ^{0.5 を}介して入る。詳細は 楕円#円周を参照。

子午線弧や測地線などのより一般的な表面曲線の弧の長さも、地球の赤道半径と極半径から導き出すことができます。

同様に、地図投影または測地線多角形に基づく表面積についても言えます。

地球の体積、つまり基準楕円体の体積は、V = ⁠4/3⁠ π a ² b 。WGS84回転楕円体のパラメータを用いると、 a = 6,378.137 km、 b =6 356 .752 3142  km、 V = 1.08321 × 10 ¹²  km ³ (2.5988 × 10 ¹¹ 立方メートル)。 ^[20]

天文学において、国際天文学連合は地球の公称赤道半径を と表し、これは正確に 6,378.1 km (3,963.2 mi) と定義されます。^{[1] : 3}地球の公称極半径は、正確に = 6,356.8 km (3,949.9 mi) と定義されます。これらの値は、地球潮汐力ゼロの慣例に対応しています。極半径が明示的に要求されない限り、赤道半径が慣例的に公称値として使用されます。^{[1] : 4} 公称半径は、天文学では長さの単位として機能します。(この表記法は、他の惑星 、たとえば木星の公称極半径に簡単に一般化できるように定義されています。) ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{e\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{p\mathrm {E} }^{\mathrm {N} }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}_{p\mathrm {J} }^{\mathrm {N} }}$

この表は、地球の半径の許容値をまとめたものです。

地球の大きさに関する最初の出版物は 紀元前350年頃で、アリストテレスが著書『天体について^』[22]で、数学者が地球の円周を40万スタディオンと推測したと述べている。学者たちはアリストテレスの数字を非常に正確だと解釈している^[23]ものから、実際の値のほぼ2倍だと解釈している^[24] 。地球の円周に関する最初の科学的測定と計算は、紀元前240年頃にエラトステネスによって行われた。エラトステネスの測定の誤差は0.5%から17%と推定されている^[25] 。アリストテレスとエラトステネスの両者にとって、推定値の正確さの不確実性は、彼らがどのスタディオンの長さを意味しているのかという現代の不確実性によるものである。

紀元前100年頃、アパメイアのポセイドニオスは地球の半径を再計算し、エラトステネスの計算値に近いことを発見したが^[26]、後にストラボンは実際の大きさの約3/4という誤った値を彼に与えた。^[27] 紀元後150年頃 、クラウディオス・プトレマイオスは地球が球体であることを裏付ける経験的証拠を示したが^[28]、彼はポセイドニオスに与えられたより小さい値を受け入れた。彼の非常に影響力のある著作であるアルマゲスト^[29]は、中世の学者たちに地球が球体であることに疑いの余地を与えなかったが、その大きさについては間違っていた。

1490年までに、クリストファー・コロンブスはイベリア半島の西海岸から3,000マイル西に航海すればアジアの東海岸に到達できると考えていた。^[30]しかし、1492年にその航海が成立し、コロンブスの艦隊はアメリカ大陸に到達した。マゼランの遠征（1519-1522年）は世界初の一周航海となり、地球が球形であることを立証し、^[31]エラトステネスによる当初の40,000 km（25,000マイル）という測定を裏付けた。

1690年頃、アイザック・ニュートンとクリスティアーン・ホイヘンスは、地球は球よりも扁平回転楕円体に近いと主張した。しかし、1730年頃、ジャック・カッシーニは、ニュートン力学の解釈の違いから、長楕円体であると主張した。^[32]この問題を解決するために、フランスの測地探査隊（1735-1739）は、北極圏と赤道付近の2か所で緯度1度を測定した。この遠征により、ニュートンの推測が正しいことが判明した。^[33]地球は、自転の遠心力により、両極で平らになっている。

• Merrifield, Michael R. (2010). 「 R ⊕ {\displaystyle R_{\oplus }} 地球の半径（および太陽系外惑星） 」. Sixty Symbols . Brady Haran for the University of Nottingham .