地球楕円体

地球楕円体または地球回転楕円体は、地球の形状を近似する数学的図形であり 、測地学、天文学、地球科学の計算の基準フレームとして使用されます。近似値として、さまざまな楕円体が使用されてきました。

これは回転楕円体（回転楕円体）であり、その短軸（短い方の直径）は地理的な北極と南極を結び、地球の自転軸とほぼ一直線になっています。楕円体は赤道軸（a）と極軸（b ）によって定義され、それらの半径の差は21 kmをわずかに超えており、 a（6,400 kmに満たない） の0.335%に相当します。

地球楕円体の軸を決定する方法は、子午線弧から現代の衛星測地学、大陸測地網の分析と相互接続に至るまで、数多く存在します。国家測量で使用されるさまざまなデータセットの中には、1841 年のベッセル楕円体、1924 年の国際ヘイフォード楕円体、および ( GPS測位用の) WGS84楕円体など、特に重要なものがいくつかあります。

楕円体には平均楕円体と基準楕円体の 2 種類があります。

地球の表面曲率の地球全体の平均を表すデータセットは、平均地球楕円体と呼ばれます。これは、地理的な緯度とジオイドの子午線曲率との間の理論的な一貫性を指します。後者は平均海面に近いため、理想的な地球楕円体はジオイドと 同じ体積を持ちます。

地球の平均楕円体は地球全体の測地学の理想的な基礎ですが、地域ネットワークではいわゆる基準楕円体の方が適しているかもしれません。^[1]測地測定を数学的な基準面で計算する必要がある場合、この面は地域ジオイドと同様の曲率を持つ必要があります。そうでない場合、測定値を 縮小すると小さな歪みが生じます。

これが、ヘイフォード楕円体やベッセル楕円体などの以前の基準楕円体の主軸が現代の値から数百メートルずれているにもかかわらず、「長寿命」である理由です。もう 1 つの理由は、法的なものです。何百万もの境界石の座標は長期間固定されたままである必要があります。基準面が変化すると、座標自体も変化します。

ただし、国際ネットワーク、GPS測位、または宇宙飛行の場合、これらの地域的な理由はそれほど重要ではありません。地球の形状に関する知識がますます正確になるにつれて、国際地球科学連合(IUGG) は通常、地球楕円体の軸を入手可能な最良のデータに適合させます。

測地学では、基準楕円体は、数学的に定義された表面で、ジオイドを近似します。ジオイドは、地球または他の惑星のより真実で不完全な形状であり、完全で滑らかで不変の球体とは対照的です。ジオイドは、内部の組成と密度の変化による天体の重力の起伏、およびこれらの巨大な物体の回転による遠心力によって引き起こされるその後の平坦化（回転する惑星の場合）を考慮に入れています。基準楕円体は比較的単純であるため、測地ネットワークの計算が実行され、緯度、経度、標高などのポイント座標が定義される優先表面として使用されます。

標準化と地理アプリケーションの文脈では、測地基準楕円体は、空間参照システムまたは測地基準系定義の基礎として使用される数学モデルです。

1687年、アイザック・ニュートンは『プリンキピア』を出版し、その中で、平衡状態にある回転する自己重力流体体は、楕円をその短径の周りで回転させることによって生成される、扁平な（「扁平な」）回転楕円体の形をとるという証明を含めました。彼はこの形状を扁平回転楕円体と名付けました。 ^{[2] [3]}

地球物理学、測地学、および関連分野では、「楕円体」という言葉は「回転楕円体」を意味すると理解されており、古い用語である「偏平回転楕円体」はほとんど使用されていません。^{[4] [5]} 回転楕円体でうまく近似できない物体には、三軸（または不等辺）楕円体が使用されます。

回転楕円体の形状は、その楕円の形状パラメータによって決まります。楕円の長半径aは楕円体の赤道半径になり、短半径bは中心からいずれかの極までの距離になります。これら 2 つの長さによって、楕円体の形状が完全に決まります。

しかし、測地学の出版物では、半長径（赤道半径）aと扁平率 f を次のように定義して指定するのが一般的です。

${\displaystyle f={\frac {a-b}{a}}.}$

つまり、f は、赤道の半径に対する各極の平坦化の量です。これは、分数 1/ mとして表現されることが多く、m = 1/ f は「逆平坦化」になります。測地学では、他の多くの楕円パラメータが使用されますが、それらはすべて、 a、b 、およびfのセットの 1 つまたは 2 つに関連付けられます。

過去には、地球をモデル化するために、さまざまな楕円体が使用されました。楕円体には、 aとbの想定値が異なり、中心の位置も異なり、固体地球に対する軸の向きも異なっていました。20 世紀後半から、衛星の軌道と恒星の位置の測定精度が向上し、地球の質量の中心と回転軸が極めて正確に測定されるようになりました。これらのパラメータは、現代のすべての基準楕円体にも採用されています。

地図作成や衛星ナビゲーションに広く使用されている楕円体WGS-84 のf は1/300 近く (より正確には、定義により 1/298.257223563) で、長半軸と短半軸の差が約 21 km (13 マイル) (より正確には 21.3846857548205 km) に相当します。比較すると、地球の月はさらに楕円度が低く、扁平率は 1/825 未満ですが、木星は約 1/15 で明らかに扁平であり、土星の三軸衛星の 1 つであるテレストは非常に扁平で、fは1/3 から 1/2 の間です (つまり、極直径は赤道直径の 50% から 67% の間です)。

弧の測定は、楕円体を決定する歴史的な方法です。2 つの子午線弧の測定により、基準楕円体を指定するために必要な 2 つのパラメータを導出できます。たとえば、測定が赤道面といずれかの地理的極の上で正確に行われたと仮定すると、得られた曲率半径は、赤道半径と極半径、それぞれaとbに関連付けられます(地球の極曲率半径と赤道曲率半径を参照)。次に、定義から 平坦化が容易にわかります。

${\displaystyle f=(a-b)/a}$。

任意の平均緯度、における 2 つの弧測定について、解は赤道半径と平坦化 の初期近似から始まります。理論上の地球の子午線曲率半径は、各弧測定の緯度で次のように計算できます。 ${\displaystyle \varphi _{i}}$${\displaystyle i=1,\,2}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})}$

${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}}$

ここで。^[6] すると、曲率半径の経験値と理論値の間の相違は として形成される。最後に、初期の赤道半径と平坦化の補正はの線形化によって定式化された線形方程式のシステムによって解くことができる。^[7]${\displaystyle e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}}$${\displaystyle \delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})}$${\displaystyle \delta a}$${\displaystyle \delta f}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)}$

ここで偏微分は^{[7]である。}

${\displaystyle \partial M/\partial a\approx 1}$

${\displaystyle \partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})}$

中間緯度を複数回測定して長い弧を描くと、調査対象地域に最も適した楕円体を完全に特定できます。実際には、複数の弧の測定を使用して、最小二乗調整法によって楕円体のパラメータを特定します。特定されるパラメータは通常、長半径、および短半径、扁平率、または離心率のいずれかです。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

曲率半径測定で観察される地域規模の体系的な効果は、天体測量水準測量で調査されたジオイドの起伏と鉛直の偏向を反映しています。

重力測定法は、クレローの定理に従って地球の平坦化を判定するもう一つの手法です。

現代の測地学では、単純な子午線弧や地上の三角測量網は使用されなくなり、衛星測地学、特に衛星重力測定法が使用されています。

測地座標は、測地学で使用される曲線 直交座標系の一種で、基準楕円体に基づいています。測地座標には、測地緯度（南北）ϕ、経度（東西）λ、楕円体高h （測地高^[8]とも呼ばれる）が含まれます。

^{この三元座標は地球楕円体座標[9]} としても知られています（楕円体調和座標や楕円体座標と混同しないでください）。

以下に挙げる基準楕円体モデルは測地学の分野で役立っており、現在でも多くのものが使用されています。古い楕円体には、それを考案した人物にちなんで名付けられ、開発された年が示されています。1887 年、イギリスの測量士であるアレクサンダーロスクラーク大佐(CB FRS RE) は、地球の形状を決定した功績により、王立協会の金メダルを授与されました。国際楕円体は、 1910 年にジョン フィルモア ヘイフォードによって開発され、1924 年に国際測地学および地球物理学連合 (IUGG) によって採用され、国際的な使用が推奨されました。

スイスのルツェルンで開催された 1967 年の IUGG 会議では、リストにある GRS-67 (測地基準系1967) と呼ばれる楕円体の採用が推奨されました。この新しい楕円体は、国際楕円体 (1924) の代わりとして推奨されたわけではありませんが、より高い精度が求められる場合に使用するよう提唱されました。この楕円体は、モスクワで開催された 1971 年の IUGG 会議で承認され、採用された GRS-67 の一部となりました。オーストラリアでは、オーストラリア測地基準系として、また南米測地基準系1969 で使用されています。

1979年にオーストラリアのキャンベラで開催されIUGGによって承認・採用されたGRS-80（1980年測地基準系）は、赤道半径（地球楕円体の長半径）、総質量、動的形状係数、自転角速度に基づいており、逆扁平化は導出量となっている。GRS -80とWGS-84の間に見られるわずかな差は、後者の定義定数が意図せず切り捨てられた結果である。WGS-84はGRS-80に厳密に準拠するように設計されていますが、偶然にもWGS-84で導出された扁平化はGRS-80の扁平化とわずかに異なることが判明した。これは、 のGRS-80値から導出された正規化された2次帯状調和重力係数が、正規化プロセスで有効数字8桁に切り捨てられたためである。^[10]${\displaystyle a}$${\displaystyle GM}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle 1/f}$${\displaystyle J_{2}}$

楕円体モデルは、楕円体の形状とそれに伴う通常の重力場の式のみを記述します。通常、楕円体モデルは、より包括的な測地基準系の一部です。たとえば、古い ED-50 ( 1950 年の欧州基準系) は、ヘイフォード楕円体または国際楕円体に基づいています。WGS-84 は、完全な測地基準系とその構成要素である楕円体モデルの両方に同じ名前が使用されている点で独特です。それでも、楕円体モデルと測地基準系という 2 つの概念は明確に区別されています。

同じ楕円体が異なる名前で呼ばれる場合があることに注意してください。明確に識別するためには、定義定数を記載するのが最善です。

• 赤道隆起
• 地球の曲率半径
• 測地基準点
• 大楕円
• 子午線弧
• 通常の重力
• 惑星座標系
• 測地学の歴史
• 惑星楕円体

• PK Seidelmann (議長)、他 (2005)、「地図座標と回転要素に関するIAU/IAGワーキンググループ報告書: 2003」、天体力学と動的天文学、91、pp. 203-215。
  • ウェブアドレス: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
• 地理情報のための OpenGIS 実装仕様 - シンプルなフィーチャ アクセス - パート 1: 共通アーキテクチャ、付録 B.4。2005-11-30
  • ウェブアドレス: http://www.opengeospatial.org

• 地理座標系
• 座標系と変換 ( SPENVISヘルプ ページ)
• 座標系、フレーム、データム